淺析高考數(shù)學(xué)中有關(guān)遞推數(shù)列的問(wèn)題研究

趙玲燕

【摘要】對(duì)于任何學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，除了掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)之外，還需要具有一定的學(xué)習(xí)思維和解題方法。高中數(shù)學(xué)相對(duì)于其它學(xué)科來(lái)說(shuō)，難度系數(shù)較大，學(xué)生學(xué)起來(lái)感覺(jué)有些吃力，有的時(shí)候感覺(jué)基礎(chǔ)知識(shí)和教材案例都掌握的非常好了，但是遇到問(wèn)題之后還是表現(xiàn)的有些恐慌，甚至找不到解題的思路和切入口。在每年的高考中，牽扯的內(nèi)容較多，其中不乏數(shù)列知識(shí)，在題型的設(shè)計(jì)上有選擇題、填空題也有探究性的大題，所占分值也不低。本文中，筆者通過(guò)文獻(xiàn)研究，分析了近幾年的高考數(shù)學(xué)題，以遞推數(shù)列的考試內(nèi)容為例，分析和探究了有關(guān)遞推數(shù)列的解法問(wèn)題，希望能對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)發(fā)展和學(xué)生解題思維的提升起到一定的促進(jìn)作用。

【關(guān)鍵詞】 高考數(shù)學(xué) ?遞推數(shù)列 ?解題思維 ?解題方法 ?學(xué)生發(fā)展

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2015）11-0221-02

高考數(shù)學(xué)試題每年都是不一樣的，但是所謂的“換湯不換藥”，在總結(jié)歷年的數(shù)學(xué)考題中，我們發(fā)現(xiàn)很多的問(wèn)題解答在方法上和切入點(diǎn)的突破上具有一定的相通性。針對(duì)數(shù)列知識(shí)牽扯到的對(duì)數(shù)列遞推公式的考查內(nèi)容來(lái)說(shuō)，翻閱高考數(shù)學(xué)試卷可以看出既是考試的熱點(diǎn)，又是考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)，必須讓學(xué)生子啊掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，提升自身的解題思維和解題能力，這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，提升解題效率和正確率。本文中，筆者運(yùn)用化歸思想，構(gòu)造新等差、等比數(shù)列，例談幾類遞推數(shù)列通項(xiàng)的具體模型，希望能對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答提供一些建設(shè)性的意見(jiàn)和啟迪。

一、 型

形如 ?（為常數(shù)且）的數(shù)列，求解此類線性關(guān)系的數(shù)列的通項(xiàng)公式一般可用待定系數(shù)法，通過(guò)化歸，轉(zhuǎn)化為新的等比數(shù)列，最后結(jié)合新等比數(shù)列的公式或性質(zhì)來(lái)求解與轉(zhuǎn)化。

經(jīng)典案例：已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解題過(guò)程：設(shè)，所以，

所以，即，所以數(shù)列是以

為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，即所

以 。

【解題思維評(píng)析】根據(jù)的線性關(guān)系，把所求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與其相關(guān)的新的等比數(shù)列問(wèn)題，由于觀察、分析角度不同，因此解答此類問(wèn)題方法各異。這里采用待定系數(shù)法可收到化難為易之功效。

二、型

形如的數(shù)列，求解此類數(shù)列的通項(xiàng)公式一般先通過(guò)變形為，再利用累加法 …，代入相應(yīng)的關(guān)系式，再加以合理分析與求解。

經(jīng)典案例：已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解題過(guò)程：由于，

將上面?zhèn)€式子相加，得，

所以 ：

【解題思維評(píng)析】在運(yùn)用累加法時(shí)，等式的左邊相加后只剩 ，等式的右邊一般是等差或等比的前n—l項(xiàng)和一般給出或很易求得。所以此法求通項(xiàng)較容易，但要看清項(xiàng)數(shù)，這是累加法易錯(cuò)的地方，要引起重視。

三、型

形如的數(shù)列，求解此數(shù)列的通項(xiàng)公式一般先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法

