打破傳統(tǒng)思維定式巧解立體幾何問(wèn)題

用坐標(biāo)形式向量解決立體幾何問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵之一，但試題中往往沒(méi)有明確的垂直關(guān)系，建立坐標(biāo)系要通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化、證明，難度較大，所以，一味強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法會(huì)造成得分的困難，出現(xiàn)這種現(xiàn)象一是空間想象能力、幾何推理能力較差，再有就是對(duì)向量知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠，若能加深對(duì)向量知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，適時(shí)采取非坐標(biāo)形式的向量解題，就可打破立體幾何思維定式，很好地解決立體幾何問(wèn)題.

用坐標(biāo)形式的向量解決立體幾何問(wèn)題因思路簡(jiǎn)潔、操作容易越來(lái)越受到師生的青睞，并且也逐步成為當(dāng)前高考應(yīng)考的“主流”方法. 因此，許多教師無(wú)視其他方法的存在，讓學(xué)生埋頭苦練，這樣做的直接后果是導(dǎo)致學(xué)生解題思維的僵化，立體幾何的學(xué)習(xí)陷入死胡同. 然而，如果加深對(duì)向量知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，恰當(dāng)利用非坐標(biāo)形式的向量解題，既可避開(kāi)技巧要求過(guò)高、轉(zhuǎn)化復(fù)雜的幾何法，又可以回避有時(shí)因建系困難而造成的煩瑣計(jì)算，從而打破立體幾何思維定式，很好的解決立體幾何問(wèn)題：

■突破定式思維，用非坐標(biāo)形式向量解決立體幾何問(wèn)題

向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，兼具代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與幾何的直觀，要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則；解題時(shí)可以將有關(guān)線、面用向量表示出來(lái)，再利用共線向量定理、共面向量定理及向量垂直的條件得到證明，這樣可以很好地避開(kāi)學(xué)生感覺(jué)困難的幾何關(guān)系的論證.

例1 （2015年北京市海淀區(qū)高三期末考試）

如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B為正方形，BB1C1C為菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C. 設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是B1C，AA1的中點(diǎn)，試判斷直線EF與平面ABC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

■

圖1

解析：因?yàn)锳A1B1B為正方形，E，F(xiàn)分別是BC1和AA1的中點(diǎn)，

因?yàn)椤?■+■+■

=■■+■+■■

=■（■-■）+■-■■

=-■■+■，

所以■、■、■是共面向量，又EF？埭平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

點(diǎn)評(píng)：本題不存在兩兩垂直的三條棱，若建立空間坐標(biāo)系，需要找出一條和底面垂直的直線作為z軸，這樣會(huì)使部分點(diǎn)的坐標(biāo)不好確定；采取幾何法，通過(guò)充分觀察幾何體的特征，可直觀地猜測(cè)出直線EF與平面ABC平行，此處難度較大，需要學(xué)生有很好的空間想象能力，接下來(lái)要在平面ABC內(nèi)找一條線段與EF平行，再通過(guò)嚴(yán)格的幾何推理與論證，也需要很好的思維能力；采取非坐標(biāo)形式的向量，利用向量的加、減法的幾何意義表示為■=-■■+■，根據(jù)向量共面的條件得證.

例2 （2015年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期末考試?yán)砜疲?/p>

如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AB，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上移動(dòng)，求證：AE⊥PF.

■

解析：因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以BC⊥AB.

又因?yàn)锽C⊥平面PAB，又AE？奐平面PAB，

所以BC⊥AE，即■·■=0.

因?yàn)镻A=AB，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，

所以AE⊥PB，即■·■=0，？搖

所以■·■=■·（■+■）=■·■+■·■=0，所以AE⊥PF.

點(diǎn)評(píng)：本題很多學(xué)生誤認(rèn)為PA⊥平面ABCD，從而建立空間坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行垂直的證明，以至于不能得分，利用傳統(tǒng)的幾何法，難度在于點(diǎn)F是棱BC上動(dòng)點(diǎn)，確定題目中的垂直關(guān)系有一定的難度，把相關(guān)線段AE、PF用具有垂直關(guān)系的向量■，■，■來(lái)表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算，問(wèn)題便迎刃而解. 這種辦法突出了向量的相互表示和運(yùn)算，避免了煩瑣的幾何推理，收到了很好的效果.

