例說高中數(shù)學“問題解決”的課堂教學

錢朝暉++陳宇峰

在高中數(shù)學課堂教學中實施“問題解決”教學模式，將有助于學生在掌握數(shù)學基本知識、基本技能的基礎上經(jīng)歷數(shù)學化的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，從而在解決問題中提升“問題解決”的能力。如何在數(shù)學課堂教學中實施“問題解決”教學？本文以教學片段為例進行說明，供大家參考。

一、創(chuàng)設問題情境，感知、理解問題，提升提出新概念的能力

【課例1】“分數(shù)指數(shù)冪”的教學片段

教師：1898年12月26日，居里夫人發(fā)現(xiàn)了鐳?，F(xiàn)在，人們已經(jīng)知道鐳的半衰期約為1600年，即每經(jīng)過1600年，有一半的鐳會變成其他物質。問：1克鐳在分別經(jīng)過3200年、4800年后，還剩下多少克？

學生1：分別剩下克克。

教師：即 克和 克。假定鐳的衰變是“勻速”的，那經(jīng)過2400年，1克鐳還剩下多少？

學生2：（遲疑地） 克？

（答案的怪異引起了全體學生的普遍興趣，“究竟是多少？”成為學生亟待解決的問題。）

教師： ，很怪異。能否給這個數(shù)下個定義，使它“合情合理”？

在經(jīng)過了簡短討論后，有學生舉手發(fā)言。

學生3： = = =

（學生3的回答引起了同學們的一片贊嘆。）

教師：有道理。如果經(jīng)過1200年，1克鐳還剩下多少？

學生4： 克，即 = = 克。

（學生4的回答得到了全體同學的贊同。）

教師：同學們似乎很贊同這個答案，但這個答案很“大膽”。所謂“大膽”，在于“分數(shù)指數(shù)”“四次根式”和運算性質“ = ”還沒有接觸過，是否成立還不知道。今天這節(jié)課就來探討這些問題。（下略）

【評析】在課例1中，分數(shù)指數(shù)冪對初學的學生來說就是一個不能直接用整數(shù)指數(shù)冪進行計算的情境狀態(tài)，需要重新定義其意義。規(guī)定相應的運算法則，這個問題一旦解決，將有助于學生形成對有理數(shù)指數(shù)冪的完整認識，進而完成從有理數(shù)指數(shù)冪到實數(shù)指數(shù)冪的認識飛躍?！皢栴}解決”教學模式下的問題必須具備兩個顯著的特點：一是挑戰(zhàn)性，學生不能直接應用以前的知識和方法找到問題的解法和答案，必須經(jīng)過深入探究與思考、重新整合已有知識與能力儲備才能得出答案；二是可接受性，即它能激起學生的學習興趣，使其產(chǎn)生較高的解決問題的欲望，愿意運用已掌握的知識和方法去解決。課例1中教師通過科學背景（鐳的半衰期）創(chuàng)設了問題情境，既有挑戰(zhàn)性又有可接受性。

二、解決問題，獲得知識，發(fā)展數(shù)學思維能力

在教師創(chuàng)設的問題情境中，學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，僅是“問題解決”課堂教學的第一步，經(jīng)歷解決問題的過程并從中獲得新知識、提升技能、體味成就感是“問題解決”課堂教學的核心環(huán)節(jié)。

【課例2】等比數(shù)列前n項和的推導過程

教師提出下列問題：小林、小明玩“貸款”游戲，規(guī)定：在一個月（30天）中，小明第一天貸給小林1萬元，第二天貸給2萬元……以后每天比前一天多1萬元；而小林則以這樣的方式還貸：第一天支付1分錢，第二天支付2分錢……以后每一天支付的錢是前一天的2倍。試計算30天后兩人各得的錢數(shù)。

學生很快由等差數(shù)列前n項和公式算出了小林得到的總額：1+2+3+…+30=465（萬元），而對小明獲得的總額僅僅列出了算式：1+2+4…+229（分），同時紛紛感到小明“虧大了”。

教師：同學們都感到小明“吃虧了”，那究竟“虧”了多少？1+2+4…+229的值究竟是多少？把它們逐項相加，顯然是很麻煩的。能否像等差數(shù)列前n項和求和一樣，發(fā)現(xiàn)規(guī)律減少運算量呢？學生感到無從下手。

教師接著點撥：算式1+2+4…+229其實就是等比數(shù)列1，2，4，…，2n-1，…前30項的和，這個等比數(shù)列的公比為2，也就是說，從第二項起每一項是前一項的2倍，能否以此作為解題的突破口？

