無理性冪級數(shù)理論起源和發(fā)展

王全來

（天津師范大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津300387）

［科技史與科技傳播研究］

無理性冪級數(shù)理論起源和發(fā)展

王全來

（天津師范大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津300387）

利用歷史分析和比較的方法，探討無理性冪級數(shù)理論的發(fā)展脈絡(luò)；紐曼第一個提出了“無理性冪級數(shù)”的名稱；在紐曼工作的影響下，莫德爾、施瓦茲等人對此做出了重要貢獻(xiàn)。F W Carroll和J H B Kemperman等人把無理性冪級數(shù)的研究納入到不可開拓冪級數(shù)理論研究中，推廣了前人的有關(guān)結(jié)果。

無理性冪級數(shù)；解析開拓；外爾均勻分布；有理函數(shù)

構(gòu)造某類冪級數(shù)在單位圓之外不可開拓問題是冪級數(shù)理論研究中的重要內(nèi)容。該問題較早由魏爾斯特拉斯研究，并引入了自然邊界的概念。其后許多數(shù)學(xué)家如龐加萊、阿達(dá)瑪、波萊爾等人進(jìn)行了深入探討，并構(gòu)造了不同類型的例子，具體內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［1］。

無理性冪級數(shù)作為數(shù)學(xué)家構(gòu)造的在單位圓之外不可開拓的一類冪級數(shù)在1921年由赫克（E Hecke，1887—1947）引入，其他數(shù)學(xué)家如紐曼（M Newman，1897—1984）、莫德爾（L J Mordell，1888—1972）、施瓦茲（W Schwarz）等人進(jìn)行研究，并得到了諸多深刻結(jié)果。無理性冪級數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展是由Caroll、Kemperman等人做出的。

1　無理性冪級數(shù)理論起源

赫克作為一位數(shù)論學(xué)家，在《論解析函數(shù)和模1數(shù)的分布》［2］（1921）中，依據(jù)數(shù)（nξ）模1均勻分布和外爾均勻分布定理，指出若α為無理數(shù)，則冪級數(shù)∑R（mα）xm和∑［mα］xm在單位圓之外不可解析開拓。其中R（mα）表示mα的分?jǐn)?shù)部分，［mα］表示mα的整數(shù)部分。值得注意的是，赫克指出冪級數(shù)系數(shù)可在二次域上進(jìn)行討論。

C Pisot受赫克工作影響，在《模1數(shù)的分布及其代數(shù)數(shù)》［3］（1938）中把整系數(shù)的冪級數(shù)和位于單位圓內(nèi)的共軛代數(shù)數(shù)類的研究結(jié)合起來得到了一些有意義的結(jié)果，其中之一為波萊爾關(guān)于整系數(shù)冪級數(shù)在單位圓之外可開拓的重要結(jié)論。繼Pisot和其他一些人的工作后，R Salem證明了一系列關(guān)于具有整系數(shù)冪級數(shù)理論，清楚地揭示了問題的代數(shù)性質(zhì)。Salem在1949年《具有整系數(shù)的冪級數(shù)》［4］中從研究P V數(shù)的角度出發(fā)探討了整系數(shù)冪級數(shù)的相關(guān)理論。Salem在文末指出，赫克上述定理的證明可不依賴于均勻分布定理，并證明了下列結(jié)論，包括了赫克的結(jié)果。令φ（n）表示隨n無限增大的正有理函數(shù)，r（0＜r≤1）為級數(shù)∑φ（n）zn的收斂半徑，z=r為f（z）=g（z）（z-r）-k的一個極點，ξ為任意實數(shù)，則若1/r是一個代數(shù)整數(shù)；ξg（r）是代數(shù)的，且屬于有理數(shù)域k（r）的兩個條件不都滿足，則∑［φ（n）ξ］zn?！疲郐眨╪）ξ］zn以單位圓為自然邊界。其證明基于普林斯海姆定理和波利亞—卡爾松定理。該定理由施瓦茲在《無理性冪級數(shù)》［5］（1962）中通過擴(kuò)大數(shù)域的方法被進(jìn)一步推廣。Salem感謝Kurt Mahler教授，正是Mahler教授在給他的一封信中，談及了A Thue（1863—1922）《論無理超越量具備的性質(zhì)》（1912）的文章，在其中探討了PV數(shù)的性質(zhì)，這引起了他的注意。

赫克定理可直接取φ（n）=n得到。他同時證得，若級數(shù)∑［ξωn］zn，∑［ξωn］zn不以單位圓為自然邊界，則ω為一個代數(shù)整數(shù)。

紐曼同樣受赫克工作之影響，在《無理性冪級數(shù)》［6］1960）中利用｛nα｝在單位圓內(nèi)均勻分布（α為無理數(shù)）的方法證明了如下定理，把赫克定理一般化。設(shè)α為一個實數(shù)，g（x）為階p≥1的多項式，G（x）=∑g（［nα］）xn，則當(dāng)且僅當(dāng)α為一個有理數(shù)時，G（x）為有理函數(shù)。在此定理的基礎(chǔ)上，他證得，當(dāng)且僅當(dāng)α為一個大于0的有理數(shù)時，F(xiàn)（x）=∑x［nα］為有理函數(shù)。

