超級畫板輔助數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的應用與探究

何彩　許暉

摘要：數(shù)形結(jié)合思想貫穿著整個初高中，它不僅是一種巧妙的解題方法，還是一種嚴謹?shù)臄?shù)學思維，只有當思維圖式形成，才能真正做到方法的運用。

關鍵詞：數(shù)形結(jié)合；問題解決；超級畫板

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）14-0182-02

在科技發(fā)達的今天，創(chuàng)新型人才是社會的爭搶者，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才也是素質(zhì)教育所倡導的教育目的，教師在教學過程中不但要教會學生知識與能力，發(fā)展學生的智力，還應培養(yǎng)學生的非智力因素與辯證思維能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性

數(shù)學是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關系的科學。坐標軸的誕生使得數(shù)成為形的抽象概括，形成為數(shù)的直觀表現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)途徑

如何培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想？通過什么途徑進行培養(yǎng)？在傳統(tǒng)的教學中往往通過粉筆、黑板、模具等進行展示，缺少精確度與柔美性，老師畫得辛苦，學生看得痛苦，尤其當遇見空間幾何體與球體中動點運動的軌跡時，教師就更難在黑板上進行演示。

三、問題解決教學的意義

數(shù)學的真正組成部分是問題和解決問題，問題是數(shù)學的心臟，問題解決作為學習數(shù)學課程的一個實踐性環(huán)節(jié)，能使學習者深入地理解數(shù)學概念，全面系統(tǒng)地掌握數(shù)學知識。

四、問題解決中數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的過程

問題解決作為個人的認知行為活動，近年來已被國內(nèi)外心理學家從多角度對其進行了全面的研究，并取得了豐碩的成果。其中巴浦洛夫提出的三條經(jīng)典條件反射學習律給予筆者很大啟示：（1）消退律；（2）泛化律；（3）分化律。他強調(diào)，一個刺激如果得不到強化，那么之前形成的聯(lián)結(jié)就會消退，如果施與之前刺激類似的刺激進行強化，則對這一系列的刺激都會得到加強。因此，對數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，需要用同一系列的刺激，從簡到繁不斷地進行強化，在泛化的過程中達到鞏固。結(jié)合這一理論筆者將問題解決教學歸納為四個過程：表征問題，解答問題，思路總結(jié)，思想遷移。在這四個過程中逐步進行數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，那么如何利用超級畫板在這四個過程中培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想？以下用一案例進行分析。

案例：求函數(shù)y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。

題目剛被展示出來，學生已經(jīng)噓聲一片，該題難度較大，確實很難解出，筆者試圖先用簡單形式進行誘導，進而啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)新知。

先求函數(shù)y=|x+5|+|x-3|的值域：

絕對值在高中課本中是非常重要的知識點，每一個絕對值都可展成兩個不同的式子，如|x+5|=x+5 x≥-5-x-5 x<-5，對此要解決該問題，需要同時滿足兩個絕對值的展開式，則必須進行分類討論，解題過程如下：（1）當x∈（-∞，-5）時，y=-（x+5）-（x-3）=-2x-2，在此分類下即求一次函數(shù)y=-2x-2在定義域x∈（-∞，-5）內(nèi)的值域，此時y∈（8，+∞）。（2）當x∈[-5，3]時，y=（x+5）-（x-3）=8，在此分類下即求常函數(shù)y=8在定義域x∈[-5，3]內(nèi)的值域，此時y∈[8，+∞）。（3）當x∈（3，+∞）時，y=（x+5）+（x-3）=2x+2，在此分類下即求一次函數(shù)y=2x+2在定義域x∈（3，+∞）內(nèi)的值域，此時y∈（8，+∞）。對三個分類下分別求出的值域取并集可得：y∈[8，+∞）。即為該題的結(jié)果y∈[8，+∞）。

在數(shù)形之間進行轉(zhuǎn)換，讓學生在直觀的教學中感受絕對值的幾何意義，從而更加深刻地認識到將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來的過程，達到對知識的理解與運用，用超級畫板動態(tài)演示解決問題的過程如下：

1.表征問題：由數(shù)到形的轉(zhuǎn)變。絕對值|a-b|的幾何意義是：數(shù)軸上a，b兩點之間的距離。y=|x+5|+|x-3|即求數(shù)軸上任意一點與-5的距離加上與3的距離的和的所有取值。這樣就將抽象的代數(shù)語言與直觀的圖形語言進行溝通，達到以形表數(shù)的目的。

