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    縱橫聯(lián)系 互相詮釋 把握本質

    2015-12-02 18:06:42白雪峰
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2015年6期
    關鍵詞:公比錯位等式

    《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》第七條指出,“要強調對數(shù)學本質的認識,否則會將生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里”[1].可以說,把握教學內容本質是實現(xiàn)有效教學的根基.不論課堂教學形式怎樣變化,教師教學技能多么高超,如果一個教師不能深刻認識并準確把握教學內容的本質,就不能引導學生發(fā)現(xiàn)并理解所學內容的本質,也就不能實現(xiàn)學習中的有效遷移.

    因此,教師必須深刻理解所教內容的本質,把握知識之間的縱橫聯(lián)系,并在教學中,合理選用、恰當運用教學方法或方式,引導學生學會運用聯(lián)系的觀點指導數(shù)學學習,認識內容本質,并在持續(xù)的學習中通過相互詮釋意義,進一步深刻理解這一本質,進而在學習相關內容過程中實現(xiàn)思維的“正遷移”,從而不斷提高學習能力和創(chuàng)新能力.

    1 提出問題

    例如“等比數(shù)列的前n項和”是數(shù)列這一章的重要內容之一,特別是等比數(shù)列前n項和公式及其推導更是重中之重.在眾多的推導方法中,教材中選擇的所謂“錯位相減法”尤為重要,主要是因為此法可以解決一類數(shù)列求和問題,更具有一般性.

    但是在實際教學中,很多教師都對這個公式推導過程中,等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠0,1)兩邊同時乘以公比q感到難以理解,學生更是在這種模模糊糊、似懂非懂的教學中感到一頭霧水,最后只得記住結論會應用、記住步驟會操作罷了.到底乘以公比q是怎么想到的?理論根源到底是什么卻始終不能參透.

    有的教師認為:“錯位相減法”的本質可以類比等差數(shù)列前n項和公式推導過程中的“倒序相加法”,即構造一個新的式子,通過兩式的線性運算,得到一組常數(shù)列,從而推出公式.但是此種說法還是不能很自然地解釋“等式兩邊同時乘以公比q是如何想到”的.那么等比數(shù)列前n項和公式的推導方法到底是如何想到的呢?

    2 本質探尋

    我們先來看下面的事實.

    在整式乘法中,平方差公式是一個重要的恒等式,我們總是習慣寫成如下形式:(a+b)(a-b)=a2-b2.

    其實,如果寫成(a-b)(a+b)=a2-b2的形式,通過類比會得到下面一系列式子:

    (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,

    (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,

    ……

    (a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn.

    如果我們令上式中的a=1,b=q,就得到下面的式子:

    (1-q)(1+q+q2+…+qn-1)=1-qn.

    對比等比數(shù)列前n項和的式子Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,不難發(fā)現(xiàn):如果等式的右邊提出公因式a1,等式就變成了Sn=a1(1+q+q2+…+qn-1)的形式.而其中的一部分因式與等式(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)=1-qn中的一部分因式完全相同.于是就會想到,如果在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的兩邊同都乘以1-q,便會得到:

    (1-q)Sn=a1(1-q)(1+q+q2+…+qn-1). (1)

    即(1-q)Sn=a1(1-qn),當q≠1時,就得到了等比數(shù)列的前n項和公式的一種表達式.

    觀察(1)式還可以發(fā)現(xiàn),此式可以看成是在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 (2)兩邊同時乘以公比q,得到等式qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn (3),然后(2)和(3)兩式再對應相減而得到的.至于為什么要“錯一位”,則是在等式相減的過程中,注意到了兩個式子中有一些相同項,為了兩式做減法更為方便直觀而進行的一種“技術操作”.

    因此,“錯位相減法”的本質問題也就是教學難點,既不在于錯位,也不在于相減,而是為什么要在等式(2)兩邊同時乘以公比q,理解了這個本質問題,“錯位相減”這一方法就會顯得自然而然.

    至此,我們看到了在推導等比數(shù)列前n項和公式中“等式兩邊同時乘以公比q是如何想到的”這一本質問題的內因.教學中,如果能夠抓住這個本質問題,就可以在此基礎上,探索出新的推導方法.比如:

    因為Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

    變形得Sn=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2),

    即Sn=a1+qSn-1.

    進一步變形可以得到Sn=a1+q(Sn-1+a1qn-1-a1qn-1),

    即Sn=a1+q(Sn-a1qn-1).

    移項得到(1-q)Sn=a1(1-qn),以下略.

