近三年全國卷導(dǎo)數(shù)題的考查特點與備考建議

劉瑞美

1 問題的提出

導(dǎo)數(shù)作為高考考查的知識點已經(jīng)不是新內(nèi)容了，隨著高考制度的不斷完善和日臻成熟，導(dǎo)數(shù)作為高考考查的重點知識模塊已經(jīng)被時代賦予了新的含義，出現(xiàn)好多亮點和經(jīng)典試題，特別是近幾年全國課標(biāo)卷中的導(dǎo)數(shù)試題，考查亮點更多，縱觀三年來的全國課標(biāo)高考導(dǎo)數(shù)題大都出現(xiàn)在壓軸題的位置且難度有加大的趨勢.為了適應(yīng)2016年全國新課標(biāo)卷高考的到來，幫助廣大備考師生加強(qiáng)、加深對導(dǎo)數(shù)試題的復(fù)習(xí)研究，筆者結(jié)合自己平時的研究，從中洞悉導(dǎo)數(shù)試題的考查特點和命題方向并對今后的復(fù)習(xí)備考提出相應(yīng)的意見和建議，望通過拙文，能對正在緊張復(fù)習(xí)備考中的師生有所幫助和引領(lǐng).

2 導(dǎo)數(shù)題的考查特點分析及典例剖析

2.1 以函數(shù)的單調(diào)性為鋪墊，考查函數(shù)的極值與最值

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，在高考試題中以考查函數(shù)的單調(diào)性為背景的試題屢見不鮮，可以說是高考試題中考查的常客.通過研究近幾年的全國新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題可以發(fā)現(xiàn)，以研究函數(shù)的單調(diào)性作為鋪墊來探究函數(shù)的極值和最值的問題是考查的一個方向.如2014年全國卷2理科第21題：已知函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)g（x）=f2x-4bf（x），當(dāng)x>0時，g（x）>0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.4142<2<1.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、切線、值域問題，等價轉(zhuǎn)化等，其綜合性較強(qiáng)，屬于難題，第二問，須利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化后，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.第三問，要求適當(dāng)?shù)姆趴s與估值，要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和計算能力.另外將我國優(yōu)秀文化遺產(chǎn)——估算首次納入到高考試題中，在考查考生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時，適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)文化，讓考生體味我國古代勞動人民樸素的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 以曲線的切線為鋪墊，考查函數(shù)的零點

曲線的切線是研究曲線性質(zhì)和幾何意義的重要切入點，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在該點處切線的斜率，這樣就將曲線和導(dǎo)數(shù)緊緊的聯(lián)系在一起，是溝通數(shù)和形的天然橋梁，使得曲線與導(dǎo)數(shù)之間實現(xiàn)了無縫隙對接.為了突出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以曲線切線為背景的試題層出不窮.如2015年全國課標(biāo)卷1第21題就是以曲線的切線為鋪墊，考查了函數(shù)的零點問題并在此基礎(chǔ)上讓考生體驗高中階段所學(xué)習(xí)的重要的數(shù)學(xué)思想方法.已知函數(shù)f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx

（Ⅰ）當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點的個數(shù)

解 （Ⅰ）設(shè)切點為（x0，0），則f′（x）=3x2+a，f（x0）=0，由題意可知：x30+ax0+14=0，

3x20+a=0，x0=12，

a=-34，因此，當(dāng)a=-34時，x軸為曲線y=f（x）的切線.

（Ⅱ）由題意知x>0，所以有：

（1）當(dāng)x∈（1，+

時，g（x）=-lnx<0，從而h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，故h（x）在（1，+沒有零點；

（2）當(dāng)x=1時，

若a≥-54，則f（1）=a+540，h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函數(shù)h（x）的零點；

若a<-54，則f（1）=a+54<0，h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0，故x=1不是函數(shù)h（x）的零點；

（3）當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）=-lnx>0.因而只要考慮函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可.