“無理性冪級數(shù)”的名稱來自于紐曼①紐曼發(fā)表的論文題目為Irrational power series（1960年），筆者譯成《無理性冪級數(shù)》。。他的工作奠定了無理性冪級數(shù)理論研究的基礎(chǔ)，對其他數(shù)學(xué)家有重要影響。在整個無理性冪級數(shù)理論發(fā)展的歷史中，論文題目中含“無理性冪級數(shù)”的論文共有10篇，這10篇論文是有關(guān)無理性冪級數(shù)理論研究的基石。

2　無理性冪級數(shù)理論的早期發(fā)展

紐曼的工作首先影響到的是其同事莫德爾。莫德爾在《無理性冪級數(shù)》［7］1960）中推廣紐曼定理。設(shè)f（x，y）是以y的階大于等于1的x，y的多項式，則F（x）=∑f（n，｛nα｝）xn是x的有理函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)α為無理數(shù)。莫德爾利用周期函數(shù)｛x｝的傅里葉展開、赫克定理和伯努利多項式進(jìn)行證明。他與紐曼相比，給出的證明更直接和更具有解析性，且對莫德爾而言，只要｛nα｝取無窮多個值就可以了。莫德爾進(jìn)一步證明了對于無理數(shù)α，由級數(shù)∑f（n，｛nα｝）xn定義的x的正則函數(shù)以單位圓為自然邊界。

在該文中，莫德爾把F（x）=∑f（n，｛nα｝）xn轉(zhuǎn)化為了一個重要級數(shù)，該級數(shù)是他證明所得定理的重要基礎(chǔ)。由于該級數(shù)的重要性，故他另撰專文進(jìn)行研究。他在《級數(shù)》［8］（1963）中在條件收斂的情況下，討論了的收斂問題，并成為他后面的兩篇文章的理論基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)家施瓦茲利用赫克的方法從另一角度在《無理性冪級數(shù)》（1962）中推廣了紐曼定理。

設(shè)t≥1是一個整數(shù)，實函數(shù)f（x）在0≤x≤1上至少t+1階連續(xù)可導(dǎo)，且至少存在一個τ，0≤τ≤t-1≤使不等式f（τ）（0）≠f（τ）（1）成立。若α是一個無理數(shù)，則冪級數(shù)∑f（｛nα｝）zn在單位圓之外不可解析開拓。

施瓦茲在該定理后注釋到：若h（x）是一個具有下例性質(zhì)的實函數(shù)，｛h（n）｝（n=0，1，2，…）是取有限個有理數(shù)值的周期函數(shù)，則在上述定理的假設(shè)下，級數(shù)∑f（｛nα+h（n）｝）zn在單位圓之外不可開拓。

在施瓦茲之后，對紐曼定理進(jìn)一步一般化的數(shù)學(xué)家是H G Meijer。Meijer在《無理性冪級數(shù)》［9］（1963）中指出，令k為一個正整數(shù)，g（x）為階p≥1的復(fù)域上的多項式，則∑g（［nkα］）xn表示一個x的有理函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)α是有理數(shù)。他的證明使用了差分理論和均勻分布定理。

Meijer在該文中把紐曼定理亦從其他角度一般化，但未證。設(shè)g（x）為一個階p≥1的復(fù)域上的多項式，f（n）為階k≥1的實系數(shù)多項式，對于∑g（［f（n）］）xn成立：

（1）若f（n）的所有系數(shù)（可能除常數(shù)項外）是有理的，則級數(shù)表示x的有理函數(shù)。

（2）f（n）的所有非零系數(shù)是無理的，且關(guān)于有理數(shù)域線性獨(dú)立，若f（x）不含常數(shù)項，則級數(shù)表示無理函數(shù)。

在莫德爾論文的影響下，Meijer猜想在上述定理的條件下，由級數(shù)表示的函數(shù)在α是無理數(shù)的情況下也一定以單位圓為自然邊界。該猜想由J Popken在補(bǔ)充條件所有g(shù)（x）的系數(shù)是代數(shù)數(shù)的情況下得到圓滿解決①M(fèi)eijer在該文文末感謝Popken教授對他在這個定理上的指導(dǎo)和幫助。。他在《無理性冪級數(shù)》［10］（1963）中不僅利用波利亞—卡爾松定理證明了該猜想，而且基于劉維爾代數(shù)數(shù)逼近定理和Hankel行列式證明了更一般定理。