    3 基本結論

    “大道至簡”,從上面對等比數(shù)列前n項和公式推導過程中所運用的“錯位相減法”本質的認識和理解過程,我們不難看出,對方法的數(shù)學本質的認識越是深刻,對數(shù)學方法本身的理解就越會是自然的,越會覺得這個方法是簡單的,而這樣自然簡單的方法當然是值得推廣的,至少可以解決一類這樣的問題.

    盡管“學之道在于悟”,但是如果缺少了教師適時、適當、適度地點撥和指導,學生又如何想的深、悟的透.僅僅依賴學生自身領悟能力的“悟”,必然導致讓學生在大量機械重復的練習中,自己去感悟所學內容本質的情形,耗時費力,效果甚微[2].

    章建躍博士在文章《追求數(shù)學課堂的本來面目》提出了“三個理解”的觀點,即理解數(shù)學、理解學生、理解教學這一有效教學的觀點,其中,理解數(shù)學是第一位的.因此,深刻把握數(shù)學教學內容的本質,準確抓住教學過程的真實問題是教師科學施教的根基.

    深刻理解數(shù)學教學內容的本質,需要教師認真研讀整節(jié)、整章、乃至整個學科的全套教材,將本節(jié)課的內容放置于一章、一個模塊甚至整個中學數(shù)學知識體系中來審視,明了本節(jié)知識在整個中學數(shù)學知識體系中的地位和作用,明晰知識之間縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系[3].特別是,要充分利用先行知識為后續(xù)學習的知識提供穩(wěn)定的認知固著點,并能夠有效利用后續(xù)的知識較為全面和理性地詮釋先行的知識,從而做到在整體上和系統(tǒng)上準確把握教材,引導學生理解內容本質,解決真實問題,這樣做也可以避免一步到位,提高教材使用的有效性.

    例如,三角函數(shù)起源并服務于平面幾何,是圓的幾何性質的一種解析表達.而三角公式實質上就“脫胎”于幾何命題.為了促進學生抓住三角函數(shù)的“靈魂”,避免把公式的理解陷于機械記憶與訓練的窠臼,教師需要設計有效的教學情境,增強學生的直觀操作和感性認識,使學生不僅能夠看到形式公式內部隱藏的幾何背景,還可以使學生感悟到平面幾何法研究三角的真正價值,并且領悟到知識的形式演變與研究動機之間的內在聯(lián)系[4].同時,教師還要抓住三角函數(shù)與向量、函數(shù)等相關知識之間的聯(lián)系,促進學生系統(tǒng)認識和整體把握知識.

    當然,深刻理解數(shù)學教學內容的本質,還需要教師認真仔細地分析教材的編寫意圖,特別是要深入體會教材中一些重要欄目的教法預設,明確這些欄目的教學作用.另外,在教學設計與實施的過程中,教師還應該具有文獻研究意識,對某一數(shù)學教學內容的發(fā)展歷史、相關內容的教學研究現(xiàn)狀以及存在的問題進行文獻梳理,在充分研究的基礎上結合自身的教學經驗,創(chuàng)造性的開展教學設計與實施.正如我國數(shù)學家華羅庚先生所重視和提倡的,教學不是為了創(chuàng)造新知識,而是為了更有效的傳承知識,汲取前人的經驗和智慧.

    可以說,基于數(shù)學教學內容本質理解基礎上的縱橫關聯(lián)、互相詮釋是培養(yǎng)學生理性精神和發(fā)展學生思維品質的有效方法.

    參考文獻

    [1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)[S].北京:人民教育出版社,2003.

    [2]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數(shù)學通報,2011.6.

    [3]章建躍.數(shù)學教育改革中幾個問題的思考[J].數(shù)學通報,2005.7.

    [4]徐章韜.面向教學的數(shù)學知識——基于數(shù)學發(fā)生發(fā)展的視角[M].北京:科學出版

    社,2013.119-123

    作者簡介 白雪峰,男,1972年生,北京人,中學高級教師,北京市優(yōu)秀教師,北京市特級教師,北京數(shù)學會理事.主要從事中學數(shù)學教師培訓和中學數(shù)學教育教學研究工作.在全國中學數(shù)學青年教師教學觀摩與評比中獲一等獎,主持或參與了國家、市區(qū)多個課題的研究工作,多篇論文獲得全國和北京市一等獎.近年主編了《教師教學基本能力解讀與訓練(中學數(shù)學)》《幫你邁好教師職業(yè)生涯第一步》等教師培訓教材,參與編寫了《數(shù)學思想方法指導下的初中數(shù)學教學》等10余部論著,發(fā)表數(shù)學教學論文40余篇.

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