基于輪廓約束點(diǎn)的B樣條曲面擬合算法

江本赤　韓　江　田曉青　夏　鏈

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

基于輪廓約束點(diǎn)的B樣條曲面擬合算法

江本赤韓江田曉青夏鏈

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

提出了一種面向截面測(cè)量數(shù)據(jù)的B樣條曲面擬合算法。首先對(duì)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)列進(jìn)行降噪處理，然后遴選出曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)，并將其作為初始的輪廓約束點(diǎn)，得到插值于約束點(diǎn)的初始曲線(xiàn)。再在需改善擬合精度的區(qū)域增加約束點(diǎn)，直至獲得滿(mǎn)足精度要求的B樣條曲線(xiàn)。最后以約束點(diǎn)數(shù)目最多的曲線(xiàn)為準(zhǔn)，在其余的曲線(xiàn)上增加差額數(shù)目的約束點(diǎn)，并進(jìn)行平均弦長(zhǎng)參數(shù)化，構(gòu)造出B樣條曲線(xiàn)簇，最終獲得B樣條擬合曲面。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可顯著壓縮曲面模型的控制頂點(diǎn)數(shù)目，具有較高的曲面重構(gòu)效率。

逆向工程；輪廓約束點(diǎn)；B樣條；曲面擬合

0　引言

由截面測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面重構(gòu)是科學(xué)計(jì)算可視化(visualization in scientific computing,VISC)的重要內(nèi)容之一，在醫(yī)學(xué)可視化、無(wú)損探傷和逆向工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1]。B樣條具有凸包性、連續(xù)性與光滑性等諸多優(yōu)點(diǎn)，故在曲面重構(gòu)中被廣泛采用[2-3]。對(duì)于數(shù)目龐大的測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，若采用直接插值的方法獲取B樣條曲面，將導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)和控制頂點(diǎn)數(shù)量過(guò)大，給后續(xù)的曲面光順與修改、數(shù)據(jù)交換等造成負(fù)擔(dān)[4-5]。因此，在滿(mǎn)足數(shù)據(jù)輪廓精度要求的前提下，如何使曲面的數(shù)學(xué)模型包含盡量小的數(shù)據(jù)量，一直是該領(lǐng)域研究熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

文獻(xiàn)[6-11]對(duì)B樣條曲面擬合中的相關(guān)技術(shù)，包括散亂點(diǎn)數(shù)據(jù)參數(shù)化和數(shù)據(jù)壓縮等進(jìn)行了研究。早期有代表性的插值方法[6]是先插值各截面數(shù)據(jù)點(diǎn)列構(gòu)造B樣條曲線(xiàn)，再通過(guò)節(jié)點(diǎn)插入獲得可相容的曲線(xiàn)簇，最后對(duì)曲線(xiàn)簇的控制頂點(diǎn)放樣得到插值曲面。這種方法較直觀，但由于引入了節(jié)點(diǎn)插入操作，勢(shì)必會(huì)引起控制頂點(diǎn)數(shù)量的膨脹[2]。為此，Piegl等[7]構(gòu)造了具有非退化特性的參數(shù)區(qū)間，以增加節(jié)點(diǎn)選擇的靈活性，使所得的控制頂點(diǎn)數(shù)目明顯減少；在此基礎(chǔ)上，Park[8]采用能量極小化方法進(jìn)一步壓縮了曲面模型的數(shù)據(jù)量。王文珂等[10]借鑒傳統(tǒng)蒙皮算法的思想，提出了一種由無(wú)序B樣條曲線(xiàn)來(lái)擬合B樣條曲面的算法，可得到滿(mǎn)足誤差要求的光滑擬合曲面，但當(dāng)曲線(xiàn)數(shù)目較多時(shí)該算法會(huì)遇到數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。綜合上述情況，對(duì)B樣條曲面擬合相關(guān)技術(shù)展開(kāi)進(jìn)一步研究仍然非常必要。

