獨(dú)立性檢驗(yàn)的困難、對(duì)策與價(jià)值

朱源+何小亞+蔡倩

1 前言

近十年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展以及大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，算法、概率與統(tǒng)計(jì)等知識(shí)愈發(fā)受到基礎(chǔ)教育的重視，而獨(dú)立性檢驗(yàn)作為一種重要的統(tǒng)計(jì)推斷方法更是如此.在2003年中國(guó)頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中，獨(dú)立性檢驗(yàn)被安排在選修1-2和選修2-3，具體要求如下：“通過(guò)對(duì)典型案例的探究（如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等），了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用.”[1]然而在獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果卻不盡如人意.黃華勝關(guān)于學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的理解研究發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生不認(rèn)可獨(dú)立性檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)的說(shuō)理方式，他們認(rèn)為統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論存在運(yùn)氣成分，一次統(tǒng)計(jì)的結(jié)果不能說(shuō)明問(wèn)題[2].那么獨(dú)立性檢驗(yàn)究竟難在何處？有什么教學(xué)對(duì)策？又有什么教學(xué)價(jià)值？本文將分別進(jìn)行探討.

2 獨(dú)立性檢驗(yàn)難在何處

2.1 具體內(nèi)容方面

2.1.1 數(shù)值變量與分類(lèi)變量

數(shù)值變量是由測(cè)量或計(jì)數(shù)所得到的量，如溫度、長(zhǎng)度、速度等，其具有數(shù)值特征，也叫定量變量.分類(lèi)變量則只有性質(zhì)上的差異，具體分為有序變量和無(wú)序變量.有序變量即具有次序關(guān)系的變量，如將產(chǎn)品分為一等品、二等品和三等品；無(wú)序變量即不具有次序關(guān)系的變量，如性別（男、女）、人種（白人、黑人、黃種人）等.

學(xué)生過(guò)去在回歸分析和函數(shù)的學(xué)習(xí)中，所遇到的變量都是數(shù)值變量，因此缺乏有關(guān)分類(lèi)變量的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).但現(xiàn)實(shí)生活中，分類(lèi)變量是大量存在的，判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系，即獨(dú)立性檢驗(yàn)要解決的問(wèn)題.如“吸煙與患肺癌是否有關(guān)系”的問(wèn)題中，所涉及的兩個(gè)分類(lèi)變量分別是：是否吸煙（可取值“是”、“否”）；是否患肺癌（可取值“是”、“否”），這兩個(gè)分類(lèi)變量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)要用列聯(lián)表的形式，而學(xué)生往往缺乏將兩者視為變量的意識(shí).

2.1.2 如何選擇原假設(shè)H0

原假設(shè)H0是對(duì)所研究總體的一種假設(shè)，其目的應(yīng)使后續(xù)所選的統(tǒng)計(jì)量在該假設(shè)之下，分布已知，進(jìn)而通過(guò)實(shí)測(cè)樣本，計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，并根據(jù)預(yù)先設(shè)定的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)，做出拒絕或接受原假設(shè)的判斷.例如在“吸煙與患肺癌是否有關(guān)系”的問(wèn)題中，在“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”的假設(shè)之下，統(tǒng)計(jì)量K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）（當(dāng)n充分大時(shí)）近似服從自由度為1的卡方分布.反之，若將“吸煙與患肺癌有關(guān)系”作為原假設(shè)，上述統(tǒng)計(jì)量的分布則未知，因而無(wú)法根據(jù)預(yù)先設(shè)定的顯著性水平做出判斷.這是獨(dú)立性檢驗(yàn)的一大教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生即使學(xué)完該節(jié)內(nèi)容，往往還很困惑：根據(jù)數(shù)據(jù)，我們的直觀判斷明明是‘吸煙和患肺癌有關(guān)，為什么還要做出兩者無(wú)關(guān)的假設(shè)呢？假設(shè)兩者有關(guān)可行嗎？

2.1.3 如何理解P（A）、P（B）的含義

《數(shù)學(xué)選修2-3》用A表示不吸煙，B表示不患肺癌[3].那么P（A）是指的是什么，學(xué)生容易將其理解為：生活中任意一個(gè)人不吸煙的可能性.事實(shí)上這是一種誤解，因?yàn)獒槍?duì)具體的任意個(gè)體，其吸煙與否是確定事件，不吸煙概率要么為0，要么為1，隨著時(shí)間的推移，個(gè)體可能從不吸煙狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槲鼰煚顟B(tài)，這種轉(zhuǎn)換概率則屬于另一個(gè)概率空間.根據(jù)教材的意圖，P（A）應(yīng)是我們?cè)谌粘Ｉ钪须S意碰到一個(gè)不吸煙的人的概率，其精確值是吸煙人數(shù)與人口總數(shù)的比值.而根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，利用頻率估計(jì)概率可得到其近似值，因此樣本的容量不能太小.

