基于幾何直觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究

彭慧秀

摘 要：幾何直觀是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)，也是一種思維方式，兼具形象思維、抽象思維兩大特征。幾何直觀性常用于常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力和空間想象能力，因此，加強(qiáng)幾何直觀與數(shù)學(xué)課程整合就顯得十分重要。以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為研究對(duì)象，以全等三角形和相似三角形數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為實(shí)例闡明幾何直觀在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用，旨在言明幾何直觀性及幾何直觀思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的巨大作用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何直觀；全等三角形；相似三角形；教學(xué)實(shí)踐

新課程改革提出教學(xué)新理念，要求初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教教學(xué)方式的運(yùn)用。因此，在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，老師應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力以及模型思想等諸多能力，以此提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率。

一、幾何直觀的基本含義及利用價(jià)值

所謂幾何直觀，指的是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接識(shí)別或猜想的能力，其能夠明確感受物質(zhì)存在的位置關(guān)系，此時(shí)若加以正確描述，定能發(fā)現(xiàn)并領(lǐng)悟事物位置關(guān)系中的本質(zhì)。幾何直觀與初中數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系緊密，它能夠巧妙地將幾何數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何基本圖形，對(duì)于研究數(shù)學(xué)幾何問題大有裨益。

現(xiàn)階段，不少初中生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)過差，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)功底十分薄弱，面對(duì)幾何數(shù)學(xué)題更顯得束手無策，因此廣大初中數(shù)學(xué)老師務(wù)必要提高自身教學(xué)水平，著手培養(yǎng)班級(jí)學(xué)生的幾何直觀能力，讓學(xué)生由直觀得出幾何基本圖形，然后研究每個(gè)幾何的基本圖形，再把從基本圖形中得出的性質(zhì)綜合起來，從中再找出解決問題的方法。關(guān)于幾何直觀用于初中生數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐最大的利用價(jià)值，就是可以借助圖形將抽象的概念、定理具體化、直觀化，將未知轉(zhuǎn)化為已知，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)效率的提高有著重要的價(jià)值作用。

二、以全等三角形、相似三角形為例的初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)實(shí)踐研究

本次教學(xué)實(shí)踐以程序教學(xué)法為主，旨在通過精心設(shè)置知識(shí)項(xiàng)目序列和強(qiáng)化程序這一方式，取得可觀成績(jī)，具體教學(xué)實(shí)踐內(nèi)容如下：

（一）以全等三角形為例的初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)實(shí)踐研究

1.教學(xué)內(nèi)容

復(fù)習(xí)全等三角形相關(guān)內(nèi)容，重點(diǎn)講解全等三角形判定定理的具體應(yīng)用

2.教學(xué)目標(biāo)

幫助學(xué)生鞏固和理解全等三角形的五種判定方法，能夠熟練應(yīng)用每條判斷定理

3.教學(xué)步驟

（1）復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形的具體判定定理，主要有幾種？分別有什么？哪位同學(xué)知道。

生1：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（老師順便板書定理具體內(nèi)容）

師：這位同學(xué)回答得非常正確，那我們今天就結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題目來復(fù)習(xí)、鞏固這幾種判定定理的實(shí)踐應(yīng)用。

（2）開放設(shè)計(jì)，復(fù)習(xí)概念

例1：如圖1，點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，∠A=∠B，只需添加一個(gè)條件 ，就可用三角形全等的判定“ASA”證明△ACD≌△BCE。

圖1

師：大家想想，要添加什么條件才能證明兩個(gè)三角形全等呢？

生2：添加∠ACD=∠BCE，構(gòu)成ASA證明△ACD≌△BCE。

師：沒錯(cuò)，那么添加什么條件可以用“SAS”證明△ACD≌△BCE呢？

生3：添加AD=BE，能夠構(gòu)成SAS證明△ACD≌△BCE。

師：還可以添加什么條件？

生4：添加∠D=∠E，構(gòu)成AAS證明△ACD≌△BCE。

師：能不能添加DC=EC來證明△ACD≌△BCE？

生5：不可以，因?yàn)椤鰽CD中邊AC、CD和∠A并不符合兩邊和夾角的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：通過以上提問讓學(xué)生進(jìn)一步明晰這幾種判定定理間邊與角的關(guān)系，以防混為一潭，同時(shí)鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（3）變式訓(xùn)練，攻破難點(diǎn)

例2：如圖2，已知AB=DC，AC、DB交于點(diǎn)O，且AC=DB，求證：∠A=∠D。

圖2

簡(jiǎn)析：此題相對(duì)來說較為簡(jiǎn)單，老師可組織學(xué)生拿兩個(gè)已經(jīng)準(zhǔn)備好的三角板按圖擺放，從而迅速解答問題。

變式提問1：如若把上圖中的線段BC擦掉，∠A=∠D還成立嗎？

生6：還成立，可用虛線連接BC進(jìn)行構(gòu)圖，按照例題的思路解答。

變式提問2：如圖3，AB=DC、AC=DB，怎么證明∠B=∠C呢？

圖3 圖4

（受到例2和變式1思路的啟發(fā)，學(xué)生很自然地聯(lián)想到連接AD，難點(diǎn)得以攻破）

生7：連接AD，證明△BAD≌△CDA。

變式提問3：如圖4，AB=DC，AC=DB，你能猜想出AD與BC的位置關(guān)系嗎？

（這個(gè)時(shí)候?qū)W生激情高漲，求知欲完全被調(diào)動(dòng)起來，熱情地積極參加討論，數(shù)學(xué)思維都有了深度和廣度）

