點(diǎn)擊2015年高考數(shù)學(xué)中的圖象試題

王勇

圖象是表示函數(shù)的一種重要形式，其最大優(yōu)點(diǎn)是直觀，給出已知條件要求學(xué)生識(shí)別圖象、給出圖象要求學(xué)生破解有關(guān)問(wèn)題、根據(jù)所給圖形要求學(xué)生匹配出相應(yīng)圖象、沒(méi)有圖象要求學(xué)生數(shù)形結(jié)合巧妙地利用圖象解題等是高考考查的重要內(nèi)容之一.本文以2015年高考試題為載體，談圖象題的類型及解法.

1 識(shí)圖

給出解析式，要求學(xué)生讀懂題意，定性分析函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等，結(jié)合選擇支不難找出正確答案.

例1 （2015年高考浙江卷文5）函數(shù)f（x）=x-1xcosx-π≤x≤π且x≠0的圖象可能為（ ）.

解析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性及特值法進(jìn)行判斷.

函數(shù)f（x）=x-1xcosx（-π≤x≤π且x≠0）為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)x=π時(shí)，fπ=π-1πcosπ=1π-π<0，排除選項(xiàng)C，故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、奇偶函數(shù)的圖象特征及函數(shù)值的求法.考查利用所學(xué)知識(shí)對(duì)函數(shù)圖象的閱讀與處理能力，同時(shí)還考查運(yùn)算求解能力.

2 釋圖

利用所給的函數(shù)圖象（或部分函數(shù)圖象），通過(guò)觀察、探究揭示其蘊(yùn)含的代數(shù)意義或幾何意義，再結(jié)合有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)可順利解決問(wèn)題.

例2 （2015年高考北京卷理7）如圖1，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）≥log2x+1的解集是（ ）.

A.{x-1

C.{x-1

解析 在題圖的基礎(chǔ)上作出函數(shù)y=log2x+1x>-1的圖象如圖2所示，易知y=log2x+1的圖象與線段BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為1，1.

結(jié)合圖象可知不等式f（x）≥log2x+1的解集是{x-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和不等式的解法，意在考查考生的作圖、識(shí)圖和用圖能力.解題思路為先作出函數(shù)的圖象，再由圖象分析得出不等式的解集.圖3

例3 （2015年高考安徽卷文10）函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖3所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）.

A.a>0，b<0，c>0，d>0

B.a>0，b<0，c<0，d>0

C.a<0，b<0，c>0，d>0

D.a>0，b>0，c>0，d<0

解析 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為正值，所以d>0.

因?yàn)閒′（x）=3ax2+2bx+c，且函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d在-∞，x1上單調(diào)遞增，在x1，x2上單調(diào)遞減，在x2，+∞上單調(diào)遞增，所以f′（x）<0的解集為x1，x2，所以a>0，又x1，x2均為正數(shù)，所以c3a>0，-2b3a>0，可得c>0，b<0.故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想.解題時(shí)先利用函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)確定d的符號(hào)，再由單調(diào)區(qū)間及x1，x2的符號(hào)確定a，b，c的符號(hào).

圖4例4 （2015年高考北京卷理8）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖4描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（ ）.

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

解析 根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).

對(duì)于A選項(xiàng)，從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40千米/小時(shí)的燃油效率大于5千米/升，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，最高限速為80千米/小時(shí)且速度相同時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故D選項(xiàng)正確.

綜上可知，本題應(yīng)選D.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)圖象，數(shù)學(xué)模型及創(chuàng)新概念，考查識(shí)圖、用圖及數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“燃油效率”的意義.

3 譯圖

給出圖形，要求考生用另外的圖象去“轉(zhuǎn)譯”此圖形所蘊(yùn)含的豐富信息.解決這類問(wèn)題的基本步驟為：

題示樣圖仔細(xì)觀察

轉(zhuǎn)譯含義代數(shù)意義以圖達(dá)意

展現(xiàn)新貌確定新圖

例5 （2015年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理10文11）如圖5，圖5長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖象大致為（ ）.

解析 利用排除法求解.

當(dāng)x∈0，π4時(shí)，f（x）=tanx+4+tan2x，其圖象不會(huì)是直線段，從而排除A，C.

當(dāng)x∈π4，3π4時(shí)，fπ4=f3π4=1+5，fπ2=22，

因?yàn)?2<1+5，所以fπ2

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形、函數(shù)的圖象和性質(zhì).考查數(shù)學(xué)靈氣、推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想.

4 用圖

華羅庚指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”.有些題若能借助圖象直觀去解，即數(shù)形結(jié)合，則可收到事半功倍的效果.

例6 （2015年高考湖北卷理12）函數(shù)f（x）=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-lnx+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .

解析 先化簡(jiǎn)f（x），把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解.

f（x）=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-lnx+1

=21+cosxsinx-2sinx-lnx+1

=2sinxcosx-lnx+1

=sin2x-lnx+1.

由f（x）=0，得sin2x=lnx+1.

設(shè)y1=sin2x，y2=lnx+1，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二者的圖象，如圖6所示.

圖6

由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查誘導(dǎo)公式，二倍角公式，函數(shù)零點(diǎn)的求法和圖象變換等知識(shí).本題在確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，把零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，通過(guò)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

例7 （2015年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理12）設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）x∈R的導(dǎo)函數(shù)，f-1=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）.

A.-∞，-1∪0，1B.-1，0∪1，+∞

C.-∞，-1∪-1，0D.0，1∪1，+∞

解析 構(gòu)造函數(shù)y=g（x）=f（x）x，通過(guò)研究g（x）的圖象的示意圖與性質(zhì)得出使f（x）>0成立的x的取值范圍.

設(shè)y=g（x）=f（x）xx≠0，則g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，

當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）<0，所以g′（x）<0，所以g（x）在0，+∞上為減函數(shù)，且g1=f11=f1=-f-1=0.

因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以g（x）為偶函數(shù)，

所以g（x）的圖象的示意圖如圖7所示.圖7

當(dāng)x>0，g（x）>0時(shí)，f（x）>0，0

當(dāng)x<0，g（x）<0時(shí)，f（x）>0，x<-1.

所以使得f（x）>0成立的x的取值范圍是-∞，-1∪0，1，故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，不等式的解法等.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x），考查化歸思想的應(yīng)用，通過(guò)畫(huà)g（x）的圖象的示意圖考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)x>0與x<0的討論考查分類討論思想的應(yīng)用.

例8 （2015年高考湖南卷理15）已知函數(shù)f（x）=x3，x≤a，

x2，x>a.若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .

解析 把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理.

函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）-b=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)y=f（x）和y=b的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).

①當(dāng)a<0時(shí)，f（x）的圖象如圖8（1）實(shí)線部分所示，由圖象可知，存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x）和y=b的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).

②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）的圖象如圖8（2）實(shí)線部分所示，此時(shí)f（x）的圖象與直線y=b至多有一個(gè)公共點(diǎn)，即不存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x）和y=b的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).

③當(dāng)a>1時(shí)，f（x）的圖象如圖8（3）實(shí)線部分所示，由圖象可知，存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x）和y=b的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).

綜上，a<0或a>1，即a的取值范圍為-∞，0∪1，+∞.

（1） （2） （3）

圖8

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象和函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷.把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，判斷函數(shù)y=f（x）和y=b的圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的應(yīng)用.