■加深對(duì)向量知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，合理選擇向量的基底

非坐標(biāo)形式的向量解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是結(jié)合圖形選擇恰當(dāng)?shù)幕?，?gòu)建基向量，利用向量加法、減法的幾何意義，把有關(guān)向量表示出來(lái)，再把有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量之間的運(yùn)算來(lái)解決.

例3 （2015年北京市東城區(qū)期末考試?yán)砜疲?/p>

如圖3，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點(diǎn).

■

（1）求證：AM⊥平面PBC；

（2）求二面角A-PC-B的余弦值；

（3）證明：在線段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC，并求■的值.

解析：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，

所以PA⊥BC.

因?yàn)锽C⊥AB，PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB.又AM？奐平面PAB，

所以AM⊥BC.

因?yàn)镻A=AB，M為PB的中點(diǎn)，

所以AM⊥PB.

又PB∩BC=B，

所以AM⊥平面PBC.

（2）如圖4，作AF⊥PC交PC于點(diǎn)F，作BN⊥PC交PC于點(diǎn)E，

■

圖4

由已知，PB=2■，AC=■，PC=3，

在△APC中，AP=2，AC=■，∠PAC=90°，

所以AF=■，PF=■，

所以PF=■PC，cos∠APC=■.

在△PBC中，PC=3，BC=1，∠PBC=90°，

所以BE=■，CE=■，

所以CE=■CP，cos∠BCP=■.

由■=■+■=■+■■；■=■+■=■+■■，endprint

所以cos〈■，■〉=■=■=

-■.

又二面角A-PC-B為銳角，

所以，二面角A-PC-B的余弦值為■.

（3）假設(shè)在線段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC且設(shè)CD=λCP，

■

圖5

所以■=■+■

=■+λ■

=■+λ（■-■）

=（1-λ）■+λ■，

同時(shí)■=■+■.

又BD⊥AC，

所以■·■=0，

又■·■=（1-λ）■·■+λ■·■+（1-λ）■2+λ■·■

=0+λ×2×2■×-■+（1-λ）+0

=1-5λ，

所以1-5λ=0，所以λ=■，所以CD=■CP.

所以在線段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC. 此時(shí)，■=■.？搖

點(diǎn)評(píng)：向量法解決立體幾何探究性問(wèn)題明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的幾何法，平時(shí)我們可以有意識(shí)地用非坐標(biāo)形式的向量法解決探究問(wèn)題的訓(xùn)練，這樣可以很好地彌補(bǔ)坐標(biāo)法的不足，完善數(shù)學(xué)思維，非坐標(biāo)形式的向量解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是選擇合適的基底，構(gòu)建基向量，利用向量加法、減法的幾何意義，把有關(guān)向量表示出來(lái)，再把有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量之間的運(yùn)算來(lái)解決.

■準(zhǔn)確進(jìn)行非坐標(biāo)形式向量的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)從向量結(jié)果向幾何結(jié)論的回歸

立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，本部知識(shí)要求學(xué)生要有很好的空間想象能力、規(guī)范表達(dá)及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀瓮评砟芰Γ谄綍r(shí)的訓(xùn)練中適時(shí)地應(yīng)用向量形式，特別是非向量形式的向量，再結(jié)合幾何法解決問(wèn)題，會(huì)開(kāi)闊學(xué)生的思路，減少幾何推理的思維量，降低難度，使問(wèn)題解決避開(kāi)難點(diǎn)，順暢自然.

例4（2011年北京高考理科）

如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).

■

圖6

解析：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD？奐平面ABCD，

所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC.

（2）由圖形可知，■=■-■，■=■+■.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD.

又底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，

所以■·■=■2+■·■-■·■-■·■=4+2×2×cos60°+0+0=6.

又PA=AB，所以PB2=AP2+AB2=8.

又底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，所以AC=2■，

所以cos〈■，■〉=■=■，

所以PB與AC所成角的余弦值為■.

（3）設(shè)■=p，■=q，■=r，設(shè)AP=a，

依題意，p=q=2，r=a，向量p，q的夾角為60°，r⊥p，r⊥q.

設(shè)平面PBC的法向量為m=p+xq+yr，

所以m·■=0，m·■=0，即m·q=0，m·（r-p）=0，

所以（p+xq+yr）·q=0，（p+xq+yr）·（r-q）=0.

？搖？搖又p2=4，p·q=2×2×cos60°=2，p·r=0，q·r=0，

所以2+4x=0，a2y-4-2x=0， 所以x=-■，y=■，所以m=p-■q+■r.

