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    近三年全國卷導(dǎo)數(shù)題的考查特點與備考建議

    2015-12-02 18:33:13劉瑞美
    關(guān)鍵詞:切線零點單調(diào)

    劉瑞美

    1 問題的提出

    導(dǎo)數(shù)作為高考考查的知識點已經(jīng)不是新內(nèi)容了,隨著高考制度的不斷完善和日臻成熟,導(dǎo)數(shù)作為高考考查的重點知識模塊已經(jīng)被時代賦予了新的含義,出現(xiàn)好多亮點和經(jīng)典試題,特別是近幾年全國課標(biāo)卷中的導(dǎo)數(shù)試題,考查亮點更多,縱觀三年來的全國課標(biāo)高考導(dǎo)數(shù)題大都出現(xiàn)在壓軸題的位置且難度有加大的趨勢.為了適應(yīng)2016年全國新課標(biāo)卷高考的到來,幫助廣大備考師生加強(qiáng)、加深對導(dǎo)數(shù)試題的復(fù)習(xí)研究,筆者結(jié)合自己平時的研究,從中洞悉導(dǎo)數(shù)試題的考查特點和命題方向并對今后的復(fù)習(xí)備考提出相應(yīng)的意見和建議,望通過拙文,能對正在緊張復(fù)習(xí)備考中的師生有所幫助和引領(lǐng).

    2 導(dǎo)數(shù)題的考查特點分析及典例剖析

    2.1 以函數(shù)的單調(diào)性為鋪墊,考查函數(shù)的極值與最值

    函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),在高考試題中以考查函數(shù)的單調(diào)性為背景的試題屢見不鮮,可以說是高考試題中考查的常客.通過研究近幾年的全國新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題可以發(fā)現(xiàn),以研究函數(shù)的單調(diào)性作為鋪墊來探究函數(shù)的極值和最值的問題是考查的一個方向.如2014年全國卷2理科第21題:已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)設(shè)g(x)=f2x-4bf(x),當(dāng)x>0時,g(x)>0,求b的最大值;

    (Ⅲ)已知1.4142<2<1.4143,估計ln2的近似值(精確到0.001)

    點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、切線、值域問題,等價轉(zhuǎn)化等,其綜合性較強(qiáng),屬于難題,第二問,須利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化后,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.第三問,要求適當(dāng)?shù)姆趴s與估值,要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和計算能力.另外將我國優(yōu)秀文化遺產(chǎn)——估算首次納入到高考試題中,在考查考生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時,適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)文化,讓考生體味我國古代勞動人民樸素的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    2.2 以曲線的切線為鋪墊,考查函數(shù)的零點

    曲線的切線是研究曲線性質(zhì)和幾何意義的重要切入點,而導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在該點處切線的斜率,這樣就將曲線和導(dǎo)數(shù)緊緊的聯(lián)系在一起,是溝通數(shù)和形的天然橋梁,使得曲線與導(dǎo)數(shù)之間實現(xiàn)了無縫隙對接.為了突出導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以曲線切線為背景的試題層出不窮.如2015年全國課標(biāo)卷1第21題就是以曲線的切線為鋪墊,考查了函數(shù)的零點問題并在此基礎(chǔ)上讓考生體驗高中階段所學(xué)習(xí)的重要的數(shù)學(xué)思想方法.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+14,g(x)=-lnx

    (Ⅰ)當(dāng)a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;

    (Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點的個數(shù)

    解 (Ⅰ)設(shè)切點為(x0,0),則f′(x)=3x2+a,f(x0)=0,由題意可知:x30+ax0+14=0,

    3x20+a=0,x0=12,

    a=-34,因此,當(dāng)a=-34時,x軸為曲線y=f(x)的切線.

    (Ⅱ)由題意知x>0,所以有:

    (1)當(dāng)x∈(1,+

    時,g(x)=-lnx<0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+沒有零點;

    (2)當(dāng)x=1時,

    若a≥-54,則f(1)=a+540,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函數(shù)h(x)的零點;

    若a<-54,則f(1)=a+54<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函數(shù)h(x)的零點;

    (3)當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=-lnx>0.因而只要考慮函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)即可.

