數(shù)學(xué)定理證明的“三部曲”

黃有達(dá)

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)定理 證明方法 步驟

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）11A-0067-01

在初中數(shù)學(xué)教材中有很多關(guān)于定理的證明，在教學(xué)時(shí)有的教師為了節(jié)省時(shí)間，往往只是重視了定理的結(jié)論，而忽視了證明的過程，讓學(xué)生錯(cuò)失了真正掌握其中蘊(yùn)含的思想與方法的機(jī)會(huì)。教師要在定理證明中，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，并適時(shí)點(diǎn)撥，讓學(xué)生全面理解和掌握證明所涉及的思想與方法，并實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)生成，防止學(xué)生養(yǎng)成重結(jié)論輕過程的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

一、動(dòng)手操作，感知結(jié)論，提供方法

對(duì)于定理的內(nèi)容，學(xué)生可以通過猜想、觀察、實(shí)驗(yàn)、操作等方式先行獲得，學(xué)生在動(dòng)手操作過程中能夠初步得出結(jié)論，并將所運(yùn)用的方法進(jìn)行總結(jié)。動(dòng)手操作得出的結(jié)論不一定正確，需要通過推理、驗(yàn)證來進(jìn)行理論上的證實(shí)，這樣也就體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，不能想當(dāng)然地認(rèn)可動(dòng)手操作的結(jié)果，因?yàn)檫@只是初步得到了表象的結(jié)論。但這一步又是不可或缺的，因?yàn)樵诓僮髦幸呀?jīng)用到了證明需要的知識(shí)，從而為下一步證明提供了思路與方法。

如人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《三角形的內(nèi)角和定理》在小學(xué)時(shí)學(xué)生就已經(jīng)簡(jiǎn)單了解了，并且在初中階段它上承平行線的性質(zhì)與判定，下啟多邊形的內(nèi)角和，對(duì)于學(xué)生知識(shí)的銜接、能力的遷移有著重要的作用。在教學(xué)伊始，教師可以讓學(xué)生把三角形紙片利用剪、拼的方法將三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，從而得出三角形的內(nèi)角和為180°，在此基礎(chǔ)上學(xué)生就可以得到初步的體驗(yàn)，那就是要證明三角形的內(nèi)角和定理，可以考慮將其三個(gè)角剪拼成一個(gè)平角。這樣的活動(dòng)，為下一步的理論證明提供了實(shí)物模型，點(diǎn)明了思路與方法。在此背景下，教師可以提出，剪拼只是我們得到結(jié)論的一種方法，還不是數(shù)學(xué)知識(shí)獲得最科學(xué)的方法，那么我們能否用推理論證的方法來驗(yàn)證這一結(jié)論呢？問題一提出，自然將學(xué)習(xí)引入了嘗試證明的階段。

二、嘗試證明，理清思路，把握關(guān)鍵

學(xué)生在已有操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上可以自主嘗試證明定理，在證明時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范證明的步驟，理清證明的思路，做到每一步都有理有據(jù)。同時(shí)，教師還需要注意觀察學(xué)生所用到的方法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，開拓思維空間，并注意總結(jié)在證明中每一步所用到的理論依據(jù)，這樣學(xué)生才能在不斷地質(zhì)疑補(bǔ)充中完善證明的方法。

學(xué)生嘗試證明的前提就是前面動(dòng)手操作時(shí)將三個(gè)內(nèi)角拼成了一個(gè)平角，這樣學(xué)生就會(huì)想到過一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊平行線的思路。如對(duì)于ΔABC，可以過頂點(diǎn)A作對(duì)邊BC的平行線，也可以延長(zhǎng)BC，過頂點(diǎn)C作AB的平行線，這樣再利用平行線的性質(zhì)，就可以將三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化到一起，從而證明得出結(jié)論。在充分肯定了學(xué)生證明思路后，又有學(xué)生提出了不同的看法，指出“由平行線是180°，我還想到了同旁內(nèi)角”。這種說法一出，又為本來就要結(jié)束的證明掀起了一個(gè)小高潮。教師表揚(yáng)了該生善于觀察和認(rèn)真思考的品質(zhì)，并讓大家思考該如何證明。學(xué)生在剛才作輔助線的基礎(chǔ)上可以看出，第一種方法只需過點(diǎn)A作一條平行于BC的射線即可，第二種方法只需過點(diǎn)C作平行于AB的射線即可。這樣的生成使學(xué)生的思維更活躍，并進(jìn)行歸納總結(jié)：它們都是過一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，構(gòu)建成平角或同旁內(nèi)角來得出結(jié)論。這樣也就為下一步的拓展延伸奠定了基礎(chǔ)。

三、拓展延伸，適時(shí)點(diǎn)撥，滲透思想

教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥能讓學(xué)生的探究熱情更高。學(xué)生對(duì)證明的方法進(jìn)行全方位、多角度的探索能為下一步的學(xué)習(xí)積累更加豐富的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)感悟其中的數(shù)學(xué)思想與方法，更好地將知識(shí)不斷拓展與延伸。

在學(xué)生進(jìn)行了嘗試證明并總結(jié)出結(jié)論后，學(xué)生可以看到上述幾種方法的共同點(diǎn)都是過頂點(diǎn)作平行線，于是有的學(xué)生就會(huì)思考：過其他點(diǎn)可以嗎？由此就會(huì)出現(xiàn)“點(diǎn)在三角形內(nèi)”和“點(diǎn)在三角形外”兩種情況，這時(shí)教師完全可以放手給學(xué)生，讓學(xué)生用已有的思路與方法進(jìn)行證明，但由于畫圖比較復(fù)雜，在學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立證明時(shí)教師還有必要進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。這樣學(xué)生在證明時(shí)就可以積累更多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，既開拓了思路，又發(fā)散了思維，熟練掌握了解決問題的思想與方法，使課堂教學(xué)真正起到了活用教材、教活學(xué)生的目的。

總之，幾何定理的證明是學(xué)生探究知識(shí)結(jié)論及其形成與發(fā)展過程的必要途徑，讓學(xué)生經(jīng)歷由生活中的模型到抽象的數(shù)學(xué)模型的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，建立學(xué)生的模型思想；再經(jīng)歷將圖形變式，從多角度來進(jìn)行分析證明的過程，可以使學(xué)生的思維更活躍，并感悟到學(xué)習(xí)過程中所涉及的思想與方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 林 劍）