必修5中的兩個(gè)有趣的數(shù)列

連毅端??

在必修5的數(shù)列部分中，課后的“閱讀與思考”涉及到兩個(gè)數(shù)列：斐波那契數(shù)列與九連環(huán)數(shù)列，其中斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解沒有給出，而有關(guān)九連環(huán)的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解過程很多學(xué)生反映不好理解，介于此，本文重點(diǎn)就如何求兩個(gè)有趣數(shù)列的通項(xiàng)公式，以饗讀者.

首先我們來看如何求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式an，這里介紹兩個(gè)方法：待定系數(shù)法與特征方程法.

已知斐波那契數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an，求an.

解法一 待定系數(shù)法

解 由an+2-αan+1=β（an+1-αan），得an+2=（α+β）an+1-αβan，

令α+β=1

αβ=-1α=1-52

β=1+52

從而an+2-1-52an+1=1+52（an+1-1-52an），即an+2-1-52an+1an+1-1-52an=1+52.

所以an+1-1-52an為等比數(shù)列，公比是1+52，首項(xiàng)=a2-1-52a1=1+52

所以an+1-1-52an=1+52·1+52n-1，

an+1-1-52an=1+52n，

an+11+52n-1-52·an1+52n=1.

an+11+52n--3+52·an1+52n-1=1.

令

bn=an1+52n-1，bn+1=5-32bn+1.

利用待定系數(shù)法可知：bn=5-510（5-32）n-1+5+510，所以an1+52n-1=5-510·5-32n-1+5+510，經(jīng)整理得：an=15（1+52）n-15（1-52）n.

解法2 特征方程法

解 特征方程：x2-x-1=0的特征根是x1，2=1±52.

設(shè)an=A1·（1+52）n-1+A2·（1-52）n-1，A1+A2=1，

A1·1+52+A2·1-52=1， 得

A1=15·1+52，

A2=-15·1-52.

an=15（1+52）n-15（1-52）n.

通過求出的通項(xiàng)公式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的，這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例，而與斐波那契數(shù)列相關(guān)的有趣內(nèi)容讀者可以網(wǎng)上查閱.

接下來再看如何求九連環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

已知九連環(huán)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=an-1+2an-2+1（n≥3），求an

解 an=an-1+2an-2+1（n≥3），

an+an-1+1=2（an-1+an-2+1），

an+an-1+1an-1+an-2+1=2，

所以數(shù)列{an+an-1+1}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)是4.

an+an-1+1=4·2n-2=2n，

an+an-1=2n-1， ①

an+1+an=2n+1-1. ②

由②-①：an+1-an-1=2n，

當(dāng)n=2k時(shí)，

a2k+1-a2k-1=22k，

a3-a1=22，

a5-a3=24，

a7-a5=26，

…

a2k+1-a2k-1=22k，

a2k+1-a1=22-22k·221-22，

a2k+1=22k+2-13，

所以an=2n+1-13（n為奇數(shù)）.

當(dāng)n=2k+1時(shí)，a2k+2-a2k=22k+1，

a4-a2=23，

a6-a4=25，

…

a2k+2-a2k=22k+1，

所以a2k+2-2=23-22k+1·221-22，

a2k+2=22k+3-23，

所以an=2n+1-23（n為偶數(shù)），

所以an=2n+1-13，（n為奇數(shù)）

2n+1-23，（n為偶數(shù)）

從而a9=13（29+1-1）=341，即解九連環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)341次.

通過課本的這兩個(gè)例子，我們從中可以挖掘出很多有趣的內(nèi)容，這些內(nèi)容也是學(xué)生很感興趣的，因此，課本的“閱讀與思考”可以作為很好的課題讓學(xué)生拓展知識(shí)面，值得每一個(gè)學(xué)生去探索.

作者簡介 連毅端，男，福建泉州人，石獅市優(yōu)秀教師.