雙角平分線雙劍合璧

王冬升

波利亞指出：拿一個(gè)有意義但不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域. 在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師往往都為選題而煩惱，而浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》教材編委精心編寫(xiě)的教材例題、習(xí)題一般都有典型性、示范性、遷移性、再生性等特點(diǎn)，它們或滲透了某些數(shù)學(xué)方法，或體現(xiàn)了某些數(shù)學(xué)思想，或提供了某些重要結(jié)論，意義非同一般. 因此，對(duì)它們不能簡(jiǎn)單地就題論題，而應(yīng)進(jìn)行開(kāi)發(fā)、引申與挖掘，揭示其有價(jià)值的結(jié)論. 這樣不僅能得到一批“源于教材，而又高于教材”的好題，疏通知識(shí)之間的聯(lián)系，又能開(kāi)闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，產(chǎn)生觸類旁通、舉一反三的學(xué)習(xí)效果. 現(xiàn)擬從教材中采擷一例，解析習(xí)題的創(chuàng)新再生.

一、原題重現(xiàn)

浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第六章“圖形的初步知識(shí)”第七節(jié)作業(yè)題B組第5題：

如圖1，E是直線AC上一點(diǎn)，EF，EG分別是∠AEB，∠BEC的平分線. 求∠GEF的度數(shù).

解析：由已知可知：∠GEF=∠CEB+∠AEB=∠AEC=90°.

通過(guò)題目的結(jié)論我們很容易發(fā)現(xiàn)，無(wú)論∠AEB和∠BEC如何變化，即當(dāng)射線EB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠GEF和∠AEC必有如下數(shù)量關(guān)系：∠GEF=∠AEC. 這樣整齊的等式是非常值得我們對(duì)其進(jìn)行更深層次的研究與探討. 這是七年級(jí)平面幾何中比較經(jīng)典的一道習(xí)題，它不僅僅是“角的和差”“角的平分線”這些重要概念的應(yīng)用，還蘊(yùn)含著非常重要的數(shù)學(xué)思想——整體思想.筆者在教學(xué)過(guò)程中對(duì)本題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣梗盏搅撕芎玫男Ч?

二、變式延伸

變式1：改變∠AEC的大小，由180°變?yōu)?0°.

解析：如圖2，由已知可知

∠GEF=∠CEB+∠AEB=∠AEC=45°.

此時(shí)∠GEF和∠AEC依然有如下數(shù)量關(guān)系：∠GEF=∠AEC.

如果∠AEC為任意大小的角，我們發(fā)現(xiàn)依然有∠GEF=∠AEC這樣的關(guān)系.通過(guò)上面的初步變換，我們得到了一個(gè)一般性結(jié)論：“如果∠AEC內(nèi)部有三條射線EG，EB，EF，其中EG平分∠BEC，EF平分∠AEB，那么∠GEF=∠AEC. ”

變式2：將上述結(jié)論中“平分”的條件改為“∠GEB=∠BEC，∠BEF= ∠AEB ”

經(jīng)過(guò)此次變換后得到的結(jié)論與變式1中的結(jié)論類似，故可以進(jìn)一步得出：“如果∠AEC內(nèi)部順次有三條射線EG，EB，EF，其中∠GEB=∠BEC，∠BEF=∠AEB，那么∠GEF=∠AEC”.

變式3：將“EG平分∠BEC ”變?yōu)椤癊G 平分∠AEC”

解析：如圖4，由已知可知∠GEF=∠AEC-∠AEB=∠BEC.

雖然角平分線的位置發(fā)生了變化，但是解決問(wèn)題的思想沒(méi)變，仍是應(yīng)用整體思想將 ∠GEF轉(zhuǎn)化為∠AEC和∠AEB的關(guān)系，與前兩次變換異曲同工.

變式4：已知∠GEF=90°，頂點(diǎn)E在直線AC 上，使∠GEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線EF平分∠AEB時(shí)，射線GE所在的直線是否平分∠BEC？

解析：（1）如圖5，當(dāng)射線GE與射線EF在直線AC同側(cè)時(shí)，易知射線GE平分∠BEC.