    (?。┤鬭≤-3或a≥0,則f′(x)=3x2+a在(0,1)上恒正或者恒負(fù),故f(x)在(0,1)上單調(diào),且f(0)=14,f(1)=a+54,所以由數(shù)形結(jié)合易知當(dāng)a-3時,f(x)在(0,1)上只有一個零點;當(dāng)a0時,f(x)在(0,1)上沒有零點.

    (ⅱ)若-3

    f(x)min=f(-a3)=2a3-a3+14.

    1.若f(-a3)=2a3-a3+14>0,即-34

    2.若f(-a3)=2a3-a3+14=0,即a=-34時,f(x)在(0,1)上有唯一的零點;

    3.若f(-a3)=2a3-a3+14<0,即-3

    當(dāng)f(0)=14,

    f(1)=a+54>0,

    -3

    當(dāng)f(0)=14,

    f(1)=a+54≤0,

    -3

    綜上可知:當(dāng)a>-34或a<-54時,h(x)只有一個零點;當(dāng)a=-34或a=-54時,h(x)有兩個零點;當(dāng)-54

    點評 本題主要考查曲線切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用圖像研究分段函數(shù)的零點,試題新穎,對曲線的切線問題,主要在某一點的切線與過某一點處的切線不同,在某點的切線該點是切點,過某點的切線該點不一定是切點,對過某點的切線問題,設(shè)切點,利用導(dǎo)數(shù)求切線,將已知點代入切線方程,解出切點坐標(biāo),即可求出切線方程.

    該題第一問比較簡單,考生大多能寫出正確答案,但第二問要用到的知識點較多,對考生綜合能力要求較強(qiáng),特別是在分類討論的時候,由于分類情況較多導(dǎo)致大多數(shù)考生書寫混亂,再加上在平時的測試中考生的應(yīng)試心里沒有能得到很好的疏導(dǎo),因而多數(shù)考生此題的得分率較低.

    2.3 以曲線的切線為鋪墊,考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

    參數(shù)的取值范圍問題是函數(shù)研究中的重要內(nèi)容,也是高考??碱}型,但探究函數(shù)中參數(shù)的取值范圍有時候是相當(dāng)困難的,要用到多種重要的數(shù)學(xué)思想方法,在高考試題中為了增加試題坡度,降低試題的難度,以曲線的切線作為鋪墊,來探究參數(shù)的取值范圍是近年來全國新課標(biāo)卷的常用命題策略和方向.如2013年全國課標(biāo)卷1理第21題:已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

    (1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

    點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,考查考生的分類討論能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解;構(gòu)造函數(shù)“F(x)=kg(x)-f(x)”,對k的取值范圍進(jìn)行分類討論,進(jìn)而得到答案.

    2.4 以曲線的切線為鋪墊,考查不等式的證明

    不等式的證明是中學(xué)階段的一個難點問題,一直困擾著備考師生,若利用函數(shù)單調(diào)性,以導(dǎo)數(shù)為工具則可以大大降低試題的難度,為考生找到一條證明不等式的有效方法和路徑.近年來以曲線的切線為背景并以此作為鋪墊,考查不等式證明的問題也是全國新課標(biāo)卷1的一個亮點,以切線為敲門磚,關(guān)愛考生的身心,實為命題專家的一番苦心,讓每個考生都能得到應(yīng)有的分?jǐn)?shù),體現(xiàn)了高考試題對考生的人文關(guān)懷.如2014年全國新課標(biāo)卷1理第21題:設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+bex-1x,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)證明:f(x)>1.

    分析 (Ⅰ)由切點(1,f(1))在切線C上,代入得f(1)=2①.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(1)=e②,聯(lián)立①②求a,b;(Ⅱ)證明f(x)>1成立,可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值,只要最小值大于1即可.該題不易求函數(shù)f(x)的最小值,故可考慮將不等式結(jié)構(gòu)變形為xlnx>xe-x-2e,分別求函數(shù)g(x)=xlnx和h(x)=xe-x-2e的最值,發(fā)現(xiàn)g(x)在(0,+)的最小值為g(1e)=-1e,h(x)在(0,+)的最大值為h(1)=-1e.且不同時取最值,故xlnx>xe-x-2e成立,即f(x)>1.