設(shè)g（u）表示代數(shù)系數(shù)多項式，φ（n）是一個整值算術(shù)函數(shù)，使得∑g（φ（n）x-n對|x|＞1收斂。則或者它表示一個有理函數(shù)，或以單位圓為自然邊界的函數(shù)。Popken利用該定理推廣了波利亞—卡爾松定理。施瓦茲在《無理性冪級數(shù)II》［11］1965）中利用波利亞—卡爾松定理證明了Popken所得定理，并對Popken所得定理進(jìn)一步推廣。

D Cantor沿著Popken的研究思路，在《無理性冪級數(shù)》［12］（1967）中證明了下列定理。設(shè)

是一個階m≥1的復(fù)系數(shù)多項式，

為階k≥1的實系數(shù)多項式。當(dāng)Φ（x）-Φ（0）為有理系數(shù)多項式時，冪級數(shù)∑g（［Φ（n）］）zn表示一個有理函數(shù)。

這個定理揭示了冪級數(shù)系數(shù)的算術(shù)性質(zhì)和冪級數(shù)表示函數(shù)的整體行為的聯(lián)系。若Φ（x）的系數(shù)滿足條件，則很容易知道級數(shù)表示一個有理函數(shù)?；赑opken定理可以直接得到其逆也是對的。

莫德爾在文獻(xiàn)［10-11］的基礎(chǔ)上，依照施瓦茲1962年上述論文的研究思想在《無理性冪級數(shù)II》［13］（1965）中利用赫克的方法和均勻分布理論，推廣了施瓦茲1962年的上述定理。

設(shè)f（x）=∑φ（｛nα+β｝）xn，|x|＜1，其中α是無理數(shù)，β為實數(shù)。φ（y）為0≤y≤1的連續(xù)函數(shù)，則f（x）是x的一個有理函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）為一個有限的傅里葉級數(shù)

若f（x）不是x的一個有理函數(shù)，則f（x）在單位圓之外不可開拓。

莫德爾對這個函數(shù)一般化為

其中χ（y，z）為y，z的函數(shù)。α，β為無理數(shù)，γ，δ為實數(shù)，對任意n，nα+γ或βn+δ為非整數(shù)。類似結(jié)果在其《無理性冪級數(shù)III》［14］（1965）中繼續(xù)討論。

f（x）在0≤x≤1上為黎曼可積函數(shù)，且l為任意整數(shù)，則沿著半徑從x=0趨于e2lπiα?xí)r，F(xiàn)（x）（1-xe-2lπiα）收斂于。

若f（x）除有限個點不連續(xù)外連續(xù)（0≤x≤1），則F（x）是x的有理函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f（x）是一個有限的傅里葉級數(shù)

莫德爾把這個定理推廣到更一般的級數(shù)，在其中f是一個多變量函數(shù)。

其中α1，α2為無理數(shù)，β1，β2為實數(shù)。若f（x，y）為0≤x，y≤1上的連續(xù)函數(shù)，則F（x）是x的有理函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f（x，y）是一個有限的傅里葉級數(shù)

若這個不成立，則F（x）不能在單位圓之外解析開拓。K Nishioka在《某類冪級數(shù)的算術(shù)性質(zhì)》［15］（1992）中提到了莫德爾此篇文章的工作，并進(jìn)一步做了深入研究。

受莫德爾工作的影響，達(dá)文波特（Davenport，1907—1969）在《關(guān)于無理性冪級數(shù)的注釋》［16］（1966）中利用和收斂，及e（nt）對一切實數(shù)t一致有界條件代替莫德爾定理中的條件對莫德爾的結(jié)果以更加一般形式給出，并證明了雙重級數(shù)的類似結(jié)果。P Szusz指出和收斂可由存在代替。J Henniger在《具有概周期系數(shù)的冪級數(shù)》［17］（1966）中利用系數(shù)的概周期條件對達(dá)文波特的結(jié)果一般化①J Henniger感謝達(dá)文波特教授對他這篇文章的指導(dǎo)。。

3　無理性冪級數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展

無理性冪級數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展首先是由F W Carroll和J H B Kemperman做出的。在《不可開拓的解析函數(shù)》［18］（1965）中，他們指出，這篇論文的目的是給出以單位圓為自然邊界的級數(shù)的新類型，其結(jié)果和赫克的工作有緊密關(guān)系。赫克的方法局限于黎曼可積函數(shù)，而他們的方法可以推廣到勒貝格可積函數(shù)。他們基于實函數(shù)列積分的上極限定理得到了如下一個重要定理。

設(shè)f（x）在0≤x≤1上勒貝格可積，則冪級數(shù)

對一切實數(shù)α有收斂半徑1。當(dāng)且僅當(dāng)f（z）不等于周期為1的三角多項式ΣCpe2pπix時，F(xiàn)α（z）在單位圓之外不可開拓。

