淺析解析幾何中的參變量范圍問題

韋玉球　李春梅　劉立明　任北上

摘要：求解析幾何中的參變量范圍問題的題型是高考中的熱門題型。解析幾何中求參變量范圍問題往往將幾何、代數(shù)、三角知識(shí)交叉滲透，具有頗大的挑戰(zhàn)性。參變量范圍問題能夠很好地考查學(xué)習(xí)者的綜合數(shù)學(xué)解題能力。這種問題涉及知識(shí)點(diǎn)多，而且含參變量的不等式關(guān)系經(jīng)常比較隱蔽難以找出，給解題帶來諸多困難。本文主要就解析幾何中的參變量范圍問題，結(jié)合實(shí)例淺析解析幾何中求解參變量范圍問題的策略。

關(guān)鍵詞：解析幾何；參變量范圍；策略

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）13-0180-03

解析幾何是中學(xué)教學(xué)中不可缺少的內(nèi)容，在考查數(shù)學(xué)綜合能力方面起著不可替代的作用。代數(shù)幾何系統(tǒng)的應(yīng)用研究，解析幾何的知識(shí)和方法，使數(shù)形結(jié)合的思想和方法取得了前所未有的進(jìn)展。而解析幾何中經(jīng)常用參變量作為命題的內(nèi)容，近年來，在高考試題及高考模擬題中求參變量范圍的問題屢見不鮮。高考中解析幾何試題的命制往往以求參變量的取值范圍問題為思路設(shè)計(jì)，涉及學(xué)科知識(shí)廣，使得各知識(shí)點(diǎn)交匯于一處，形成了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。因?yàn)檫@些問題大部分是高難度的，而且發(fā)現(xiàn)含參變量的不等關(guān)系也是存在一定的難度的，所以給問題的解決帶來了很多困難。通過對(duì)此課題的深入研究將總結(jié)與歸納出更完善、更全面的解決解析幾何中的參變量范圍問題的策略，使學(xué)習(xí)者掌握解決這類問題的思考途徑，不斷提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、解析幾何中的參變量范圍問題

解析幾何中的參變量范圍問題涉及廣泛的學(xué)科知識(shí)，例如解析幾何、函數(shù)、不等式、向量、平面幾何等等。參變量就是一個(gè)變量，在不同情況下數(shù)值不同的量，在指定情況下是一個(gè)常數(shù)值，也被稱為“參變數(shù)”、“參量”、“參數(shù)”。中學(xué)所涉及到的幾何中的參變量范圍問題，就是確定某一個(gè)變量的取值范圍（例如截距、點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、斜率等等），能夠使得問題中出現(xiàn)的幾何圖形或者具有某一種幾何特點(diǎn)，或者與數(shù)量存在某種關(guān)系，或者存在某種位置關(guān)系。

二、解析幾何中的參變量范圍問題的求解策略

參變量范圍問題是一類綜合的、應(yīng)用性強(qiáng)而且情景新穎，涉及廣泛學(xué)科知識(shí)的問題。通常運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值等來求解。

1.利用圖形直觀性尋找不等式關(guān)系求參變量取值范圍。如果題目涉及“點(diǎn)點(diǎn)距”（即圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離）與“點(diǎn)線距”（即圓錐曲線上的點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離）之間的關(guān)系，常常利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將它們與離心率聯(lián)系起來，并借助于圖形的直觀性來挖掘隱含的不等關(guān)系。

例1 已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)F 、F ，右準(zhǔn)線l，M是雙曲線右半支上一點(diǎn)，并且有MF 是M到l的距離d與MF 的比例中項(xiàng)，求雙曲線離心率e的取值范圍。

分析：如圖1，容易發(fā)現(xiàn)在ΔMF F 中，顯然隱含著不等關(guān)系MF +MF ≥2c.憑借這一關(guān)系建立含有離心率e的不等式，問題將很容易被攻破。

解：∵M(jìn)F =d·MF ，

∴ = =e.∴MF =eMF ？搖 ①？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

由雙曲線定義，有MF -MF =2a ②

聯(lián)立①、②，解得，MF = ，MF = .