    注意這種方法具有一定的局限性,f(x)min≥g(x)max只是不等式f(x)>g(x)的充分不必要條件,即當(dāng)f(x)>g(x)成立,最值之間不一定有上述關(guān)系,須慎重行事.

    點評 本題主要靠導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.考查分類討論思想,意在考查考生的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.導(dǎo)函數(shù)解答題中貫穿始終的數(shù)學(xué)思想方法,在含有參數(shù)的試題中分類與整合思想是必要的,解題時常把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點等.

    2.5 以函數(shù)的單調(diào)性為鋪墊,考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

    函數(shù)的單調(diào)性是高考考查的永恒主題,但歲歲富有新意.以函數(shù)單調(diào)性為背景的試題讓人心花怒放,換句話說當(dāng)考生看到試題時有點興奮不已的感受,是否能將本題拿到滿分實在是一個未知數(shù).因而以函數(shù)單調(diào)性作為鋪墊,考查函數(shù)中參數(shù)取值范圍是近幾年全國新課標(biāo)命題的熱點問題,大都是第一問較容易,后面的問題解決對大部分考生來講還是有點困難的.如2015年全國新課標(biāo)2理第21題:設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

    (Ⅰ)證明:f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,在(0,+)單調(diào)遞增;

    (Ⅱ)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有f(x1)-f(x2)≤e-1,求m的取值范圍.

    點評 本題主要是探究函數(shù)單調(diào)性和參數(shù)取值范圍問題,是高考中的??碱}型,其中第(Ⅰ)問可先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=m(emx-1)+2x,再根據(jù)m的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在(-,0)和(0,+)的符號即可;第(Ⅱ)問f(x1)-f(x2)≤e-1恒成立,等價于f(x1)-f(x2)max≤e-1.實際上由x1,x2是兩個獨立的變量,故可研究f(x)的值域,由(Ⅰ)易得最小值為f(0)=1,最大值可能是f(-1)或f(1),故只需f(1)-f(0)≤e-1,

    f(-1)-f(0)≤e-1,從而得到關(guān)于m的不等式,因不易解出,故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號并借助于數(shù)形結(jié)合,從而得解.

    2.6 小題精彩,難度不小

    在全國新課標(biāo)卷的客觀題中也有一些標(biāo)新立異的好題,但對考生數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)潛能要求較高,由于考生的知識和思維差異,導(dǎo)致部分考生只能望而卻步,或者半途而廢.如2015年全國卷1理第12題:設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則a的取值范圍是( ).

    A.\[-32e,1) B.\[-32e,34)C.\[[SX(〗32e,34) D.\[32e,1)

    分析 令g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由題知存在唯一的整數(shù)x0,使得g(x0)在直線y=ax-a的下方.因為g′(x)=ex(2x+1),所以當(dāng)x<-12時,g′(x)<0,當(dāng)x>-12時,g′(x)>0,所以當(dāng)x=-12時,[g(x)]min=-2e-12.

    當(dāng)x=0時,g(0)=-1,g(1)=e>0,直線y=ax-a恒過(1,0),

    故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得32e≤a<1,故選D.

    點評 本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題.對存在性問題有三種思路,思路1:參變分離,轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個函數(shù)(或參數(shù)大于某個函數(shù)),則參數(shù)小于該函數(shù)的最大值(或大于該函數(shù)的最小值);思路2:數(shù)形結(jié)合,利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì),再畫出該函數(shù)的草圖,結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍,若原函數(shù)圖像不易做,?;癁橐粋€函數(shù)存在一點在另一個函數(shù)上方,用圖像解;思路3:分類討論,本題用的就是思路2.

    再如,2014年全國卷1理11題:已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是

    A.(2,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

    分析 當(dāng)a=0時,f(x)=-3x2+1,函數(shù)f(x)有兩個零點33和-33,不滿足題意;當(dāng)a>0時,f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x=2a.x∈(-

    ,0)時,f′(x)>0;x∈(0,2a)時,f′(x)<0;x∈(2a,+)時,f′(x)>0,且f(0)>0,此時在x∈(-

    ,0)必有零點,故不滿足題意;當(dāng)a<0時,x∈(-

    ,2a)時,f′(x)<0;x∈(2a,0)時,f′(x)>0;x∈(0,+)時,f′(x)<0,且f(0)>0,要使得f(x)存在唯一的零點x0且x0>0,只需f(2a)>0,即a2>4,則a<-2,選C.

