談面積法在解題中的妙用

胥仰愛

【關鍵詞】 數(shù)學教學;面積法;解題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）21—0122—01

面積法在中學數(shù)學教學中非常重要，因此，掌握面積法解題的技巧是十分必要的.所謂面積法，通俗地講就是在考慮問題時以面積為出發(fā)點，運用面積的基本性質和等積變換，解一些不直接涉及面積的問題.下面，筆者略舉幾例說明用面積法解題的基本技巧.

技巧一 ?利用面積相等的性質解題

例1 ?求證：三條高相等的三角形一定是等邊三角形.

證明：設△ABC的三條高分別為ha、hb、hc，如右圖，則

S△ABC=aha=bhb=chc，

∵ha=hb=hc，∴a=b=c，

∴△ABC是等邊三角形.

此例題設為三角形的三條高，所證結論為三邊相等，易聯(lián)想到三角形的面積與底邊及高的關系.雖然簡單，但其解法充分體現(xiàn)了面積法的一個基本技巧，即用兩種或兩種以上的方法表示同一圖形的面積，進而通過面積等式找出所求量之間的關系.

例2 三角形兩條高線的長分別為12和20，說明第三條高線的長小于30.

解：設△ABC的三邊分別為a、b、c，對應高為ha、hb、hc，三角形的面積為S△ABC，

則S△ABC=aha=bhb=chc，即S△ABC=6a=10b=chc，

∴a=，b=，c=，

∵a-b

技巧二 ?利用面積可比的性質解題

由三角形面積公式容易推知：①等底等高的兩三角形面積相等;②等底（或等高）的兩三角形面積的比等于其高（或底）的比.據(jù)此當題目中存在等底或等高的三角形時，將其面積的比與線段的比聯(lián)系起來，可收到事半功倍之效.

例3 ?如右圖，AD是△ABC的角平分線，求證：=.

證明：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點A作AH⊥BC于H，

由DE=DF，則有==，即=.

本例常規(guī)證法是作AD的平行線利用比例線段來證明，但注意到△ABD與△ACD是等高的兩個三角形，從而利用這兩個三角形面積的不同表現(xiàn)形式，將所證線段的比聯(lián)系起來即可得證.

例4 ?點P是△ABC內的任一點，直線AP、BP、CP分別交對邊于點D、E、F，

試證：AP∶PD，BP∶PE，CP∶PF三者之中至少有一個不大于2，也至少有一個不小于2.

證明：如右圖，作AN⊥BC于N，作PM⊥BC于M，易證 ==，

同理：=，=，

∴++ ==1

易知，，中至少有一個不大于，不妨設 ≤，

則≤，從而有≥2.同理可證：三個比中至少有一個不大于2.

本例從表面看，要證的三個比值沒有什么直接聯(lián)系，但觀察圖中有許多等底、等高的三角形，這樣便可聯(lián)想到把所證線段的比表示為三角形面積的比，以此使問題得到解決.

技巧三 ?利用面積的可拆分性解題

利用面積自身相等的性質表示同一圖形的面積不僅表現(xiàn)為選取不同的邊作為底來計算面積，它在更多的情況下是拆分同一圖形為幾個圖形來計算，這往往更為有效.

例5 ?如右圖，從△ABC的各頂點作AD∥BE∥CF，分別與對邊或延長線交于D、E、F.

求證：S△DEF=2S△ABC.

分析：從圖形觀察，△DEF可分為三部分，分別是△ADE、△ADF、△AEF，其中△ADE與△ADB、△ADF與△ADC同底等高，所以只要證出△AEF與△ABC的面積相等即可.

證明：∵AD∥BE∥CF，

∴S△ADB=S△ADE， S△ADC=S△ADF，

∴S△ABC=S△ADE +S△ADF，

又∵S△CEF=S△CBF，

∴S△ABC =S△AEF，

∴S△AEF+ S△ADE +S△ADF=2 S△ABC，即S△DEF=2 S△ABC.

編輯：謝穎麗