正確引領(lǐng)學(xué)生探究 培養(yǎng)良好解題策略

朱國(guó)生

摘 要：初中數(shù)學(xué)課堂要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，教師就必須指導(dǎo)學(xué)生弄清探究的方向及內(nèi)容。解題策略是學(xué)生探究的重要內(nèi)容，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解退中求進(jìn)、以靜制動(dòng)、正難則反、化零為整、挖隱為明等常見(jiàn)的解題策略。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 探究學(xué)習(xí) 解題策略

數(shù)學(xué)課堂要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究來(lái)解決問(wèn)題，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生有效的解題方法與策略，增強(qiáng)探究活動(dòng)的實(shí)效性。我從多年的教學(xué)工作實(shí)踐中總結(jié)了多種解題策略，有效地提高了學(xué)生的自主研究能力。

一、退中求進(jìn)

華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“把一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題‘退到最簡(jiǎn)單、最原始的問(wèn)題，把這最簡(jiǎn)單、最原始的問(wèn)題想通了、想透了，問(wèn)題就好解決了?！蔽蚁脒@種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的辦法是一個(gè)非常精辟的思維方法。一個(gè)簡(jiǎn)單的“退”，卻是為了大步地向前進(jìn)。如果一直退到起點(diǎn)，問(wèn)題也就簡(jiǎn)單化了，再?gòu)暮?jiǎn)單的問(wèn)題中找出規(guī)律、看清本質(zhì)，解題時(shí)就會(huì)化繁為簡(jiǎn)、出奇制勝，收獲意想不到的結(jié)果。

例1 已知正六邊形邊長(zhǎng)為1 cm，P是正六邊形內(nèi)一點(diǎn)，求P到各邊的距離之和。

分析：由于P是正六邊形內(nèi)任意點(diǎn)，直接解答不是很容易，我們可以“退”到邊數(shù)最小的正三角形內(nèi)來(lái)研究，求證三角形內(nèi)一點(diǎn)到各邊距離之和。如圖1，在正三角形ABC中，由S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PA 。由此推測(cè)，本道題可以用類(lèi)似方法求解，這就是退中求進(jìn)的策略。

如圖2，在正六邊形ABCDEF中，連接P與各頂點(diǎn)，把正六邊形分成六個(gè)正三角形。

二、以靜制動(dòng)

世間沒(méi)絕對(duì)的靜止，運(yùn)動(dòng)才是現(xiàn)實(shí)的。在解決數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)以靜制動(dòng)也是一個(gè)重要的解題策略。

例2 如圖3，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4 cm，過(guò)外一點(diǎn)C作CD∥l，射線BC與l所成的銳角∠1=60°，線段BC=2 cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從B，C同時(shí)出發(fā)，P以1 cm/s的速度由B向C的方向運(yùn)動(dòng)，Q以2 cm/s的速度由C向D的方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)t>2時(shí)，PA交CD于E，求解下列問(wèn)題。

（1）用含t的代數(shù)式分別表示CE和QE的長(zhǎng);

（2）求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;

（3）當(dāng)QE恰好平分△APQ的面積時(shí)，QE的長(zhǎng)是多少？

分析：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不要被點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)所迷惑，而要在運(yùn)動(dòng)中找出不變的量或比例關(guān)系，以靜制動(dòng)。第（1）問(wèn)，無(wú)論t怎么變化， 的比例關(guān)系都沒(méi)有變化，這就容易求得CE，QE的表達(dá)式。第（3）問(wèn)，由于QE平分△APQ的面積，我們可推斷AE=PE，此時(shí)C為PB的中點(diǎn)。

題解：（1）依題意，可得BP=t，CQ=2t，PC=t-2

三、正難則反

在探討某一問(wèn)題的解決辦法時(shí)，有時(shí)使用逆向思維較使用正向思維見(jiàn)效更快。當(dāng)正面思考遇到困難時(shí)，就“反其道而求之”，常有“峰回路轉(zhuǎn)”之奇效。

例3 若函數(shù) 的自變量x的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，則c的取值范圍是（ ?）。

A.c>1 ? B.c=1 ? C.c<1 ? D.c≤1

分析：此題綜合了很多知識(shí)點(diǎn)，由分母x2+2x+c≠0來(lái)求字母系數(shù)c的取值范圍，這是很難求得的。若變換角度研究，從反面考慮x2+2x+c≠0的意義就是x2+2x+c=0無(wú)實(shí)數(shù)解，這樣就把問(wèn)題與方程的系數(shù)聯(lián)系起來(lái)了，顯然由Δ=22-4c<0得c>1，故選A。

四、化零為整

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題分局部考慮，不勝其“繁”，抑或難以下手，但化零為整，不僅可以避繁就簡(jiǎn)，還可以使問(wèn)題迎刃而解，這種解題策略值得我們借鑒。

例4 如圖4，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米？

分析：如果先把鋪在各個(gè)小臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度和高度求出，再求和，這顯然不是明智之舉。如果臺(tái)階的級(jí)數(shù)未知，那更是無(wú)從下手。通過(guò)化零為整策略可知，平移各小臺(tái)階，其高度之和就是BC長(zhǎng)，寬度之和就是AC長(zhǎng)，求出線段BC，AC長(zhǎng)度，其和的問(wèn)題就迎刃而解了。

五、挖隱為明

數(shù)學(xué)試題中的隱含條件是指數(shù)學(xué)題目中的那些不易被察覺(jué)，但又直接影響解題思路甚至解答結(jié)果的已知條件。許多學(xué)生在解題時(shí)，往往忽視對(duì)隱含條件的把握，出現(xiàn)錯(cuò)解誤證，甚至解不出來(lái)的現(xiàn)象。如能明確隱含條件的隱含形式，引導(dǎo)學(xué)生挖掘題中的隱含條件，這對(duì)解決含有隱含條件的問(wèn)題將大有幫助。

例5 如圖5，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，在下列6個(gè)代數(shù)式ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值為正值的式子個(gè)數(shù)為（ ? ）。

A.2個(gè) ?B.3個(gè) ?C.4個(gè) ?D.4個(gè)以上

分析：本題只有一個(gè)特定位置的拋物線，觀察這一特定位置，隱含了拋物線的一些特點(diǎn)，包括開(kāi)口向下，與y軸交點(diǎn)在下方，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0且小于1，x=1時(shí)y>0，x=-1時(shí)y<0等。

簡(jiǎn)解：已知a<0，c<0故ac>0;x=1時(shí)y>0，即a+b+c>0;x=-1時(shí)y<0，即a-b+c<0;0<-<1，即2a+b<0;由a<0知b>0，從而ab<0，2a-b<0，所以，歸納出值為正的式子有兩個(gè)。故選A。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不但要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)必要的訓(xùn)練，還要教會(huì)學(xué)生掌握一定的解題策略與方法。引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)，要多角度考慮解題的途徑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟力。這種學(xué)習(xí)方法的掌握和思維能力的提升對(duì)今后的學(xué)習(xí)和實(shí)際問(wèn)題的解決都大有幫助。

參考文獻(xiàn)

[1]宋蓓.初中數(shù)學(xué)解題策略的研究及應(yīng)用[D].天津：天津師范大學(xué)，2013.

[2]張文宇.初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)選擇能力研究[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2011.

[3]陳建勇.例析初中數(shù)學(xué)解題策略[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2013（7）.