（?。┤鬭≤-3或a≥0，則f′（x）=3x2+a在（0，1）上恒正或者恒負(fù)，故f（x）在（0，1）上單調(diào)，且f（0）=14，f（1）=a+54，所以由數(shù)形結(jié)合易知當(dāng)a-3時，f（x）在（0，1）上只有一個零點；當(dāng)a0時，f（x）在（0，1）上沒有零點.

（ⅱ）若-3

f（x）min=f（-a3）=2a3-a3+14.

1.若f（-a3）=2a3-a3+14>0，即-34

2.若f（-a3）=2a3-a3+14=0，即a=-34時，f（x）在（0，1）上有唯一的零點；

3.若f（-a3）=2a3-a3+14<0，即-3

當(dāng)f（0）=14，

f（1）=a+54>0，

-3

當(dāng)f（0）=14，

f（1）=a+54≤0，

-3

綜上可知：當(dāng)a>-34或a<-54時，h（x）只有一個零點；當(dāng)a=-34或a=-54時，h（x）有兩個零點；當(dāng)-54

點評 本題主要考查曲線切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用圖像研究分段函數(shù)的零點，試題新穎，對曲線的切線問題，主要在某一點的切線與過某一點處的切線不同，在某點的切線該點是切點，過某點的切線該點不一定是切點，對過某點的切線問題，設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)求切線，將已知點代入切線方程，解出切點坐標(biāo)，即可求出切線方程.

該題第一問比較簡單，考生大多能寫出正確答案，但第二問要用到的知識點較多，對考生綜合能力要求較強(qiáng)，特別是在分類討論的時候，由于分類情況較多導(dǎo)致大多數(shù)考生書寫混亂，再加上在平時的測試中考生的應(yīng)試心里沒有能得到很好的疏導(dǎo)，因而多數(shù)考生此題的得分率較低.

2.3 以曲線的切線為鋪墊，考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

參數(shù)的取值范圍問題是函數(shù)研究中的重要內(nèi)容，也是高考?？碱}型，但探究函數(shù)中參數(shù)的取值范圍有時候是相當(dāng)困難的，要用到多種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高考試題中為了增加試題坡度，降低試題的難度，以曲線的切線作為鋪墊，來探究參數(shù)的取值范圍是近年來全國新課標(biāo)卷的常用命題策略和方向.如2013年全國課標(biāo)卷1理第21題：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥-2，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查考生的分類討論能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；構(gòu)造函數(shù)“F（x）=kg（x）-f（x）”，對k的取值范圍進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得到答案.

2.4 以曲線的切線為鋪墊，考查不等式的證明

不等式的證明是中學(xué)階段的一個難點問題，一直困擾著備考師生，若利用函數(shù)單調(diào)性，以導(dǎo)數(shù)為工具則可以大大降低試題的難度，為考生找到一條證明不等式的有效方法和路徑.近年來以曲線的切線為背景并以此作為鋪墊，考查不等式證明的問題也是全國新課標(biāo)卷1的一個亮點，以切線為敲門磚，關(guān)愛考生的身心，實為命題專家的一番苦心，讓每個考生都能得到應(yīng)有的分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)了高考試題對考生的人文關(guān)懷.如2014年全國新課標(biāo)卷1理第21題：設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）證明：f（x）>1.

分析 （Ⅰ）由切點（1，f（1））在切線C上，代入得f（1）=2①.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（1）=e②，聯(lián)立①②求a，b；（Ⅱ）證明f（x）>1成立，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最小值，只要最小值大于1即可.該題不易求函數(shù)f（x）的最小值，故可考慮將不等式結(jié)構(gòu)變形為xlnx>xe-x-2e，分別求函數(shù)g（x）=xlnx和h（x）=xe-x-2e的最值，發(fā)現(xiàn)g（x）在（0，+）的最小值為g（1e）=-1e，h（x）在（0，+）的最大值為h（1）=-1e.且不同時取最值，故xlnx>xe-x-2e成立，即f（x）>1.