Caroll和Kemperman基于H—序列的概念證明了∑G（［nα］）zn在單位圓外不可開拓，其中

其中ρv，σv，dv，τv（τv＜1），cv為復(fù)數(shù)。紐曼定理為其特例。

Caroll和Kemperman基于波利亞—卡爾松定理、L—序列的概念證明函數(shù)

R Wallisser受Carroll和Kemperman的工作影響，在《不可開拓冪級數(shù)的一個定理》［19］1969）中利用維納定理繼續(xù)研究冪級數(shù)在單位圓內(nèi)收斂和以其為自然邊界問題，并得到一個重要定理。

設(shè)函數(shù)f（x）以整有理數(shù)m≥2為基本周期，f（λ）不相等，λ=0，1，…，m-1。f（x）可以展成一個絕對收斂的傅里葉級數(shù)。對m的某個部分g和一切有理整數(shù)p≥1，序列（xn/g，xn+p/g）模1均勻分布，則F（z）=∑f（［xn］）zn以單位圓為自然邊界。施瓦茲1962年的上述定理為其特例。

施瓦茲和R Wallisser在1973年合作完成了兩篇論文，探討了在單位圓之外不可開拓的冪級數(shù)類型。在《論某類不可開拓的冪級數(shù)Ⅰ》［20］（1973）中，他們沿著Cantor的研究思想，利用維納不可開拓判別準(zhǔn)則證明了，若Φ（x）-Φ（0）的系數(shù)至少有一個是無理數(shù)時，∑g（［Φ（n）］+o（nK）zn在單位圓之外不可開拓，K=（m-1）k=gradΦ·（gradg-1）。他們在《論某類不可開拓的冪級數(shù)Ⅱ》［21］1973）中，利用維納判定準(zhǔn)則和阿達(dá)瑪乘積定理對上述定理進(jìn)行推廣，使Popken的上述定理和施瓦茲1965年的上述定理為其特例。

A I Pavlov在前人，特別是莫德爾工作的基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究。他在《某類冪級數(shù)的解析非開拓性》［22］（1998）中構(gòu)造了整函數(shù)G（z）和正整數(shù)集合M之間的類（G，M），使得級數(shù)

在單位圓外不能解析開拓。莫德爾在1960年的上述定理為其特例。

A I Pavlov在《整函數(shù)、解析開拓、一個線性函數(shù)的分式部分》［23］（1999）中就G（z）的泰勒系數(shù)滿足非負(fù)條件，通過引入點列偏離理論，利用Wigert定理證明了∑G（［nα］）zn（α∈（0，1）在單位圓之外不能解析開拓。

4　結(jié)語

冪級數(shù)的系數(shù)和其在收斂邊界上的行為表現(xiàn)之間有著重要聯(lián)系，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪在1892年明確指出這一點。其后，波萊爾、波利亞、奧斯特洛斯基［24］、斯?jié)晒牛?5］等數(shù)學(xué)家研究了函數(shù)在收斂域之外是否可以解析開拓的條件，得到了一些重要定理和一些典型的不可解析開拓的例子。伴隨著數(shù)論理論的發(fā)展，不可解析開拓的例子被進(jìn)一步構(gòu)造，其中無理性冪級數(shù)為其中的重要一類。赫克、紐曼、莫德爾等數(shù)學(xué)家對此進(jìn)行了深入研究，并得到了許多深刻結(jié)果。外爾均勻分布定理是證明所得結(jié)果的重要理論基礎(chǔ)。在無理性冪級數(shù)理論發(fā)展的后一階段，Caroll和Kemperman等人把這一理論納入到不可開拓冪級數(shù)理論研究中，使其成為特殊情況。

文章基于原始文獻(xiàn)，梳理了無理性冪級數(shù)理論的發(fā)展脈絡(luò)，揭示了在這一過程中數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)思想和方法。

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The Origin and Early Development of the Theory on Irrational Power Series

WANG Quanlai
（College of Computer and Information Engineering，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

s:This paper discusses the development sequence of the the theory of irrational power series by using historical analysis and comparative methods.M.Newman was the first to put forward the name“Irrational Power Series”.His research aroused other mathematicians'interest in it.Based on Newman's achievement，many mathematicians such as L.J.Mordell and W.Schwarz studied it and got some remarkable results.Other mathematicians such as F.W.Carroll and J.H.B.Kemperman studied it from the point of non-analytic extension power series and propagated relevant results attained by the predecessors.

irrational power series；analytic extension；Weyl uniform distribution theorem；rational function

N09

A

1672-2914（2015）06-0001-05

2015-09-05

國家自然科學(xué)基金項目（11571276）。

王全來（1974-），男，天津市人，天津師范大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院副教授，博士，研究方向為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。