    點評 本題主要是考查函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運用和分類討論思想的運用,在研究函數(shù)的性質(zhì)時要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點、以及極值等函數(shù)的特征去研究,本題考查了考生的數(shù)形結(jié)合能力.另外,本題在審題的過程中一定要注意兩個關(guān)鍵詞:①“f(x)存在唯一的零點x0”,②“這唯一的零點x0>0”,否則容易出錯.

    3 備考建議

    3.1 注重基礎(chǔ)知識,加強(qiáng)知識的交匯性訓(xùn)練

    針對2016年以后的高考形式發(fā)展,結(jié)合近幾年全國新課標(biāo)卷的導(dǎo)數(shù)試題命題特點,在導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)過程中要注重對基礎(chǔ)知識的再挖掘,適當(dāng)加大對導(dǎo)數(shù)試題的研究,在深度和廣度上多加訓(xùn)練.另外在知識交匯處試題的設(shè)置,應(yīng)有鮮明的時代特色,體現(xiàn)出新課程的理念,映襯著高考支持并服務(wù)于新課程的意向;應(yīng)在把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上,以新穎的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行精心的構(gòu)思和藝術(shù)化的“剪裁”;應(yīng)以問題為中心,知識為紐帶,橫縱之間相互滲透、交匯,各種思想方法融匯貫通,彰顯能力立意的命題宗旨;試題的設(shè)置應(yīng)體現(xiàn)高考不僅要檢測考生的思維層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng),區(qū)分、選拔優(yōu)秀人才,而且更要體現(xiàn)新課程的精神和實質(zhì),展示新課程改革的成果.近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題,考查知識的交匯性問題比較多,而且交匯性問題的命制思路已日趨成熟.因而在課堂教學(xué)中我們要注重基礎(chǔ)知識,加強(qiáng)能力培養(yǎng),從注重學(xué)習(xí)結(jié)果向注重學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變;要從學(xué)會轉(zhuǎn)向會學(xué),要從學(xué)生被動接受轉(zhuǎn)向主動發(fā)現(xiàn),要從信息單向傳遞轉(zhuǎn)向信息多向交流,以適應(yīng)新課程改革的新要求.

    3.2 加強(qiáng)對幾種常見函數(shù)研究

    通過仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn):近幾年全國新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)試題大都與如下幾種常見函數(shù)有關(guān): ①y=x·ex ②y=xex③y=ex[]x[SX)] ④y=x·lnx⑤y=x[]lnx ⑥y=lnx[]x[SX)]

    如2014年理科第21題:f(x)=exlnx+2ex-1x,于是f(x)>1xlnx>xex-2e,

    令g(x)=xlnx,h(x)=xex-2e,因而只要證明g(x)min≥h(x)max即可.

    3.3 重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,培養(yǎng)考生的運算能力

    解決數(shù)學(xué)問題離不開數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中有著舉足輕重的地位,方法選擇得當(dāng),往往有出奇制勝的效果,方法思路混亂,可能導(dǎo)致思維受阻.另外要加強(qiáng)對考生運算能力的培養(yǎng),有不少考生就是因為運算不強(qiáng)導(dǎo)致計算錯誤而影響解題的進(jìn)度,使得解答陷入困境.

    3.4 注重回歸課本,加強(qiáng)對往屆試題研究

    課本是教學(xué)之本,在最后的復(fù)習(xí)過程中一定要加強(qiáng)對課本習(xí)題、重點例題的探究,注重對教材的挖掘和利用,好多好的高考試題都源于教材,而高于教材,是對教材的二次開發(fā)和再利用,因此一定要用好教材,加強(qiáng)對課本的研究.另外要加強(qiáng)對往屆高考試題的研究,從中發(fā)現(xiàn)命題的特點,找出命題的規(guī)律,進(jìn)行有效復(fù)習(xí).

    總之,對于2016年全國高考回歸全國卷,由于分省獨立命題的時間較長,一時間很難適應(yīng)全國卷的特點等,還是要多研究近幾年的高考試題,以不變應(yīng)萬變.

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