二面角的大小的一個(gè)簡(jiǎn)單求法

本文簡(jiǎn)介了二面角大小的幾種求法，并針對(duì)法向量法求二面角時(shí)存在的兩法向量的夾角與二面角的大小的關(guān)系判定問(wèn)題提出了一種改良解法——指向向量法.

常見(jiàn)的二面角的求法以幾何法和向量法為主. 其中幾何法有定義法、垂面法、三垂線法和射影面積法等；向量法通常是指法向量法. 在運(yùn)用法向量法求二面角的大小中的難點(diǎn)是兩個(gè)平面的法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)的判定，教材和眾多資料上的處理大多數(shù)是通過(guò)觀察立體圖形，主觀判斷二面角的大小，這樣處理學(xué)生總感覺(jué)很難把握，教師們也十分擔(dān)心，進(jìn)而思考得出了很多很好的解決辦法，如：共面定理判定法、一進(jìn)一出法以及輔助向量法等.

這里“一進(jìn)一出法”筆者是這樣跟學(xué)生闡述的，二面角可以看做一個(gè)張開(kāi)的嘴巴，兩個(gè)半平面的法向量的方向分別為嘴巴里和嘴巴外時(shí)，這兩個(gè)法向量的夾角就是二面角的大小.

而輔助向量法是指在二面角的棱上和二面角的內(nèi)部各任取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)向量，將該向量分別與兩個(gè)平面的法向量求數(shù)量積，所得的兩個(gè)數(shù)量積同號(hào)時(shí)，這兩個(gè)法向量的夾角與二面角互補(bǔ)，異號(hào)時(shí)相等.

上述方法都是建立在法向量法的基礎(chǔ)上來(lái)研究二面角的求法的，然而能否繞開(kāi)法向量法來(lái)通過(guò)向量求二面角的大小呢？筆者在教授“向量的應(yīng)用——點(diǎn)到直線的距離”時(shí)偶得二面角的一個(gè)簡(jiǎn)單求法.

■直線的單向法向量

問(wèn)題：已知直線AB及其外一點(diǎn)P，過(guò)P作PC⊥AB，垂足為C，試用向量■和■表示向量■.

■

圖1

解：■在■上的投影為

■cos〈■，■〉=■

則■=■cos〈■，■〉·■=■，

所以■=■-■=■-■.？搖？搖？搖？搖①

為了便于后續(xù)計(jì)算，去分母，得

■·■2=■·■2-（■·■）·■.？搖？搖？搖 ②

這里將②稱為直線AB關(guān)于點(diǎn)P的單向法向量n，記作

■

■二面角的求法

結(jié)論：已知二面角A-BC-D，直線BC關(guān)于點(diǎn)A，D的單向法向量分別為m，n，則二面角A-BC-D的大小為〈m，n〉.

結(jié)合二面角的平面角的定義不難證明.

■運(yùn)用舉例

下面我們應(yīng)用單向法向量法來(lái)求二面角的大小.

例題：如圖2，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1，PD=2.

（1）求證：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q-BP-C的余弦值.

■

圖2

解答：（1）證明略.

（2）如圖2所示，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），P（0，2，0），C（0，0，1），Q（1，1，0），B（1，0，1）.

所以■=（-1，2，-1），■=（-1，0，0），■=（0，1，-1），所以■2=6，■·■=1，■·■=3.

設(shè)直線BP關(guān)于點(diǎn)C的單向法向量為m，則m=■·■2-（■·■）·■=（-6，0，0）-（-1，2，-1）=（-5，-2，1）.設(shè)直線BP關(guān)于點(diǎn)Q的單向法向量為n，則n=■·■2-（■·■）·■=（0，6，-6）-3（-1，2，-1）=（3，0，-3）. 所以cos〈m，n〉=■= -■. 即二面角Q-BP-C的余弦值為-■.

■解法評(píng)析

直線AB關(guān)于點(diǎn)P的單向法向量法可以直接求得二面角的大小，并且可以有效地規(guī)避利用兩個(gè)平面的法向量法求二面角大小時(shí)的定角問(wèn)題，該方法適用于有棱二面角大小的計(jì)算問(wèn)題，只需確定了4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，后續(xù)計(jì)算也較為容易. ■endprint