注意這種方法具有一定的局限性，f（x）min≥g（x）max只是不等式f（x）>g（x）的充分不必要條件，即當(dāng)f（x）>g（x）成立，最值之間不一定有上述關(guān)系，須慎重行事.

點評 本題主要靠導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.考查分類討論思想，意在考查考生的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.導(dǎo)函數(shù)解答題中貫穿始終的數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中分類與整合思想是必要的，解題時常把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點等.

2.5 以函數(shù)的單調(diào)性為鋪墊，考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

函數(shù)的單調(diào)性是高考考查的永恒主題，但歲歲富有新意.以函數(shù)單調(diào)性為背景的試題讓人心花怒放，換句話說當(dāng)考生看到試題時有點興奮不已的感受，是否能將本題拿到滿分實在是一個未知數(shù).因而以函數(shù)單調(diào)性作為鋪墊，考查函數(shù)中參數(shù)取值范圍是近幾年全國新課標(biāo)命題的熱點問題，大都是第一問較容易，后面的問題解決對大部分考生來講還是有點困難的.如2015年全國新課標(biāo)2理第21題：設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）證明：f（x）在（-，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增；

（Ⅱ）若對于任意x1，x2∈[-1，1]，都有f（x1）-f（x2）≤e-1，求m的取值范圍.

點評 本題主要是探究函數(shù)單調(diào)性和參數(shù)取值范圍問題，是高考中的?？碱}型，其中第（Ⅰ）問可先求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=m（emx-1）+2x，再根據(jù)m的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在（-，0）和（0，+）的符號即可；第（Ⅱ）問f（x1）-f（x2）≤e-1恒成立，等價于f（x1）-f（x2）max≤e-1.實際上由x1，x2是兩個獨立的變量，故可研究f（x）的值域，由（Ⅰ）易得最小值為f（0）=1，最大值可能是f（-1）或f（1），故只需f（1）-f（0）≤e-1，

f（-1）-f（0）≤e-1，從而得到關(guān)于m的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號并借助于數(shù)形結(jié)合，從而得解.

2.6 小題精彩，難度不小

在全國新課標(biāo)卷的客觀題中也有一些標(biāo)新立異的好題，但對考生數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)潛能要求較高，由于考生的知識和思維差異，導(dǎo)致部分考生只能望而卻步，或者半途而廢.如2015年全國卷1理第12題：設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（ ）.

A.＼[-32e，1） B.＼[-32e，34）C.＼[[SX（〗32e，34） D.＼[32e，1）

分析 令g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，由題知存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=ax-a的下方.因為g′（x）=ex（2x+1），所以當(dāng)x<-12時，g′（x）<0，當(dāng)x>-12時，g′（x）>0，所以當(dāng)x=-12時，[g（x）]min=-2e-12.

當(dāng)x=0時，g（0）=-1，g（1）=e>0，直線y=ax-a恒過（1，0），

故-a>g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得32e≤a<1，故選D.

點評 本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題.對存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個函數(shù)（或參數(shù)大于某個函數(shù)），則參數(shù)小于該函數(shù)的最大值（或大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，?；癁橐粋€函數(shù)存在一點在另一個函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路2.

再如，2014年全國卷1理11題：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是

A.（2，+∞） B.（1，+∞）C.（-∞，-2） D.（-∞，-1）

分析 當(dāng)a=0時，f（x）=-3x2+1，函數(shù)f（x）有兩個零點33和-33，不滿足題意；當(dāng)a>0時，f′（x）=3ax2-6x，令f′（x）=0，得x=0或x=2a.x∈（-

，0）時，f′（x）>0；x∈（0，2a）時，f′（x）<0；x∈（2a，+）時，f′（x）>0，且f（0）>0，此時在x∈（-

，0）必有零點，故不滿足題意；當(dāng)a<0時，x∈（-

，2a）時，f′（x）<0；x∈（2a，0）時，f′（x）>0；x∈（0，+）時，f′（x）<0，且f（0）>0，要使得f（x）存在唯一的零點x0且x0>0，只需f（2a）>0，即a2>4，則a<-2，選C.