本文提出一種面向截面測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合算法。首先采用弦高法剔除原始數(shù)據(jù)點(diǎn)中的壞點(diǎn)，以得到較光滑的線(xiàn)形數(shù)據(jù)點(diǎn)列；然后求出離散曲率值，將超過(guò)平均曲率值的局部曲率極大值點(diǎn)定義為曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)，并作為曲線(xiàn)輪廓的初始約束點(diǎn)，得到初始的插值B樣條曲線(xiàn)；再計(jì)算出偏差分布情況，并將超過(guò)允許誤差的局部偏差極大值點(diǎn)增補(bǔ)為輪廓約束點(diǎn)，直到滿(mǎn)足擬合精度要求；然后以約束點(diǎn)數(shù)最多的曲線(xiàn)為準(zhǔn)，將其余曲線(xiàn)的約束點(diǎn)補(bǔ)齊以得到拓?fù)渚匦蔚臄?shù)據(jù)點(diǎn)陣；最后計(jì)算出公用的節(jié)點(diǎn)矢量，獲得最終的B樣條單向蒙皮曲面。對(duì)一組截面測(cè)量數(shù)據(jù)的曲面擬合實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的可行性。

1　截面B樣條曲線(xiàn)的獲取

對(duì)于各截面測(cè)量數(shù)據(jù)，先用弦高法對(duì)截面數(shù)據(jù)進(jìn)行消噪處理，然后根據(jù)點(diǎn)列的曲率分布情況，確定曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)并將優(yōu)勢(shì)點(diǎn)作為型值點(diǎn)，計(jì)算出各截面的初始B樣條曲線(xiàn)。

1.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

掃描數(shù)據(jù)點(diǎn)中一般會(huì)包含失真點(diǎn)，它們不能反映實(shí)際輪廓且對(duì)曲線(xiàn)光順性存在較大影響，稱(chēng)作噪聲點(diǎn)或壞點(diǎn)。在截面掃描數(shù)據(jù)點(diǎn)中，如果某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離其相鄰的兩個(gè)點(diǎn)，且偏離程度超過(guò)預(yù)設(shè)值，則可視為壞點(diǎn)。關(guān)于剔除壞點(diǎn)的研究報(bào)道較多，針對(duì)截面測(cè)量數(shù)據(jù)的線(xiàn)形分布特點(diǎn)，本文采用文獻(xiàn)[12]中的弦高差方法來(lái)去除壞點(diǎn)，對(duì)于考察點(diǎn)Pi，連接兩個(gè)相鄰點(diǎn)得到弦線(xiàn)Pi-1Pi+1，如果點(diǎn)Pi到該弦的距離大于允許誤差，則將該點(diǎn)剔除。圖1所示是某截面數(shù)據(jù)預(yù)處理效果。

圖1　預(yù)處理后的某截面數(shù)據(jù)

下面以圖1中的數(shù)據(jù)點(diǎn)為例，闡述獲取截面B樣條曲線(xiàn)的具體步驟。

1.2輪廓約束點(diǎn)的確定

1.2.1離散曲率計(jì)算

本文采用文獻(xiàn)[13]給出的近似法，將數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi處的曲率Ki近似為3個(gè)相鄰點(diǎn)Pi-1、Pi和Pi+1所在圓弧的曲率。圖1中數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率分布情況如圖2所示。

圖2　離散點(diǎn)的曲率求解

1.2.2輪廓約束點(diǎn)的遴選

經(jīng)預(yù)處理之后的密集數(shù)據(jù)點(diǎn)，其曲率分布能大體反映出輪廓走勢(shì)。圖1中的點(diǎn)列共包含202個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，為了壓縮擬合曲線(xiàn)的數(shù)據(jù)量，現(xiàn)通過(guò)曲率值來(lái)確定初始輪廓約束點(diǎn)，以下簡(jiǎn)稱(chēng)約束點(diǎn)。

首先考慮曲率極大值法。即數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi處的曲率值Ki，需同時(shí)滿(mǎn)足條件Ki>Ki-1和Ki>Ki+1。找出曲率極大值所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并將其作為約束點(diǎn)。則圖1中的數(shù)據(jù)點(diǎn)包含67個(gè)約束點(diǎn)，其擬合情形如圖3所示。由此得到數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線(xiàn)間的最大偏差值為0.144 mm，平均偏差值為0.051 mm，均方差為0.028 mm，偏差分布情況見(jiàn)圖4。