·代入相應(yīng)的關(guān)系式，再加以合理分析與求解。

經(jīng)典案例： 已知數(shù)列滿足求·

解題過(guò)程：由條件知，

分別令 ，代人上式得（n一1）個(gè)等式累乘之，

即所以，又因?yàn)?/p>

，所以。

【解題思維評(píng)析】 在運(yùn)用累乘法時(shí)，關(guān)鍵是正確處理累乘時(shí)等式右邊中對(duì)應(yīng)的等式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)。同時(shí)，和累加法一樣，要看清數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問(wèn)題最容易出錯(cuò)，要引起高度重視。

四、型

形如的數(shù)列，求解此數(shù)列的通項(xiàng)公式一般也可采用待定系數(shù)法，通過(guò)設(shè)定參數(shù)，轉(zhuǎn)化為新的數(shù)列如的問(wèn)題，再化歸為相應(yīng)的等比數(shù)列來(lái)求解與處理。

經(jīng)典案例： 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解題過(guò)程：設(shè)，所以，所以，

所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，所以 。

【解題思維評(píng)析】認(rèn)真觀察、分析已知的遞推關(guān)系，逐漸將一個(gè)生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，通過(guò)待定系數(shù)法，把陌生的數(shù)列問(wèn)題巧妙化歸為等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)的求法求解，可謂“絲絲入扣”。

五、型

形如的數(shù)列，求解此數(shù)列的通項(xiàng)公式一般也是通過(guò)待定系數(shù)法，巧妙找出相應(yīng)的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為問(wèn)題，最后再化歸為相應(yīng)的等比數(shù)列來(lái)處理

經(jīng)典案例： 已知數(shù)列中，求。

解題過(guò)程：令，易求

，

所以是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，所以

，故。

【解題思維評(píng)析】根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列，通過(guò)待定系數(shù)法，利用基本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式。解答本題的關(guān)鍵是如何想到找到正確的的值，合理構(gòu)造相應(yīng)的等比數(shù)列，從而解決問(wèn)題。

小結(jié)：本文通過(guò)具體事例，構(gòu)造了五種數(shù)列模型，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較熟悉、比較容易解決的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。

數(shù)列知識(shí)和問(wèn)題的考察成為高考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容經(jīng)常牽扯的知識(shí)點(diǎn)，無(wú)論是從分值、數(shù)量還是難度上都有所提升。在高考數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)的考察中，對(duì)數(shù)列遞推公式的考查已成為熱點(diǎn)，考試的頻率較高，但用遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)有著很強(qiáng)的靈活性，導(dǎo)致很多的學(xué)生遇到問(wèn)題之后就無(wú)從下手，找不到解答問(wèn)題的切入點(diǎn)，使得學(xué)生在考試中不能穩(wěn)定的發(fā)揮，導(dǎo)致學(xué)生情緒緊張慌亂，降低了解題效率和正確率，出現(xiàn)成績(jī)不理想的情況。實(shí)踐證明，提升學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力并不難，當(dāng)我們接觸的問(wèn)題難以人手時(shí)，思維就不應(yīng)停留在原問(wèn)題上，而應(yīng)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較熟悉、比較容易解決的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。一般來(lái)說(shuō)，在牽扯到由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的問(wèn)題中，解決的方法一般分為2種：第一種就是采用先歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法來(lái)解決問(wèn)題;第二種就是通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，運(yùn)用等差或等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解答問(wèn)題。因?yàn)榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，學(xué)生比較熟悉，也能理解。所以，當(dāng)學(xué)生遇到陌生的遞推關(guān)系式時(shí)，可以通過(guò)等價(jià)變形，化為熟悉的遞推關(guān)系式，再化為等差或等比數(shù)列，進(jìn)而通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換來(lái)解決問(wèn)題。教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生在解題中感悟、運(yùn)用化歸思想構(gòu)造基本解題模型，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、發(fā)展能力和促進(jìn)素質(zhì)教育都是至關(guān)重要的，學(xué)生的創(chuàng)新精神也會(huì)在挖掘隱性關(guān)系過(guò)程中得到良好的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)知識(shí)根源于生活，是生活常識(shí)的抽象化總結(jié)。數(shù)學(xué)模型就是實(shí)現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)理論和生活數(shù)學(xué)的有機(jī)結(jié)合，架起了一座橋梁，通過(guò)知識(shí)和問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，提升了解題的效率，這也是未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)和考察的趨勢(shì)所在。它利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來(lái)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，并為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo)。運(yùn)用遞推式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力有積極的作用，利用遞推式建模，將對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)有極大的幫助。

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