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    2016年高考數(shù)學(xué)模擬金卷(二)

    2016-01-18 14:05:19趙銀倉
    關(guān)鍵詞:理科小題命題

    趙銀倉

    一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.

    1. (理)已知全集U=R,S={xx=2t},T={xln(x-1)<0,則S∩T等于( )

    A. ■ B. {x0

    C. {x0

    (文)定義A-B={xx∈A,且x?埸B}. 若M={1,2,3,4, 5},N={2,3,6},則M-N等于( )

    A. M B. N C. {6} D. {1,4,5}

    2. (理)設(shè)復(fù)數(shù)e■=cosθ+isinθ,則復(fù)數(shù)e■的虛部為( )

    A. ■ B. ■ C. ■i?搖 D. ■i

    (文)已知■=1-ni,其中m,n是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則m+n?搖等于( )

    A. 3 B. 2 C. 1 D. -1

    3. 若a=■,sinα,b=cosα,■,且a∥b,則銳角α等于( )

    A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

    4. 下列命題中,其中假命題是( )

    A. 對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”可信程度越大

    B. 用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果時(shí),R2的值越大,說明模型擬合的效果越好

    C. 兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1

    D. 三維柱形圖中柱的高度表示的是各分類變量的頻數(shù)

    5. 若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S8-S3=10,則S11的值為( )

    A. 12 B. 18 C. 22 D. 44

    6. (理)設(shè)x,y滿足約束條件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則■+■的最小值為( )

    A. ■ B. ■ C. ■ D. 25

    (文)已知橢圓C:■+■=1(a>b>0)的離心率為■. 雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )

    A. ■+■=1 B. ■+■=1

    C. ■+■=1 D. ■+■=1

    7. (理)設(shè)集合S={A0,A1,A2},在S上定義運(yùn)算⊕:Ai⊕Aj=Ak,其中k為i+j被3除的余數(shù),則使關(guān)系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0成立的有序數(shù)對(duì)(i,j)總共有( )

    A. 1對(duì) B. 2對(duì) C. 3對(duì) D. 4對(duì)

    (文)同理科第6題.

    8. (理)如圖1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:■-■=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),B是虛軸的端點(diǎn),直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M. 若MF2=F1F2,則C的離心率是( )

    A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

    (文)已知y=f(x)是二次函數(shù),若x=1是函數(shù)y=f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列函數(shù)圖象不可能為y=f(x)的圖象的是( )

    A B C D

    二、填空題:本大題共8小題,考生作答7小題,每小題5分,共35分.

    (一)選做題(請(qǐng)理科考生在9、10、11三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分;請(qǐng)文科考生在9、10兩題中任選一題作答,如果全做,則按第9題記分)

    9. (理)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為x=t,y=■(t為參數(shù))和x=■cosθ,y=■sinθ(θ為參數(shù)),則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.

    (文)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講)直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為___________.

    10. (幾何證明選講)如圖2,點(diǎn)D在圓O的弦AB上移動(dòng), AB=4,連結(jié)OD,過點(diǎn)D作OD的垂線交圓O于點(diǎn)C,則CD的最大值為__________.?搖

    11. (理)(不等式選講)若存在實(shí)數(shù)x使x-a+x-1≤3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

    (二)必做題(理科12~16題;文科11~16題)

    11. (文)學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽出了一個(gè)容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖3所示,若已知其中支出在[40,50)元的同學(xué)有39人,則n的值為_________.

    12. 執(zhí)行如圖4所示的程序框圖,則輸出的S的值為_________.

    13. 有下列四個(gè)命題:

    ①?堝x0∈R,e■≤0;

    ②?坌x∈R,2x>x2;?搖

    ③a+b=0的充要條件是■=-1;

    ④a>1,b>1是ab>1的充分條件.

    其中真命題是________.

    14. 已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為____________.

    15. (理)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=■ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則PQ的最小值為_________.

    (文)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x). 當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x. 則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)=_________.