2.1.4 如何理解隨機(jī)變量K2

學(xué)生在對(duì)隨機(jī)變量K2的理解上，第一個(gè)難點(diǎn)即如何區(qū)分K2、k與k0.K2是一個(gè)隨機(jī)變量，隨實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的變化而變化，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可計(jì)算其觀測(cè)值k，而k0是一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值.

學(xué)生在對(duì)隨機(jī)變量K2的理解上，第二個(gè)難點(diǎn)即這個(gè)統(tǒng)計(jì)量是如何構(gòu)造出來(lái)的.實(shí)際上，K2即在原假設(shè)H0下，每個(gè)格子實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)差值平方除以理論頻數(shù)的累加和：

K2=∑a，b，c，d（實(shí)際頻數(shù)-理論頻數(shù)）2理論頻數(shù)=n（ad-bc）2（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）.

學(xué)生在對(duì)隨機(jī)變量K2的理解上，第三個(gè)難點(diǎn)即為什么要選擇這一統(tǒng)計(jì)量，而不是ad-bc.《數(shù)學(xué)選修2-3》[3]和《數(shù)學(xué)選修1-2》[4]的解釋是：為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，但學(xué)生容易將其誤解為：K2消除了樣本容量的差異，則選擇小樣本和大樣本對(duì)結(jié)果不會(huì)造成影響.對(duì)這句話的正確理解應(yīng)是：與ad-bc相比，K2的優(yōu)勢(shì)在于無(wú)論樣本容量怎么改變，K2將近似服從同一個(gè)分布，即自由度為1的卡方分布，而樣本容量越大，近似程度越高.

2.1.5 如何理解“犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01”

為了避免使用顯著水平的概念，舊版的人教版教材在解釋獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果時(shí)，為“把握”賦予了特定的含義[5]：在實(shí)際應(yīng)用中，我們把k≥k0解釋為有（1-PH0（K2≥k0））×100%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”；把k

但現(xiàn)有的不少教輔或試卷仍然采用老教材的解釋方案，容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解.

2.1.6 能否構(gòu)造其他統(tǒng)計(jì)量判斷兩個(gè)變量有關(guān)

答案是肯定的，只要該統(tǒng)計(jì)量的分布或近似分布已知即可.但為何幾乎所有獨(dú)立性檢驗(yàn)都選擇K2作為統(tǒng)計(jì)量，其優(yōu)點(diǎn)是什么？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解答至少應(yīng)包括兩個(gè)方面：①只要樣本容量充分大，K2近似服從自由度為1的卡方分布，即是說(shuō)K2提供了統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；②如果一套統(tǒng)計(jì)規(guī)則已經(jīng)成為解決某種問(wèn)題的主流方法，那么在其他更優(yōu)秀的替代規(guī)則出現(xiàn)前，研究者更傾向于選擇現(xiàn)有的主流方法，既因?yàn)闅v史已證明該規(guī)則的有效性，也因?yàn)檫@是研究成果能在同行間進(jìn)行交流的保證.

2.2 宏觀認(rèn)識(shí)方面

2.2.1 獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想

獨(dú)立性檢驗(yàn)是考察兩個(gè)變量是否獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，具體做法是：首先對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系作假設(shè)（一般假設(shè)其獨(dú)立），然后選取合適的統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)實(shí)測(cè)樣本計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，最后根據(jù)預(yù)先設(shè)定的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)，做出接受或拒絕原假設(shè)的判斷.其本質(zhì)即“小概率反證法”，是一種顯著性假設(shè)檢驗(yàn).然而已有研究表明，絕大部分學(xué)生不認(rèn)可獨(dú)立性檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)的說(shuō)理方式，他們認(rèn)為統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論存在運(yùn)氣成分，一次統(tǒng)計(jì)的結(jié)果不能說(shuō)明問(wèn)題[2].