因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，所以m與平面PDC是共面向量，

所以存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使m=λ1■+λ2■=λ1p+λ2（r-q），

即p-■q+■r=λ1p+λ2（r-q）.

所以λ1=1，λ2=-■，-λ2=■，

所以■=■，所以a2=6，

所以，PA的長(zhǎng)為■.

點(diǎn)評(píng)：本題的第三問(wèn)是逆向思維的問(wèn)題，利用平面PBC與平面PDC垂直反推棱PA的長(zhǎng)，用坐標(biāo)形式的向量求解，建立空間坐標(biāo)系會(huì)把PB，PD，PA所在直線作為x，y，z軸造成錯(cuò)誤. 若坐標(biāo)系建得正確，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)又容易求錯(cuò)，采取非坐標(biāo)形式的向量求出其中一個(gè)平面的法向量，利用此法向量和另一個(gè)平面是共面向量求出棱PA的長(zhǎng). 證明點(diǎn)共面則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明■=x■+y■或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有■=■+x■+y■或■=x■+y■+z■（x+y+z=1）即可. 共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件.

例5 （2011年廣東高考試題理科）

在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB=60，PA=PD=■，PB=2， E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).

■

（1）證明：AD⊥平面DEF；

（2）求二面角P-AD-B的余弦值.

解析：（1）設(shè)∠PAD=α，∠PAB=β，

在△PAD中，由PA=PD=■，AD=1，

所以cosα=■.

又在△PAB中，PA=■，PB=2，AB=1，

所以cosβ=-■.

設(shè)■=a，■=b，■=c，由已知，a=■，b=c=1，

則a·b=■×1×-■= -■，同理，a·c=■，b·c=■.

（1）因?yàn)椤?■+■■=b-■c，endprint

又■=■+■■=■+■（■+■+■）=■a+■b-■c，

所以■·■=c·b-■c=■-■×12=0，

所以AD⊥DE.

又■·■=c·■a+■b-■c=■×■+■×■-■×1=0，

所以AD⊥DF.

又DE∩DF=D，所以AD⊥平面DEF.

（2）設(shè)平面ADB的法向量為n=a+x1b+y1c，

由n·■=0，有a·c+x1b·c+y1c2=0，

所以x1+2y1+1=0？搖①.

由n·■=0，

有a·b+x1b2+y1c·b=0，

所以2x1+y1-1=0？搖②.

聯(lián)立①②有，x1=1，y1=-1，

所以n=a+b-c.

設(shè)平面PCD的法向量為m=a+x2b+y2c，

由m·■=0，有a2+x2b·a+y2c·a=0，

所以x2-y2-4=0 ③.

由m·■=0，有a·c+x2b·c+y2c2=0，

所以x2+2y2+1=0？搖④.

聯(lián)立③④有，x2=■，y2=-■，

所以m=a+■b-■c.

所以cos〈n，m〉=■=■=■.

？搖？搖又二面角P-AD-B為鈍角，所以二面角P-AD-B的余弦值-■.

點(diǎn)評(píng)：在建立空間坐標(biāo)系困難較大的情況下，可選擇一組基底，運(yùn)用空間向量基本定理將有關(guān)線、面用空間向量表示，尋求非向量解法；空間向量基本定理告訴我們用空間任意三個(gè)不共面的向量（基底）可以線性表示空間中的任意一個(gè)向量（包括法向量），并且表示是唯一的，基底的選取是解決題的前提和基礎(chǔ)，一般選擇邊、角均為已知（或簡(jiǎn)單可求）的棱作為基底，如本題中選擇（■，■，■）或（■，■，■）為基底，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)表示相關(guān)的點(diǎn)、線、面，問(wèn)題便迎刃而解.

向量作為一種數(shù)學(xué)工具，它既具有代數(shù)的運(yùn)算又具有幾何推理的功能，利用向量的幾何意義和運(yùn)算可以很方便地解決立體幾何中的很多問(wèn)題，不可否定，用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，我們首選的是向量的坐標(biāo)形式，然而，適時(shí)地應(yīng)用非坐標(biāo)形式的向量，既可以避免煩瑣的運(yùn)算，減少推理論證的難度，降低運(yùn)算量，又可降低對(duì)空間想象能力的要求，解題方法新穎，對(duì)提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)具有重要意義. ■endprint