圖3　曲率極大值法擬合效果

圖4　圖3對(duì)應(yīng)的擬合偏差分布

從圖3所示的約束點(diǎn)分布情況來(lái)看，該方法較有效地壓縮了數(shù)據(jù)量，但即使在相對(duì)平直的局部區(qū)域，也分布了比較密集的約束點(diǎn)，顯然沒(méi)有必要。

再來(lái)考察曲率臨界值法。事先設(shè)定曲率臨界值Kcrt，將曲率值滿(mǎn)足Ki>Kcrt的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為約束點(diǎn)。不失一般性，此處將離散曲率的平均值Kavg設(shè)為臨界值，即Kcrt=Kavg。對(duì)于圖1中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，用此方法確定的約束點(diǎn)為64個(gè)，所得擬合曲線(xiàn)如圖5所示。最大擬合偏差值為0.969 mm，平均偏差值為0.100 mm，均方差為0.229 mm，偏差分布情況見(jiàn)圖6。

圖5　曲率臨界值法擬合效果

圖6　圖5對(duì)應(yīng)的擬合偏差分布

由圖5可見(jiàn)，約束點(diǎn)可提取輪廓彎曲的局部區(qū)域，但由于該區(qū)域的離散曲率值一般都大于平均值，故約束點(diǎn)非常密集，而相對(duì)平直的區(qū)域約束點(diǎn)過(guò)少，這種分布顯然也是不可取的。

上述兩種確定約束點(diǎn)的方法，各有優(yōu)劣。為利用二者的優(yōu)點(diǎn)，本文選取超過(guò)平均曲率值的曲率極大值點(diǎn)作為約束點(diǎn)。即同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①Ki>Ki-1且Ki>Ki+1；②Ki>Kavg。此處將符合上述條件的數(shù)據(jù)點(diǎn)稱(chēng)為曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)，并將其作為輪廓約束點(diǎn)，對(duì)于開(kāi)曲線(xiàn)，則需將首尾兩個(gè)端點(diǎn)直接當(dāng)作約束點(diǎn)。

采用曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)法，則圖1中的數(shù)據(jù)點(diǎn)只包含31個(gè)約束點(diǎn)，其擬合情形如圖7所示。由此得到最大擬合偏差值為0.918 mm，平均偏差值為0.164 mm，均方差為0.261 mm，偏差分布情況見(jiàn)圖8。

圖7　曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)法擬合效果圖

圖8　圖7對(duì)應(yīng)的擬合偏差分布

與圖3和圖5相比，圖7中的約束點(diǎn)數(shù)目得到了進(jìn)一步的縮減，同時(shí)能在一定程度上保證數(shù)據(jù)點(diǎn)的輪廓精度。下面將插值于曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)的曲線(xiàn)作為初始曲線(xiàn)。

誠(chéng)然，由曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)所確定的曲線(xiàn)，盡管大大壓縮了數(shù)據(jù)量，但并不能保證擬合精度。若初始曲線(xiàn)存在擬合偏差超過(guò)預(yù)設(shè)值的局部區(qū)域，則需進(jìn)行局部?jī)?yōu)化。

1.3擬合精度的優(yōu)化

由圖8可以看出，只有少量數(shù)據(jù)點(diǎn)處的擬合偏差值為零，因此偏差曲線(xiàn)一般會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值，記允許誤差為[δ]，若初始曲線(xiàn)的某些峰值大于[δ]，則直接將偏差峰值對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)增設(shè)為約束點(diǎn)。也就是說(shuō)，新的約束點(diǎn)將由兩部分構(gòu)成，即曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)和少數(shù)偏差峰值數(shù)據(jù)點(diǎn)。

以圖7中的初始擬合曲線(xiàn)為例，設(shè)[δ]=0.5 mm，對(duì)照?qǐng)D8可知，需要增加2個(gè)約束點(diǎn)，新曲線(xiàn)的擬合效果如圖9所示。相應(yīng)的擬合偏差最大值為0.235 mm，平均偏差值為0.060 mm，均方差為0.057 mm，分布情況見(jiàn)圖10。