2.2.2 回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)所研究的問(wèn)題范疇

在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，無(wú)論兩個(gè)或多個(gè)的數(shù)值變量還是兩個(gè)或多個(gè)的分類(lèi)變量，都可以進(jìn)行回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)，并且這兩種統(tǒng)計(jì)分析是相輔的：回歸分析所得兩變量的相關(guān)系數(shù)只是刻畫(huà)了兩者的相關(guān)程度，但判斷其相關(guān)性是否顯著則需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).反之，獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)兩變量的相關(guān)性進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)，但其相關(guān)關(guān)系是線性的還是非線性的、相關(guān)性有多強(qiáng)，則需要通過(guò)回歸分析來(lái)解決.

囿于課程內(nèi)容的統(tǒng)籌和學(xué)生的認(rèn)知水平，在高中數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)案例一章中，回歸分析只研究“兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的數(shù)值變量如何建立回歸方程、它們的相關(guān)性多大”的問(wèn)題，這兩個(gè)數(shù)值變量要區(qū)分解釋變量與預(yù)報(bào)變量，前者是確定的普通變量，后者是隨機(jī)變量.而獨(dú)立性檢驗(yàn)只解決“兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否相關(guān)，有多大把握做出判斷”的問(wèn)題，這兩個(gè)分類(lèi)變量都是隨機(jī)變量，不分自變量與因變量.

3 困難的原因分析

3.1 數(shù)學(xué)證明的負(fù)遷移

Belle將證明進(jìn)行了以下分類(lèi)：①個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)；②權(quán)威的認(rèn)可；③觀察到的實(shí)例；④舉不出反例；⑤結(jié)論的有效性；⑥數(shù)學(xué)的邏輯演繹推理[8].數(shù)學(xué)證明只是諸多證明方法中的一種，但學(xué)生所熟練的邏輯演繹推理的證明方式卻容易對(duì)其他證明方法產(chǎn)生負(fù)遷移效應(yīng).這種效應(yīng)在獨(dú)立性檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)中突出表現(xiàn)為：從數(shù)學(xué)證明的角度（尤其是源于反證法的類(lèi)比遷移）看待統(tǒng)計(jì)推斷，不認(rèn)可獨(dú)立性檢驗(yàn)的說(shuō)理方式，認(rèn)為既然小概率事件不是不可能事件，那么通過(guò)小概率事件的發(fā)生來(lái)拒絕原假設(shè)就有可能犯錯(cuò)，因此這種推斷不可靠.除非在原假設(shè)之下，實(shí)測(cè)事件不可能發(fā)生，才能拒絕之.

3.2 認(rèn)知圖式中缺乏起固定作用的經(jīng)驗(yàn)

奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論提供有意義學(xué)習(xí)得以發(fā)生的三個(gè)先決條件，其中之一則是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備適當(dāng)?shù)挠^念.這一理論對(duì)解釋學(xué)生學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的認(rèn)知困難具有重要意義，具體而言體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：①學(xué)生在進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)之前，缺乏運(yùn)用“小概率反證法”的直觀經(jīng)驗(yàn)；②學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理圖式中所涉及的相關(guān)概念如分類(lèi)變量、隨機(jī)變量等的理解不夠深刻、精確.

3.3 課標(biāo)的界定不清楚

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)的具體要求如下[1]：①通過(guò)對(duì)典型案例的探究（如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等），了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用；②通過(guò)對(duì)典型案例的探究（如“質(zhì)量控制”“新藥是否有效”等），了解實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及初步應(yīng)用.但獨(dú)立性檢驗(yàn)本質(zhì)上就是假設(shè)檢驗(yàn)，在課標(biāo)中不應(yīng)該將二者分開(kāi).參與人教版《數(shù)學(xué)選修1-2》和《數(shù)學(xué)選修2-3》編寫(xiě)工作的李勇教授，一方面承認(rèn)：“獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)”，另一方面又指出：“專(zhuān)家在審查教材時(shí)，認(rèn)為‘假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理和‘聚類(lèi)分析的基本思想不適應(yīng)于高中的知識(shí)背景，建議刪除這兩方面的內(nèi)容”[7]，則未免有自相矛盾的嫌疑.

3.4 “考教悖論”

面對(duì)高考時(shí)，一線教師的態(tài)度是“考什么就教什么”，而命題專(zhuān)家的態(tài)度則是“教什么就考什么”，這一矛盾即所謂的“考教悖論”.一方面，由于課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的要求只是“了解”，因此高考很少考查或者只考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的操作步驟；另一方面，高考的命題趨向又促使一線教師壓縮獨(dú)立性檢驗(yàn)的教學(xué)時(shí)間，只教其操作步驟.