點評 本題主要是考查函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運用和分類討論思想的運用，在研究函數(shù)的性質(zhì)時要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點、以及極值等函數(shù)的特征去研究，本題考查了考生的數(shù)形結(jié)合能力.另外，本題在審題的過程中一定要注意兩個關(guān)鍵詞：①“f（x）存在唯一的零點x0”，②“這唯一的零點x0>0”，否則容易出錯.

3 備考建議

3.1 注重基礎(chǔ)知識，加強(qiáng)知識的交匯性訓(xùn)練

針對2016年以后的高考形式發(fā)展，結(jié)合近幾年全國新課標(biāo)卷的導(dǎo)數(shù)試題命題特點，在導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)過程中要注重對基礎(chǔ)知識的再挖掘，適當(dāng)加大對導(dǎo)數(shù)試題的研究，在深度和廣度上多加訓(xùn)練.另外在知識交匯處試題的設(shè)置，應(yīng)有鮮明的時代特色，體現(xiàn)出新課程的理念，映襯著高考支持并服務(wù)于新課程的意向；應(yīng)在把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，以新穎的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行精心的構(gòu)思和藝術(shù)化的“剪裁”；應(yīng)以問題為中心，知識為紐帶，橫縱之間相互滲透、交匯，各種思想方法融匯貫通，彰顯能力立意的命題宗旨；試題的設(shè)置應(yīng)體現(xiàn)高考不僅要檢測考生的思維層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，區(qū)分、選拔優(yōu)秀人才，而且更要體現(xiàn)新課程的精神和實質(zhì)，展示新課程改革的成果.近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題，考查知識的交匯性問題比較多，而且交匯性問題的命制思路已日趨成熟.因而在課堂教學(xué)中我們要注重基礎(chǔ)知識，加強(qiáng)能力培養(yǎng)，從注重學(xué)習(xí)結(jié)果向注重學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變；要從學(xué)會轉(zhuǎn)向會學(xué)，要從學(xué)生被動接受轉(zhuǎn)向主動發(fā)現(xiàn)，要從信息單向傳遞轉(zhuǎn)向信息多向交流，以適應(yīng)新課程改革的新要求.

3.2 加強(qiáng)對幾種常見函數(shù)研究

通過仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)：近幾年全國新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)試題大都與如下幾種常見函數(shù)有關(guān)： ①y=x·ex ②y=xex③y=ex[]x[SX）] ④y=x·lnx⑤y=x[]lnx ⑥y=lnx[]x[SX）]

如2014年理科第21題：f（x）=exlnx+2ex-1x，于是f（x）>1xlnx>xex-2e，

令g（x）=xlnx，h（x）=xex-2e，因而只要證明g（x）min≥h（x）max即可.

3.3 重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)考生的運算能力

解決數(shù)學(xué)問題離不開數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中有著舉足輕重的地位，方法選擇得當(dāng)，往往有出奇制勝的效果，方法思路混亂，可能導(dǎo)致思維受阻.另外要加強(qiáng)對考生運算能力的培養(yǎng)，有不少考生就是因為運算不強(qiáng)導(dǎo)致計算錯誤而影響解題的進(jìn)度，使得解答陷入困境.

3.4 注重回歸課本，加強(qiáng)對往屆試題研究

課本是教學(xué)之本，在最后的復(fù)習(xí)過程中一定要加強(qiáng)對課本習(xí)題、重點例題的探究，注重對教材的挖掘和利用，好多好的高考試題都源于教材，而高于教材，是對教材的二次開發(fā)和再利用，因此一定要用好教材，加強(qiáng)對課本的研究.另外要加強(qiáng)對往屆高考試題的研究，從中發(fā)現(xiàn)命題的特點，找出命題的規(guī)律，進(jìn)行有效復(fù)習(xí).

總之，對于2016年全國高考回歸全國卷，由于分省獨立命題的時間較長，一時間很難適應(yīng)全國卷的特點等，還是要多研究近幾年的高考試題，以不變應(yīng)萬變.