圖9　初始曲線(xiàn)的局部擬合精度優(yōu)化

圖10　圖9對(duì)應(yīng)的擬合偏差分布

可見(jiàn)，增加約束點(diǎn)之后，曲線(xiàn)局部區(qū)域的擬合精度得到了明顯改善，而此時(shí)的輪廓約束點(diǎn)數(shù)為33個(gè)。該方法與曲率極值法和曲率臨界值法相比，顯然更加合理。當(dāng)然，若偏差峰值仍大于[δ]，則需采用相同方法增加約束點(diǎn)，直到獲得滿(mǎn)足要求的B樣條曲線(xiàn)。

2　B樣條曲面的構(gòu)造

利用上述方法，可以獲得滿(mǎn)足精度要求的各截面B樣條曲線(xiàn)，但是這些曲線(xiàn)是孤立的，缺乏相容性。各截面數(shù)據(jù)輪廓曲率變化各異，因而各節(jié)點(diǎn)矢量也不盡相同。由于B樣條曲面具有張量積特性，需要解決曲線(xiàn)之間的相容性問(wèn)題。為此，下面設(shè)法獲取各截面曲線(xiàn)公用的節(jié)點(diǎn)矢量。

2.1公用節(jié)點(diǎn)矢量的獲取

2.1.1約束點(diǎn)的參數(shù)化

為計(jì)算公用節(jié)點(diǎn)矢量，首先必須保證各曲線(xiàn)具有相同數(shù)量的約束點(diǎn)。前面得到的孤立B樣條曲線(xiàn)簇，盡管已滿(mǎn)足擬合精度要求，其擬合偏差曲線(xiàn)仍會(huì)存在多個(gè)峰值。現(xiàn)將各峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，按其偏差值由大到小的順序存入各自數(shù)組，稱(chēng)作備用約束點(diǎn)數(shù)組。

記第i條曲線(xiàn)的現(xiàn)有約束點(diǎn)數(shù)目為Ci，Ci的最大值記為Cmax。為確保各曲線(xiàn)具有相同的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，現(xiàn)從各備用數(shù)組中依次取出必要數(shù)目的約束點(diǎn)，對(duì)于第i條曲線(xiàn)，需取出Cmax-Ci個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為約束點(diǎn)。至此，所有曲線(xiàn)的約束點(diǎn)數(shù)目都為Cmax。

接下來(lái)實(shí)現(xiàn)各約束點(diǎn)的參數(shù)化。為盡量考慮型值點(diǎn)的分布對(duì)曲線(xiàn)形狀的影響，此處采用平均弦長(zhǎng)參數(shù)化方法。設(shè)共有k條截面曲線(xiàn)，對(duì)于每一條曲線(xiàn)，依次連接各約束點(diǎn)得到Cmax-1段弦線(xiàn)，記第i條曲線(xiàn)的第j個(gè)弦長(zhǎng)值為L(zhǎng)i,j，則曲線(xiàn)簇第j段的弦長(zhǎng)平均值Lj為

(1)

j=1,2,…,Cmax-1

因此，用來(lái)計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量的總弦長(zhǎng)d為

(2)

而其余參數(shù)

(3)

t=1,2,…,Cmax-2

2.1.2節(jié)點(diǎn)矢量的計(jì)算

記曲線(xiàn)次數(shù)為p，m=Cmax+p。下面計(jì)算曲線(xiàn)簇公用的節(jié)點(diǎn)矢量U。其中，u0=u1=…=up=0，um-p=um-p+1=…=um=1，中間的節(jié)點(diǎn)采用平均值法，用下式求出：

(4)

j=1,2,…,Cmax-p-1

這種方法得到的控制頂點(diǎn)與約束點(diǎn)的數(shù)目相等，避免了非奇異矩陣的產(chǎn)生，便于后續(xù)控制頂點(diǎn)的計(jì)算。

2.2控制網(wǎng)絡(luò)的反算

(5)

圖11所示的是B樣條曲線(xiàn)簇的矩形拓?fù)淇刂凭W(wǎng)絡(luò)示意圖。

圖11　控制頂點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)