    16. (理)C為線段AB上的中點(diǎn),P為直線AB外一點(diǎn),滿足■=■=3,■-■=4,■=λ■,■=■+m■+■,m>0,則λ=_________.

    (文)如圖5,命題:點(diǎn)A1,A2是線段AB的三等分點(diǎn),則有■+■=■+■. 現(xiàn)把此命題推廣:設(shè)點(diǎn)A1,A2,A3,…,An-1是AB的n等分點(diǎn)(n≥3),則有■+■+…+■=_______(■+■).

    三、解答題:本大題共6小題,共75分.

    17. (本小題滿分12分)已知向量m=(■sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=m·n.

    (1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間;

    (2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若f(A)=4,b=1,△ABC的面積為■,求a的值.

    18. (本小題滿分12分)(理)為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x,y的含量(單位:毫克). 下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù):

    (1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件,求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;

    (2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品. 用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;

    (3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).

    (文)在某次測(cè)驗(yàn)中,有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分. 用xn表示編號(hào)為n(n=1,2,…,6)的同學(xué)所得成績,且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?/p>

    (1)求第6位同學(xué)的成績x6,及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;

    (2)從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選取2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率.

    19. (本小題滿分12分)(理)一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖如圖6和圖7所示,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

    (1)指出幾何體的主要特征(高及底的形狀);

    (2)求證:PB∥平面AEC;

    (3)若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),且■=λ,則λ為何值時(shí),PA⊥平面BDF?并求此時(shí)直線EC與平面BDF所成角的正弦值.

    (文)如圖8,在五面體ABCDEF中,AD∥BE∥CF,且AD⊥平面ABC,H為CF的中點(diǎn),G為AB上的一點(diǎn),AG=λAB(0<λ<1),其俯視圖和側(cè)視圖分別如下.?搖

    (1)試證:當(dāng)λ=■時(shí),AB⊥GH且GH∥平面DEF;

    (2)對(duì)于0<λ<1的任意λ,是否總有GH∥平面DEF?若是,請(qǐng)予以證明;若否,請(qǐng)說明理由.

    圖8

    20. (本小題滿分13分)(理)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A∈C,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn).

    (1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4■,求p的值及圓F的方程;

    (2)若A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.

    (文)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,次品數(shù)P(萬件)與日產(chǎn)量x(萬件)之間滿足關(guān)系:P=■x2,1≤x<4,x+■-■,x≥4.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以贏利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元. (利潤=贏利-虧損)

    (1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件的利潤T(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù);

    (2)當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x定為多少時(shí)獲得的利潤最大,最大利潤為多少?

    21. (本小題滿分13分)(理)已知函數(shù)f(x)=2a2lnx-x2(常數(shù)a>0).

    (1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

    (2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

    (文)同理科第20題.

    22. (本小題滿分13分)(理)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2,公比為q(q為正整數(shù)),且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng);數(shù)列{bn}滿足2n2-(t+bn)n+■bn=0(t∈R,n∈N*).

    (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    (2)試確定t的值,使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;

    (3)當(dāng){bn}為等差數(shù)列時(shí),對(duì)任意正整數(shù)k,在ak與ak+1之間插入b■k個(gè)2,得到一個(gè)新數(shù)列{cn}. 設(shè)T■n是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數(shù)m的值.

    (文)形如a bc d的式子叫做二行二列矩陣,定義矩陣的一種運(yùn)算a bc d·xy=ax+bycx+dy. 該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)(x,y)在矩陣a bc d的作用下變換成點(diǎn)(ax+by,cx+dy).

    (1)設(shè)點(diǎn)M(-2,1)在0 11 0的作用下變換成點(diǎn)M′,求點(diǎn)M′的坐標(biāo);

    (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)A(Sn,n)在0 11 0的作用下變換成的點(diǎn)A′在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,求an的表達(dá)式;

    (3)在(2)的條件下,設(shè)bn為數(shù)列1-■的前n項(xiàng)的積,是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式?搖bn■

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