部分學生若有所悟，在小組討論的基礎上，個別同學終于有所發(fā)現(xiàn)。

學生1：令S=1+2+4+…+229，則2S=2+4+8…+230，把兩式相減，可以得到：S=2S-S=230-1，即1+2+4+…+229=230-1。

解法的新奇讓其他學生恍然大悟。

教師：這位同學充分應用了等比數(shù)列的特征，通過在原式左右兩邊同乘以2，再把兩式相減，消去了中間項，簡化了計算。對于一個首項為α1，公比為q的等比數(shù)列{αn}，它的前n項和如何計算呢？（下略）

【評析】在課例2中，教師引導學生解決了等比數(shù)列前n項和的一個特殊情形問題，雖然問題比較簡單，但對學生而言，卻是一個創(chuàng)新過程。在教師的啟發(fā)幫助下，通過自主學習、合作交流，學生在課堂上完全能解決這一問題。解決數(shù)學問題，從根本上來講是把已學到的數(shù)學知識運用到新的情境中去的過程，是一種對已經(jīng)掌握的數(shù)學概念、規(guī)則、方法和技能重新組合的創(chuàng)造性運用。開展問題解決教學，絕不是教師講題目、學生模仿的教學過程，需要經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，它能引導學生主動地對問題進行思考、探索、研究、討論、解決和驗證，獲得真實的情感體驗和豐富的實踐經(jīng)驗，理解數(shù)學知識間的聯(lián)系，并運用所學知識和方法解決問題。

三 、總結評價，提升自我反思和評價能力

在解決問題之前，教師應引導學生對解題活動作出整體性規(guī)劃；在問題解決以后，教師還應引導學生對求解過程和結果進行檢驗與評價，審視解題過程是否合理、簡便，有無其他解答方法，結果是否正確，能否通過一般化、特殊化、變換條件等方式對問題進行拓展與變式。如果發(fā)現(xiàn)過程或結論錯誤，應認真分析錯誤的原因，并及時糾正錯誤，使問題獲得正確答案。

【課例3】（接課例2）首項為α1、公比為q的等比數(shù)列{αn}的前n項和公式的推導

學生2：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，則qS=α1q+α1q2+…+α1qn，把兩式相減，可以得到：（1-q）S=α1-α1qn，即S= 。

教師：請同學們考慮一下，這個結果對嗎？

在小聲討論之后，學生找出了錯誤。

學生3：（1-q）S=α1-α1qn，當q≠1時，才有S= 。

當q=1時，S=nα1。

教師：很好，等比數(shù)列的公比為1時，1-q為0，此時，等式兩邊不能同時除以1-q。同學們還有其他解法嗎？

受學生2解法的啟發(fā)，其他學生紛紛發(fā)言：

學生4：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，則 S= + α1+α1q+α1q2+…+α1qn-2，把兩式相減，可以得到：（1- ）S=α1qn-1- ，當q≠1時，有S= 。

學生5：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，

則S=α1+q（α1+α1q+…+α1qn-2）=α1+q（S-α1qn-1）

變形，可得（1-q）S=α1-α1qn，當q≠1時，有S=

教師：同學們的解法很多。同學2和同學4所采用的求等比數(shù)列前項和的方法稱為“錯位相減法”，同學5則采用了整體代換的方法，這些解法都充分利用等比數(shù)列各項之間的關系減少了中間項，從而簡化了計算。在運用等比數(shù)列前項n和公式時，一定要注意對是否為1進行討論。

【評析】總結評價是構成數(shù)學問題解決過程的一個不可缺少的步驟，它對學生反省解題過程，保證解題過程及結果的正確性，養(yǎng)成從不同角度去分析和解決問題的能力及思維習慣，提高學生自我反思和評價能力都具有十分重要的意義。應經(jīng)常要求學生反思這樣的問題：“你是怎樣想的？”“你能轉化題目中的哪些條件？”“能否把問題特殊化（一般化）？”“如果……，怎么樣？”“你認為哪個解答更好？”等，以此來吸引學生的注意力，使學生逐步具有反思的意識和習慣。

用“問題解決”方式組織課堂教學，讓學生通過觀察與實驗、分析與綜合、一般化與特殊化、類比與歸納等學習活動，經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，有助于激發(fā)學生的學習熱情，在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生的解題能力、學習能力，使其養(yǎng)成自我反思和自我評價的習慣。