至此，曲面的節(jié)點(diǎn)矢量和控制頂點(diǎn)均已求出，即B樣條曲面已被定義。

3　仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證本文算法的可行性與有效性，下面以一組截面點(diǎn)云數(shù)據(jù)為例，用一張雙三次B樣條曲面對(duì)其進(jìn)行擬合。圖12所示的是經(jīng)預(yù)處理之后的截面數(shù)據(jù)點(diǎn)，共21條線(xiàn)性點(diǎn)列，包含2557個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，分布在40mm×50mm×12mm的空間里，平均每條點(diǎn)列包含約120個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖12　截面數(shù)據(jù)舉例

按照上述步驟，通過(guò)遴選曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)獲得了初始擬合曲線(xiàn)，并以[δ]=0.5 mm為逼近偏差約束條件，對(duì)局部區(qū)域進(jìn)行了精度優(yōu)化，最終得到了V向B樣條曲線(xiàn)簇(即各曲線(xiàn)的參數(shù)u為常數(shù))，圖13所示的是其中的一條曲線(xiàn)。單條曲線(xiàn)包含的控制頂點(diǎn)數(shù)目最多為22個(gè)，最少為13個(gè)。

圖13　三次B樣條曲線(xiàn)

為滿(mǎn)足曲線(xiàn)簇的相容性要求，將所有曲線(xiàn)的輪廓約束點(diǎn)都增加至22個(gè)。然后運(yùn)用平均弦長(zhǎng)參數(shù)法，得到公用節(jié)點(diǎn)矢量為

U=(0，0，0，0，0.047，0.095，0.142，0.190，0.238，0.285，0.333，0.381，0.428，0.476，0.523，0.571，0.619，0.667，0.714，0.761，0.809，0.857，0.904，0.952，1，1，1，1)

V=(0，0，0，0，0.067，0.153，0.179，0.186，0.229，0.243，0.309，0.381，0.398，0.434，0.515，0.551，0.588，0.629，0.667，0.695，0.715，0.750，0.811，0.923，1，1，1，1)

所得的控制網(wǎng)絡(luò)為21行×22列，即共有462個(gè)控制頂點(diǎn)，如圖14所示。最終重構(gòu)的B樣條蒙皮曲面見(jiàn)圖15。與原數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目相比，減少了2095個(gè)，即減少81.97%。

圖14　重構(gòu)曲面的控制網(wǎng)絡(luò)

圖15　B樣條曲面重構(gòu)

4　結(jié)論

(1)通過(guò)曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)法所確定的輪廓優(yōu)勢(shì)點(diǎn)，可在提取截面數(shù)據(jù)基本形狀的前提下，大幅縮減曲面模型的數(shù)據(jù)量，為后續(xù)的數(shù)據(jù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

(2)將初始擬合的偏差峰值對(duì)應(yīng)點(diǎn)增設(shè)為B樣條曲線(xiàn)型值點(diǎn)，可快速有效地提高局部逼近精度。

(3)與曲率極大值法和曲率臨界值法相比，利用曲率優(yōu)勢(shì)點(diǎn)法所得型值點(diǎn)的分布更加合理，可避免曲率較大區(qū)域的型值點(diǎn)過(guò)于密集，同時(shí)對(duì)于較平直的區(qū)域亦具有較高的輪廓保真度。

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(編輯王艷麗)

B-spline Surface Fitting Algorithm Based on Contour’s Constraint Points

Jiang BenchiHan JiangTian XiaoqingXia Lian

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Aiming at cross-sectional measured data, a B-spline surface fitting method was proposed. The original data points were denoised firstly, then vantage points of curvature were picked out and taken as the initial contour constraint points, and an initial curve interpolated with the constraint points was gained. After that, constraint points were added to the region whose fitting accuracy needed to be improved, until the B-spline curve could reach preset accuracy. Finally, subjecting to curve which contained the most constraint points, constraint points of the balance number were added to the rest of the curve, and average chord-length parameterization was conducted to construct a family of B-spline curves, and a B-spline fitting surface was obtained at last. Simulation results show that, this method can compress the number of control vertices of the surface model significantly with a high efficiency of surface reconstruction.

reverse engineering;contour’s constraint point; B-spline; curved surface fitting

2014-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275147)

TP391.72< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.15.006

江本赤，男，1979年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與裝備。發(fā)表論文10余篇。韓江，男，1963年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。田曉青，女，1987年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院講師、博士。夏鏈(通信作者)，女，1964年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院教授、博士。