2.解答問題：以形解數(shù)的體現(xiàn)。筆者在超級畫板中繪制出數(shù)軸及點A（-5，0），B（3，0），在數(shù)軸上任取一點C，測量|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的長度（如圖1）。拖動C點在數(shù)軸上來回運動，讓學生觀察|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的值的變化，筆者提問：C點在A，B兩點之間運動與在A，B兩點之外運動時|AC|+|BC|的值有什么變化？并誘導學生討論C點運動到什么位置時，|AC|+|BC|的值達到最小。學生通過觀察，很容易知道：當C點在A，B兩點之間運動時，|AC|+|BC|=8恒成立，當C點從A點開始往-∞運動，或C點從B點開始往+∞運動時，|AC|+|BC|的值比8逐次增大，當C點在A，B兩點間的任何位置處時，|AC|+|BC|的值達到最小，最小值為8，在這個過程中，筆者試圖讓學生從動態(tài)的“形”中體會到|AC|+|BC|的不同變化，學生通過觀察可直接得出結(jié)果|x+5|+|x-3|≥|AC|+|BC|min=8。即|x+5|+|x-3|≥8。學生將絕對值式的代數(shù)語言與數(shù)軸上點之間的距離產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，從而在大腦編碼中形成數(shù)形結(jié)合圖式。

3.思路總結(jié)：由形到數(shù)的回歸。筆者誘導學生得出結(jié)論：求解y=|x-a|+|x-b|，（a

4.思想遷移：數(shù)形結(jié)合思想的強化。通過超級畫板的演示，讓數(shù)與形之間完美地結(jié)合。學生興趣大增，心情異常興奮，不禁大贊超級畫板的神奇。此時筆者繼續(xù)對題目升華，將題目改為：求函數(shù)y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域。筆者組織學生小組合作，組間討論，并讓學生自己動手演示（如圖2），筆者提問：C點在A，D，B三點之間運動時，|AC|+|BC|+|DC|的值發(fā)生了什么變化，它的最小值又為多少？達到最小值時C點在什么位置？學生積極討論，類比剛學習的知識，很快就可以得出結(jié)論：當C點運動到與D點重合時，|AC|+|BC|+|DC|的值達到了最小，最小值為8，C點從D點開始往-∞運動，或C點從D點開始往+∞運動時，|AC|+|BC|+|DC|的值逐次比8增大，函數(shù)y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域為{y|y≥8}。在此過程中，筆者用類似的刺激對學生進行誘導，學生很快達到了知識的遷移，數(shù)形結(jié)合思想得到了再次的加強，思想的遷移初見成效。筆者誘導學生總結(jié)出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，（a

筆者繼續(xù)組織學生討論y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域，學生的積極性大增，興趣達到至高點，爭先搶后地要親自操作（如圖3），學生用類似的方法可找到|AC|+|BC|+|DC|+|EC|的最小值為11，取最小值時C點再D，E之間的任何位置。即y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域為{y|y≥11}，可見用超級畫板演示數(shù)軸上點的運動這一類似刺激與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)結(jié)已經(jīng)得到了泛化，并在學生的頭腦中形成了固定的圖式，數(shù)形結(jié)合思想達到了鞏固與加強。

學生總結(jié)出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，（a

筆者用超級畫板對y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|+|x+1|進行驗證（如圖4），猜想正確。數(shù)形結(jié)合思想得到泛化并鞏固。

筆者鼓勵學生猜想并驗證得：對于

|x-a|+|x-b|+|x-c|+……+|x-n|，（a

原題：求函數(shù)y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。便可得到解決，最小值m=（1005-1004）+（1006-1003）+……+（2008-1）+（2009-0）+[2000-（-1）]+[2011-（-2）]=2019054，則值域為{y|y≥2019054}。

五、結(jié)束語

超級畫板的動態(tài)演示使學生的數(shù)形結(jié)合思想得到了強化與鞏固，而數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)也絕非一日之功，需要在今后的學習中不斷加強練習與探索。

參考文獻：

[1]張同君.中學數(shù)學解題探究[M].東北師范大學出版社，2001.

[2]張景中.動態(tài)幾何教程[M].科學出版社，2007.