在ΔMF F中，有MF +MF ≥2c，？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

∴ + ≥2c.即 ≥e，又∵e>1，∴1

（1）容易發(fā)現(xiàn)在ΔMF F 中，MF +MF ≥F F ，如果等號(hào)成立，那么此三角形將變成一條線段，若雙曲線右頂點(diǎn)與點(diǎn)M重合，那么點(diǎn)M在線段F F 上，由此可得∠MF F =∠MF F =0° ，∠F MF =180° ，MF +MF =F F .這由初中的三角形基礎(chǔ)知識(shí)可以推出；（2）此例題的解答過程，既運(yùn)用了雙曲線的第一定義又運(yùn)用了其第二定義。

2.運(yùn)用題設(shè)中的不等關(guān)系，建立含參變量的不等式求參變量取值范圍。如果知道題目條件中存在不等關(guān)系，那么可以直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于求含參變量的不等關(guān)系；如果題設(shè)中存在不止一個(gè)變量，而且它們之間存在某種關(guān)系，那么已知的變量通常要用所求的參變量來表示，或者構(gòu)造恰當(dāng)?shù)牟坏仁?，然后通過求解不等式來求出參變量的取值范圍。

例2 雙曲線 - =1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線l過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線l的距離之和h≥ c，求雙曲線的離心率e的取值范圍。

分析：用含a、b、c的式子表示h，并利用已知“h≥ c”來求解。

解：由題意可設(shè)直線的方程為 + =1，即bx+ay-ab=0.依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，且a>1，可得點(diǎn)（1，0）到直線l的距離h = ；同理得點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離h = .于是h=h +h = =

？搖由5a ≥2c ，于是5 ≥2e ，即4e -25e +25≤0，解得 ≤e ≤5.又由于e>1，所以e的取值范圍是 ， 。注意對(duì)隱含條件“雙曲線的離心率大于1”。

3.利用幾何不等式或代數(shù)基本不等式構(gòu)造不等式求參變量范圍。

ab≤ ≤ 是最基礎(chǔ)的代數(shù)基本不等式。當(dāng)遇到某些與參變量范圍有關(guān)的題目時(shí)，若解題過程中需探討形如“a+b”、“ab”、“b +a ”等的式子之間的關(guān)系時(shí)，可以嘗試?yán)没静坏仁胶蛶缀瘟恐g固有的大小關(guān)系來建立符合題意的含參變量的不等關(guān)系。

例3 設(shè)橢圓 + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F ，F(xiàn) ，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使得∠F QF =90°，求此橢圓離心率e的取值范圍。

解析：由∠F QF =90°，可知在△QF F 中，有

QF +QF =F F ①

由橢圓定義，有2a=QF +QF

對(duì)該式兩邊平方，得4a =QF +QF +2QF ·QF ②

由基本不等式，知2QF ·QF ≤QF +QF ？搖 ③

當(dāng)且僅當(dāng)QF =QF ，即b=c= a時(shí)取等號(hào)。

由①②③得4a ≤2（QF +QF ）=2F F =8c ，于是 ≥ ，即e ≥ ，又0

本題還可以利用圖形的幾何特性來求解。

4.挖掘曲線自身的幾何性質(zhì)，尋找隱含不等式求參變量范圍。解析幾何中的圓錐曲線自身都包含了一些不等關(guān)系。常見的含不等關(guān)系的性質(zhì)有：拋物線離心率等于1，橢圓的離心率大于0而小于1，雙曲線的離心率大于1。而且圓錐曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是有一定的取值范圍的。所以可以利用它們的取值范圍建立不等關(guān)系。當(dāng)然有的不等關(guān)系比較隱蔽，因此要用心地分析題中給出的條件及結(jié)論。

（1）利用點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)造不等式求參變量范圍。

點(diǎn)Q（x ，y ）與圓錐曲線方程f（x，y）=0存在三種關(guān)系：若Q在圓錐曲線上，則f（x ，y ）=0；若Q在圓錐曲線內(nèi)，則f（x ，y ）<0；若Q在圓錐曲線外，則f（x ，y ）>0.由此可見，平面內(nèi)曲線與點(diǎn)都滿足一定的關(guān)系。因此可以用這些關(guān)系來構(gòu)造不等式解題。

例4 若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 + =1總有公共點(diǎn)，則求x的取值范圍。

解析： + =1y=kx+1消去y，

得（m+5k ）x +10kx+5-5m=0

又因?yàn)閙+5k ≠0，因此直線與橢圓有公共點(diǎn)必須滿足

Δ=（10k） -4（m+5k ）（5-5m）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)k恒成立，化簡(jiǎn)25mk +5m -5m≥0

又因?yàn)閙>0，得m≥1-5k 對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，因此有m≥1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，因此5>m，因此m的取值范圍是[1，5）.