（2）如圖6，當(dāng)射線GE與射線EF在直線 AC異側(cè)時(shí)，易知射線GE的反向延長(zhǎng)線平分∠BEC .

綜上，射線GE所在的直線平分∠BEC.

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題的條件發(fā)生變化時(shí)，問(wèn)題結(jié)論的形式未必發(fā)生變化.對(duì)于課后習(xí)題的處理不僅僅在于解答的思路與過(guò)程，更應(yīng)該注重挖掘一道習(xí)題的典型代表性在什么地方，從而有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，使思維在所學(xué)知識(shí)中如魚(yú)得水.

通過(guò)對(duì)一道課本上的原題進(jìn)行四種變化，這道教材上的解答題發(fā)揮了“以一當(dāng)四”的作用. 波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)“沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的”，故我們?nèi)韵Ｍㄟ^(guò)這道題目得到更多的東西.

回顧前面的變式1、變式2、變式3，我們從改變已知條件上進(jìn)行變式，其實(shí)主要都是圍繞射線OB的位置變化情況進(jìn)行的，所以可以通過(guò)如下這樣一個(gè)題目來(lái)對(duì)前面三個(gè)變式進(jìn)行總結(jié)：∠AEC是小于平角的任意角，作射線EB，再作射線EG，EF， EG平分∠BEC， EF平分∠AEB.當(dāng)射線EB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)時(shí)，試探究∠GEF與∠AEC的關(guān)系.

通過(guò)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，這道題目不僅僅是對(duì)前面變式的一個(gè)總結(jié)，在解決問(wèn)題過(guò)程中所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想也發(fā)生了變化，不僅有整體思想，還增添了分類討論思想.

在圖7、圖8中∠GEF與∠AEC的關(guān)系是∠GEF=∠AEC.

在圖9中∠GEF與∠AEC的關(guān)系是 ∠GEF=180°-∠AEC.

對(duì)于變式4，可以給出更加豐富的題目背景：

如圖10，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O作射線OC，使∠BOC=120°. 將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線 OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖10中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖11，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC. 此時(shí)直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）將圖10中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，求t的值.

（3）將圖10中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖12，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM-∠NOC的度數(shù).

例題講解貴在小而精，以小見(jiàn)大. 教師用在設(shè)計(jì)例題上的時(shí)間與學(xué)生做練習(xí)的時(shí)間是成反比的. 例題設(shè)計(jì)是否精致，直接決定著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果. 在教學(xué)中教師要提高對(duì)教材中習(xí)題的重視程度，對(duì)一些具有代表性的好題，不妨小題大做一番！

三、結(jié)語(yǔ)

迅速提高解題能力，是教師和學(xué)生共同關(guān)心的問(wèn)題之一. 引導(dǎo)學(xué)生一題多變，將某些題目適當(dāng)引申、拓廣，不僅可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握得更加系統(tǒng)，而且可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及自覺(jué)探究的良好習(xí)慣. 通過(guò)對(duì)課本中典型習(xí)題的引申和挖掘，讓學(xué)生在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，盡量做到能用典型習(xí)題這一把“鑰匙”開(kāi)一類“鎖”，以達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”的效果.

新課程倡導(dǎo)教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，縱觀近幾年各地中考試題，有很多題目都源于教材而又高于教材. 因此，在日常教學(xué)中教師不要盲目甩開(kāi)教材，濫用其他資料，搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，而應(yīng)精心解讀教材，站在知識(shí)系統(tǒng)的高度用“活”教材. 總之，對(duì)于每一道課后習(xí)題，都不能“就題論題”，而應(yīng)該開(kāi)闊解題思路，通過(guò)一題多變、一題多用、多解歸一、多題歸一等形式，賦予課后習(xí)題更多的活力與意義，發(fā)掘更多更好的數(shù)學(xué)模型. 既要重視變化之形，也要重視不變之魂，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)而獲得一種更有力度、充滿張力的數(shù)學(xué)思考，以及觸及心靈的精神愉悅.