圖形變換中的“萬(wàn)變不離其宗”

□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)　戴小駒

圖形變換中的“萬(wàn)變不離其宗”

□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)戴小駒

圖形變換是初中數(shù)學(xué)中極其重要的內(nèi)容，包括兩類(lèi)：一類(lèi)是“剛性變換”（全等變換），即圖形的形狀、大小不變，只是位置上發(fā)生了變化，如平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)（折疊）等；另一類(lèi)是“彈性變換”，即圖形的形狀、大小、位置都發(fā)生了變化，如相似變換（放大或縮?。?dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)面等。

一、萬(wàn)變不離其宗之一：面積和周長(zhǎng)的不變

1.變換手段1：平移。

【教學(xué)片段】已知：長(zhǎng)方形草坪水平方向長(zhǎng)為a米，豎直方向長(zhǎng)為b米?，F(xiàn)欲在其中鋪設(shè)黃色瓷磚小路。

師：如圖1操作。在圖1中將A1A2向右平移1米到B1B2，得到封閉圖形A1A2B2B1（即黃色瓷磚小路部分）。猜想：除去黃色瓷磚小路部分后剩余部分的草地面積為S=_______？

探究并說(shuō)明理由：_____________________？

生1：剩余部分的草地面積為S=長(zhǎng)方形的面積-□A1A2B2B1的面積=ab-b。

師：很好，我們稱(chēng)這種方法為直接法，還有其他方法嗎？

（大部分學(xué)生面面相覷，這時(shí)一個(gè)聰明的孩子站起來(lái)說(shuō)——）

生2：我可以把右邊草坪平移到左邊（如圖2），

這樣S=綠色長(zhǎng)方形的面積=（a-1）b=ab-b。

師：真棒！這種方法稱(chēng)為間接法……

（還沒(méi)等老師說(shuō)完，生1就不服氣地站起來(lái)說(shuō)——）

生1：我的方法也很棒?。。ɡ蠋熚⑿τ枰钥隙ǎ?/p>

師：下面我把馬路變成圖3、圖4、圖5的形狀，依然保持馬路寬為1米，你還能用直接法求草地面積S嗎？（全體學(xué)生沉思中……好像不能解決）

師：那間接法呢？

生3：我會(huì)！跟上面一樣把右邊草坪平移到左邊（如圖2），這樣S=綠色長(zhǎng)方形的面積=（a-1）b=ab-b。

（全體學(xué)生鼓掌?。?/p>

圖3

圖4

圖5

圖6

【反思】盡管小路設(shè)計(jì)的形狀不一，但其面積卻始終保持不變。因此，我們常常利用這種平移中的不變性，巧妙地求一些不規(guī)則圖形的面積。

【延伸】

1.矩形ABCD中，橫向黃色陰影部分是矩形，另一部分是平行四邊形，依照?qǐng)D中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，圖中空白部分的面積為_(kāi)______________？（簡(jiǎn)單方法：圖7平移至圖8）

2.如圖正方形ABCD、正方形CDEF的邊長(zhǎng)都為5，求圖中黃色陰影部分的面積為_(kāi)_______？

（簡(jiǎn)單方法：圖9平移至圖10）

圖7

圖8

圖9

圖10

2.變換手段2：旋轉(zhuǎn)。

【教學(xué)片段】已知：一正方形紙片ABCD邊長(zhǎng)為a。

師：（操作）（1）找出ABCD的對(duì)稱(chēng)中心為O；（2）用一張與該正方形ABCD同樣大小的正方形OEFG，其頂點(diǎn)放在O點(diǎn)處。將其旋轉(zhuǎn)并猜想：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩正方形重疊部分（即黃色部分）的面積將怎樣變化？并說(shuō)明理由（老師先給圖11，接著操作幾何畫(huà)板給出圖12、13、14）。

生：可以證明△OPC≌△OQD（ASA），所以可以旋轉(zhuǎn)△OPC到△OQD，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的△ODC的面積。（如圖15）

【反思】盡管在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，重疊部分的形狀在不斷地發(fā)生改變，但其面積卻始終保持不變。因此，我們常常利用這種旋轉(zhuǎn)的不變性，巧妙地求一些不規(guī)則圖形的面積。

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

【延伸】如圖點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB，將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)90度到△P'CB的位置，設(shè)AB=2，PB=1，求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中PA所掃過(guò)的

區(qū)域（黃色陰影部分）的面積為_(kāi)____________？

（方法：圖16旋轉(zhuǎn)至圖17）3.變換手段3：動(dòng)點(diǎn)。

【反思】盡管點(diǎn)（可以是單動(dòng)點(diǎn)、雙動(dòng)點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)，圖形的形狀甚至?xí)r刻在不停地發(fā)生變化，但其面積或面積間的關(guān)系，有時(shí)在特定的條件下卻有可能始終保持不變。此類(lèi)動(dòng)點(diǎn)中的不變性有時(shí)隱藏得較深，需要通過(guò)計(jì)算方可發(fā)現(xiàn)。這種數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)學(xué)中很重要。

二、萬(wàn)變不離其宗之二：形狀的不變

1.變換手段1：雙動(dòng)點(diǎn)。

【教學(xué)片段】已知：如圖21，等邊△ABC，在A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)同速分別由A向B，和由C向A爬行，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬到了D、E處，設(shè)DC交BE于F。

（1）說(shuō)明：△ACD≌△CBE。

（2）猜想：∠BFC的大小在蝸牛爬行的過(guò)程中變化嗎？為什么？

【分析與解】盡管在蝸牛爬行的過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)了整個(gè)圖形的變化，但只要我們細(xì)心，還是會(huì)發(fā)現(xiàn)△ACD與△CBE間的全等關(guān)系以及∠BFC=120°卻始終保持不變。

2.變換手段2：動(dòng)面（借助幾何畫(huà)板工具）。

【教學(xué)片段】問(wèn)題1：如圖22，C為線段BE上一點(diǎn)，△ABC與△CDE是等邊三角形，求證AE=BD。

問(wèn)題1的變化：如圖23、24、25所示，C不再是線段BC上一點(diǎn)，△ABC與△CDE是等邊三角形猜想：

你剛才得到的AE與BD的大小關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？

圖22

圖23

圖24

圖25

【分析與解】所有情況都可以證明△ACE≌△BCD（SAS），以不變應(yīng)萬(wàn)變。

問(wèn)題2：如圖26所示，C為線段BC上一點(diǎn)，△ABC與△CDE是等邊三角形，

（1）操作：分別取AB、BE、ED、DA的中點(diǎn)F、G、H、I；

（2）試探究：四邊形FGHI的形狀，并說(shuō)明理由。

問(wèn)題2的變化：如圖27、28、29所示，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)時(shí)，試探究：上述結(jié)論還成立嗎？

（變化實(shí)現(xiàn)工具：幾何畫(huà)板拖動(dòng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，產(chǎn)生無(wú)數(shù)種變化圖形）

圖26

圖27

圖28

圖29

【分析與解】由上一題可知無(wú)論圖形怎樣變化，總有AE=BD，再根據(jù)中位線、中點(diǎn)四邊形定理可證四邊形FGHI始終為菱形。

圖形變換的綜合題，一直是中考中的難點(diǎn)。但需要注意的是，不管是“剛性變換”，還是“彈性變換”，一定要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，變動(dòng)為靜，數(shù)形結(jié)合，找出圖形的特點(diǎn)及隱含條件，撇開(kāi)形式上的變化多端，找尋其不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使問(wèn)題迎刃而解。