4 相關(guān)建議

4.1 課程標(biāo)準(zhǔn)的修正建議

將獨(dú)立性檢驗(yàn)視為一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)，對(duì)中國(guó)、新加坡、美國(guó)、澳大利亞、芬蘭的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[9]～[13]中的假設(shè)檢驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比，以期為中國(guó)后續(xù)新課標(biāo)的制定提供有益建議.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）新加坡非常重視統(tǒng)計(jì)知識(shí)，將H1、H2課程分為純數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)兩個(gè)部分.其中假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容非常全面（表1），并且H1與H2水平的要求體現(xiàn)了一定的差異性.

（2）美國(guó)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的統(tǒng)計(jì)與概率部分有四項(xiàng)內(nèi)容：①解釋分類(lèi)數(shù)據(jù)和度量數(shù)據(jù)；②做出推斷與證明結(jié)論；③條件概率與概率規(guī)則；④利用概率做決策.每項(xiàng)內(nèi)容之下還有若干具體的條目.雖然沒(méi)有特別提出假設(shè)檢驗(yàn)的概念和相關(guān)術(shù)語(yǔ)，但在“做出推斷與證明結(jié)論”這一項(xiàng)中，共6個(gè)條目，其中2條（第2條和第5條）滲透了假設(shè)檢驗(yàn)的思想：確定一個(gè)具體模型是否與給定數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程的結(jié)果一致，例如一個(gè)模型認(rèn)為拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5，那么拋5次硬幣全部反面朝上的結(jié)果會(huì)不會(huì)導(dǎo)致你懷疑上述模型；使用仿真推斷兩個(gè)參數(shù)是否存在顯著差異.

（3）澳大利亞和芬蘭的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容.

對(duì)比表明，五國(guó)對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)內(nèi)容的重視程度有很大的差異.呈現(xiàn)這種差異的原因可理解為各國(guó)的數(shù)學(xué)理念和數(shù)學(xué)教育理念不同，但也從一個(gè)側(cè)面反映了假設(shè)檢驗(yàn)的原理和思想未必是高中生所必須具備的統(tǒng)計(jì)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)觀念.

反觀中國(guó)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)，將獨(dú)立性檢驗(yàn)與假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容與聚類(lèi)分析和回歸分析一并歸入統(tǒng)計(jì)案例一節(jié)，利用少數(shù)案例介紹這些原理及其初步應(yīng)用，一方面占用了學(xué)生的課時(shí)，另一方面又淺嘗輒止，使學(xué)生難以理解上述原理和其中的統(tǒng)計(jì)思想.為改變這一現(xiàn)狀提出兩點(diǎn)建議：一是參考新加坡，提高獨(dú)立性檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)內(nèi)容的要求層次，并為此分配更多的學(xué)時(shí)；二則是參考澳大利亞及芬蘭，刪掉獨(dú)立性檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容，使學(xué)生接受高等教育后再系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這方面知識(shí).另外，中、美兩國(guó)的高中課標(biāo)在處理假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容上具有一定的相似性，但兩者的相異性則更為后續(xù)中國(guó)課標(biāo)的制定提供有益啟示.具體體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一、雖然同為滲透假設(shè)檢驗(yàn)的思想，但美國(guó)課標(biāo)沒(méi)有限定具體課時(shí)和教學(xué)方式，為相應(yīng)教材的編寫(xiě)和教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展保留了極大的自主性和靈活性.二、在具體要求的表述方面，美國(guó)課標(biāo)更為清晰，因此具有較強(qiáng)的操作性.以上兩點(diǎn)不僅針對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容，對(duì)于中國(guó)高中課標(biāo)中其他內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的制定亦有同樣的啟發(fā)意義.

4.2 教師教學(xué)的建議

4.2.1 明確教學(xué)目標(biāo)

在獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際教學(xué)中，有些教師受應(yīng)試教育思想或相關(guān)專(zhuān)業(yè)知識(shí)所限，將本課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的操作規(guī)則，會(huì)套用公式對(duì)兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性做出判斷.以這一教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)教學(xué)，難免導(dǎo)致學(xué)生的上述認(rèn)知障礙.為使學(xué)生達(dá)到更高層次的關(guān)系性理解，建議教師在本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)之前制定有效、可操作的教學(xué)目標(biāo)，具體而言即根據(jù)授課對(duì)象的數(shù)學(xué)水平，確定其應(yīng)突破上述認(rèn)知障礙中的哪幾條，分別應(yīng)達(dá)到什么層次.

