探析幾種常見的三角函數(shù)最值問題

郭敏姣

摘要： 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)的最值問題是一個十分重要的內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點，學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值時，經(jīng)常會遇到各種各樣的問題，因此，對求解三角函數(shù)最值的幾種類型進行歸納總結(jié)有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 最值 類型

前言

三角函數(shù)最值是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點，由于三角函數(shù)的題型種類多，經(jīng)常在考試中出現(xiàn)，為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，加深學(xué)生對三角函數(shù)的認識，對三角函數(shù)最值進行歸納總結(jié)是十分重要的，下面就三角函數(shù)最值的幾種類型進行分析。

1.三角函數(shù)最值問題的概述

三角函數(shù)的最值問題是指利用代數(shù)換元、三角變化等方式，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換成基本代數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)，然后利用常用的函數(shù)最值求法或者三角函數(shù)的有界性，得出三角函數(shù)的最值。三角函數(shù)最值問題考察的是學(xué)生對三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用情況，三角函數(shù)問題在考試中頻繁出現(xiàn)，涉及到的數(shù)學(xué)知識十分廣泛，因此，提高學(xué)生對三角函數(shù)最值問題的解題效率有十分重要的意義。

2.求三角函數(shù)最值問題的幾種類型

2.1 利用三角函數(shù)有界性解最值問題

對于y=（a·cosx+b）/（c·cox+d）或者y=（a·sinx+b）/（c·sinx+d）這一類三角函數(shù)，在求解最值時，需要先求出cosx（或sinx）的值，然后利用|cosx≤1|（或|sinx≤1|）得出原函數(shù)的最值。在解題過程中，需要注意的是“a”的正負號對函數(shù)最值的影響。

例如：求函數(shù)y=（2cosx+1）/（2cos-1）的值域。

對于該題，屬于典型的y=（a·cosx+b）/（c·cox+d）三角函數(shù)最值問題，在解題過程中，可以先將函數(shù)轉(zhuǎn)換成部分分式，然后利用三角函數(shù)的有界性進行求解。在該問題中，函數(shù)y=（2cosx+1）/（2cos-1）可以轉(zhuǎn)換成y=1+2/（2cosx-1），由于|cosx≤1|，因此，可以得出：y≥3或者y≤1/3。

2.2 利用輔助角求解三角函數(shù)最值

對于y=a·sinx+b·cosx類型的三角函數(shù)，在求解最值時，可以引入輔助角β，將原函數(shù)轉(zhuǎn)換為的形式，然后利用|sin（x+β）|≤1進行最值求解。

例如：函數(shù)y=（a·cosx+b·sinx）cosx的最小值為-1，最大值為2，則，a、b分別是多少。

在本題中，函數(shù)y=（a·cosx+b·sinx）cosx可以轉(zhuǎn)為y=a·cos2x+b·sinx·cosx的形式，進而可以轉(zhuǎn)換為（其中tanβ=b/a）的形式，當(dāng)sin（2x+β）=1時，ymax=2，當(dāng)sin（2x+β）=-1時，ymin=-1，也就是，，從而得出。

2.3 利用配方法求三角函數(shù)最值

對于y=a·sin2x+b·cosx+c這一類三角函數(shù)，在求最值時，可以利用角的變換，“合二為一”，從而將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)換為閉區(qū)間的二次函數(shù)值域問題進行求解。

例如：求函數(shù)y=2cos2x+5sinx-2的最值。

在本題中，可以將函數(shù)y=2cos2x+5sinx-2轉(zhuǎn)換為y=-sin2x+5sinx-2的形式，然后對函數(shù)y=-sin2x+5sinx-2進行配方，得到y(tǒng)=-2（sinx-5/4）2+9/8，當(dāng)sinx=-1時，ymin=-9;當(dāng)sinx=1，ymax=1。

2.4 利用換元法求三角函數(shù)最值

對于含有sinx·cosx，sinx±cosx形式的函數(shù)，在求其最值時，可以利用換元法，設(shè)sinx±cosx=n，，然后將sinx·cosx轉(zhuǎn)換成含n的函數(shù)式，從而將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)最值問題。

例如：求函數(shù)y=sinx·cosx+sinx-cosx的最小值及最大值。

在函數(shù)中，sinβ·cosβ和sinβ-cosβ有很大的聯(lián)系，在求解這類函數(shù)的最值時，可以設(shè)sinβ-cosβ=n，經(jīng)過換元后，利用重要不等式、配方法、函數(shù)單調(diào)性等方法進行最值求解。在本題中，設(shè)，由于，sinx·cosx=（1-n2）/2，則y=n+（1-n2）/2=-1/2×（n-1）2+1，因此，當(dāng)n=1時，ymax=1，當(dāng)時，。

2.5 利用向量法求三角函數(shù)最值

對于三角函數(shù)最值與向量運算問題，可以利用向量數(shù)量積預(yù)算法則，將相應(yīng)的函數(shù)基本關(guān)系式求出，然后利用三角函數(shù)的基本公式，將得出的代數(shù)式轉(zhuǎn)換成函數(shù)y=a·sin（αx+β）+k的形式，最后利用三角函數(shù)的有界性得出三角函數(shù)的最值。

例如：，向量，函數(shù)y=f（x）的圖像經(jīng)過點（π/4，2），求m的值及函數(shù)y=f（x）最小值時x值的集合。

對于本題，f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，由于f（π/4）=m[1+sin（π/2）]+cos（π/2）=2，從而得出m=1，因此，，由此可見，當(dāng)時，函數(shù)y=f（x）的最小值是，此時x值的集合為。

1.總結(jié)

三角函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)最常見的問題之一，在進行三角函數(shù)最值求解時，可以采用三角函數(shù)有界性、輔助角、配方法、換元法、向量法等方法進行求解，從而有效地提高三角函數(shù)最值問題的解題正確率。

參考文獻

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