設(shè)計(jì)意圖：為展現(xiàn)教學(xué)的層次性，筆者以例2和變式1為鋪墊，由淺至深、步步邁進(jìn)，有效的追問解決了題目中的難點(diǎn)，學(xué)生的幾何直觀思維也得到進(jìn)一步升華。

4.小結(jié)

全等三角形數(shù)學(xué)問題的解答需要幾何圖形的支撐，只有站在幾何圖形的基礎(chǔ)上才能真正了解到數(shù)學(xué)題目中的微妙關(guān)系，從而正確解答幾何數(shù)學(xué)問題。

（二）以相似三角形為例的初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)實(shí)踐研究

1.教學(xué)內(nèi)容

以相似三角形為中心研究對(duì)象，講解相似三角形多解問題和位似概念，順帶運(yùn)用幾何畫板這一工具，有效提升學(xué)生的幾何直觀能力，鍛煉學(xué)生幾何直觀思維。

2.教學(xué)目標(biāo)

幫助學(xué)生貫徹理解相似三角形多解問題和位似概念，拓寬幾何直觀思維之寬度，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題之本質(zhì)。

3.教學(xué)步驟

（1）講解相似三角形多解問題

在相似三角形的教學(xué)過程中，常會(huì)遇到因?qū)?yīng)關(guān)系未確定而分類討論的現(xiàn)象。解題策略主要是由假定的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到成比例線段，隨即求出線段的長(zhǎng)。但如果從存在性加以說明，也許會(huì)取得可觀成效。

例3：如圖5，已知AB⊥BD，垂足為B，CD⊥BD，垂足為D，AB=4，CD=6，BD=14，請(qǐng)問：在BD上是否存在點(diǎn)P，使C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，計(jì)算出P的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

待求出后，再從存在入手，借助幾何直觀性讓學(xué)生看到點(diǎn)的存在性，通過分析得到此作圖方法：①由于AB∥CD，所以利用軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接CA′，交BD于點(diǎn)P，則P為所求（如圖5）。

圖5 圖6 圖7

②由于△APB∽△PCD，所以∠APB=∠PCD。又∠PCD+∠CPD=90°，所以∠APB+∠CPD=90°，從∠APC=90°，再利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，可以AC為直徑作圓，交BD于點(diǎn)P（如圖6）。待學(xué)生弄清后，再拖動(dòng)CD，觀察滿足要求的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)變化，再歸納總結(jié)，使學(xué)生能夠快速且準(zhǔn)確的判斷點(diǎn)P的個(gè)數(shù)（圖7），既鍛煉了學(xué)生的幾何直觀能力，同時(shí)還拓寬了思維含量。

（2）位似概念，揭露概念本質(zhì)

位似變換是相似變換的一種特例，解讀此概念時(shí)要注意兩個(gè)圖形相似、對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊互相平行這三個(gè)要點(diǎn)，此處特舉反例做以說明：

反例1：如圖8，AC⊥OB，△A1FC1與△ABC關(guān)于O點(diǎn)位似，△A1B1C1與△A1FC1關(guān)于直線A1C1對(duì)稱，從而△A1B1C∽△ABC，且滿足AA1、BB1、CC1相較于點(diǎn)O，但是△A1B1C和△ABC不是位似的。

反例2：如圖9，AB⊥BD，CD⊥BD，A、A′關(guān)于直線BD對(duì)稱，連接CA′交BD于點(diǎn)P，從而△ABP∽△CDP，且滿足AB∥CD，BP與DP共線，還滿足CA、DB相較于點(diǎn)O，但是△ABP與△CDP不是位似的。

以上兩個(gè)反例從反面視角揭露了位似概念的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生理解幾何問題大有裨益，加之應(yīng)用了幾何畫板這一工具，不僅加快了整個(gè)解題速率，而且縮短了解題用時(shí)。

4.小結(jié)

相似三角形多解問題和位似概念的理解需要借助幾何圖像來言明，不僅加快了解題速度，而且解題正確率也相對(duì)較高。

總之，幾何直觀性在全等三角形、相似三角形的教學(xué)中得以充分展現(xiàn)，而且全等三角形和相似三角形的解題難度也在幾何直觀性的幫助下有所降低，課堂教學(xué)質(zhì)量也得到極大地提升。

總的來說，于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力是極為有益的，單從上文所列舉的全等三角形、相似三角形兩大實(shí)例便可看出初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要幾何直觀能力的支持，所以初中數(shù)學(xué)老師務(wù)必要重視數(shù)學(xué)幾何直觀性教育的實(shí)質(zhì)化進(jìn)程，落實(shí)到實(shí)處，讓初中生的幾何直觀能力在課堂教學(xué)和課后實(shí)踐中得以培育。

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編輯 魯翠紅