4.2.2 激活直觀經(jīng)驗(yàn)作為先行組織者

先行組織者是先于學(xué)習(xí)任務(wù)呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)的內(nèi)容起到定向、引導(dǎo)的作用.在正式教學(xué)之前，可呈現(xiàn)一些與獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)的生活實(shí)例，以幫助學(xué)生積累或激活已有的“小概率反證法”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而將其與反證法做比較，作為學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的先行組織者.如：①拋一枚硬幣連續(xù)5次均正面朝上會(huì)不會(huì)讓你懷疑其質(zhì)地不均勻；②在轉(zhuǎn)盤(pán)抽獎(jiǎng)中，中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)的區(qū)域各占一半，但連續(xù)5次指針都指向不中獎(jiǎng)區(qū)域，你會(huì)不會(huì)懷疑其中有貓膩；③有一名陌生人給你發(fā)來(lái)郵件，預(yù)測(cè)了某只股票連續(xù)五天的漲跌情況，經(jīng)過(guò)你一周的檢驗(yàn)，確實(shí)吻合！一周后陌生人又發(fā)來(lái)郵件，表示可以繼續(xù)為你提供預(yù)測(cè)信息，但需要收費(fèi)，你愿意嗎？

4.2.3 提供數(shù)學(xué)建模的機(jī)會(huì)

歷史上，皮爾遜提出卡方檢驗(yàn)的過(guò)程即根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)而解決問(wèn)題的過(guò)程.而在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立性檢驗(yàn)的再創(chuàng)造過(guò)程，既能加深其對(duì)這一原理的理解，亦能培養(yǎng)其數(shù)據(jù)收集、整理、觀察、分析與決策的能力.例如，選擇“性別與喜歡數(shù)學(xué)是否有關(guān)”作為教學(xué)素材[14]，現(xiàn)場(chǎng)收集數(shù)據(jù)、制作列聯(lián)表、引導(dǎo)學(xué)生觀察列聯(lián)表判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)、鼓勵(lì)其提出理性的判斷規(guī)則、選擇其中幾種較為典型的規(guī)則進(jìn)行討論、形成獨(dú)立性檢驗(yàn)的初步規(guī)則、教師補(bǔ)充部分知識(shí)完善規(guī)則.

5 教學(xué)價(jià)值

5.1 方法論層面

獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種很重要的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，體現(xiàn)了假設(shè)檢驗(yàn)的思想，在很多研究領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用.該方法的教學(xué)貫徹了課程標(biāo)準(zhǔn)的總目標(biāo)，即為學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的生產(chǎn)生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)需要提供準(zhǔn)備.

5.2 思維品質(zhì)層面

學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)，最有價(jià)值、最精彩的就是要學(xué)習(xí)其思維方式，即小概率反證法——在一次試驗(yàn)中，若基于原假設(shè)的小概率事件發(fā)生了，則認(rèn)為原假設(shè)不合理，推翻之.以上思維方式是很重要的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)，但我國(guó)的高中課標(biāo)僅僅將其列為“了解”層次！鑒于獨(dú)立性檢驗(yàn)重要的思維訓(xùn)練價(jià)值與廣泛應(yīng)用，建議將相關(guān)目標(biāo)提升到“理解”層次，并為具體教學(xué)提供更多課時(shí).

5.3 情感領(lǐng)域目標(biāo)的落實(shí)

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而在實(shí)際教學(xué)中，一線教師最容易忽視的就是情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo).具體原因有三：（1）情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)是課程目標(biāo)，一些專(zhuān)家認(rèn)為沒(méi)必要在每節(jié)課的設(shè)計(jì)中撰寫(xiě)該目標(biāo)；（2）課程標(biāo)準(zhǔn)缺少對(duì)情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)的內(nèi)涵與外延的解讀，導(dǎo)致一線教師無(wú)法具體踐行；（3）教學(xué)任務(wù)重，在完成知識(shí)性和過(guò)程性目標(biāo)之余，沒(méi)有時(shí)間進(jìn)行落實(shí)情感領(lǐng)域的目標(biāo).

獨(dú)立性檢驗(yàn)源于統(tǒng)計(jì)學(xué)家對(duì)生活直覺(jué)的總結(jié)和抽象化，其意義在于將變量間相關(guān)性的判斷由直覺(jué)水平上升到科學(xué)水平.學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的深刻理解必將指引其體會(huì)原理中所蘊(yùn)含的數(shù)理統(tǒng)計(jì)文化.

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