直線與公共點(diǎn)的問題通常都可以轉(zhuǎn)化為方程根的討論。

（2）利用曲線方程中變量的范圍建立不等式求參變量范圍。

圓錐曲線上的坐標(biāo)是有界的，例如橢圓 + =1上的點(diǎn)Q（x，y）滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b.于是可以利用有界性構(gòu)造不等式求解。

例5 設(shè)點(diǎn)Q（x ，0）是橢圓 + =1上任意兩點(diǎn)連線的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，求x 的取值范圍。

分析：要求x 的取值范圍，必須從題目條件中找出含x 的不等關(guān)系，然而題目條件中給出了橢圓上的任意兩點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可以知道橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須滿足-4≤x≤4，可以通過利用這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與x 之間的關(guān)系來求解。

利用這種方法求參變量范圍的關(guān)鍵是尋找參變量與長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率等之間的關(guān)系（如題中尋找x +x 與x 之間關(guān)系）。

5.運(yùn)用函數(shù)與方程思想，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值求參變量范圍。利用函數(shù)與方程思想，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值，對(duì)解決解析幾何中的參變量范圍問題起著至關(guān)重要的作用。運(yùn)用函數(shù)與方程思想，運(yùn)用判別式（或區(qū)間根原理）建立不等式求參變量范圍，用“方程”來表示“曲線”是解析幾何的一大特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用方程的思想和方程有實(shí)數(shù)解的條件，就可以找出一個(gè)與討論對(duì)象有關(guān)的不等關(guān)系了。從直線與圓錐曲線的位置關(guān)系出發(fā)，當(dāng)題設(shè)中給出的直線與圓錐曲線有交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，可以將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)結(jié)起來，消除其中的一個(gè)未知數(shù)，從而化簡(jiǎn)得出只含有一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，就可以運(yùn)用判別式Δ≥0或Δ<0（或者區(qū)間根原理）構(gòu)造出含欲求參變量的不等式，解出參變量范圍。

例6 過雙曲線 - =1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F作雙曲線斜率大于零的漸近線的垂線l垂足為Q，設(shè)l與C的左、右兩支交于A、B兩點(diǎn)，求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

分析：由于直線與雙曲線C的左、右兩支交于A、B兩點(diǎn)，因此可以聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程，消除y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，且此方程有兩個(gè)不同符號(hào)的實(shí)根，由此可以建立起與離心率e有關(guān)的含參數(shù)a、b、c所滿足的不等式。

利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式求參變量范圍。當(dāng)遇到與三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，可以考慮從三角函數(shù)的有界性出發(fā)構(gòu)造不等式來求解。圓錐曲線的參數(shù)方程既表明了曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與第三變量之間存在的關(guān)系，使得點(diǎn)的坐標(biāo)表示以及之間的關(guān)聯(lián)簡(jiǎn)潔明了，又為某些問題的解決提供了不同的選擇。當(dāng)三角函數(shù)應(yīng)用到直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程時(shí)，可以利用其三角函數(shù)來化簡(jiǎn)式子，并利用其有界性建立不等式。

例7 雙曲線 - =1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 、F ，若Q為雙曲線上一點(diǎn)，且QF =2QF ，求雙曲線離心率e的取值范圍。

分析：此例題要考查的內(nèi)容是與雙曲線有關(guān)的性質(zhì)，離心率的求解方法及焦半徑問題。利用余弦定理建立起兩個(gè)焦距與焦半徑之間的關(guān)系，然后依據(jù)三角函數(shù)的取值范圍來構(gòu)造不等式來求解。

解：設(shè)QF =m，∠F QF =θ（0<θ≤π），若Q在右頂點(diǎn)處，那么θ=π，

e= = = ，

∵-1

本例題也可以運(yùn)用三角形的兩邊之和大于第三邊，及兩邊之差小于第三邊的關(guān)系來求解。但必須注意的是前面的解法可以取到等號(hào)，因?yàn)槿c(diǎn)可以在同一直線上，也可以運(yùn)用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。

利用函數(shù)的值域和最值求參變量范圍。有關(guān)參變量取值范圍問題，可以通過恰當(dāng)引入變量（例如點(diǎn)的坐標(biāo)，角，斜率等），構(gòu)造參變量與相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)解析式的特征，通過變形和轉(zhuǎn)換，運(yùn)用配方法、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識(shí)求出函數(shù)的最值和值域，從而確定參變量范圍。

三、結(jié)束語

求解解析幾何中的參變量范圍問題往往運(yùn)用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將問題轉(zhuǎn)化為求解參數(shù)的方程。在某給定范圍內(nèi)有解的問題或?qū)ふ翌}設(shè)的約束條件，把問題轉(zhuǎn)變成與參變量存在一定關(guān)系的問題，再綜合運(yùn)用方程、不等式以及函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)求解參變量的范圍問題。注意題中的已知條件，利用題設(shè)條件使欲求參變量與圓錐曲線上的坐標(biāo)或者圓錐曲線的特征參數(shù)建立起聯(lián)系。還需注意平面上的二次曲線自身的范圍以及已知變量的范圍，二次方程有解的條件。

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