基于復(fù)合單葉雙曲面的廣義Stewart平臺全局動態(tài)各向同性優(yōu)化設(shè)計*

田體先 姜洪洲 何景峰 佟志忠 黃其濤

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

完全動態(tài)各向同性的并聯(lián)機構(gòu)意味著其在各自由度方向上的加速度特性完全一致，具有最佳的控制精度與動態(tài)響應(yīng)，是從設(shè)計角度解決傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)因本征強耦合特性導(dǎo)致的控制性能變差問題的根本途徑.

Asada［1-2］首次對并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)特性進行了量化分析;隨后Yoshikawa［3］提出了動力學(xué)操作度橢球(DME)的概念，描述了機構(gòu)在局部位姿下其慣量特性與執(zhí)行器末端加速度特性的關(guān)系，并給出了動力學(xué)操作度系數(shù)(DMI)的定義，其物理意義為動力學(xué)操作度橢球的長短軸比，反映了并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)各向同性;Ma 等［4-5］則進一步提出了動態(tài)條件數(shù)(DCI)指標(biāo)并將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中.

Jiang 等［6］提出了一種基于模態(tài)頻率的動態(tài)各向同性指標(biāo)，并證明了傳統(tǒng)Stewart 并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)完全各向同性時要求負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量滿足條件:Ixx=Iyy且Izz=4Ixx.實質(zhì)上，Izz=4Ixx這一約束條件在實際中很難滿足.

為打破傳統(tǒng)Stewart 并聯(lián)機構(gòu)對負(fù)載的苛刻約束條件，學(xué)者們提出了多種廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu).如McInroy 等［7-8］提出了一類局部運動各向同性的鏡像對稱冗余Stewart 并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計方法;He等［9］對旋轉(zhuǎn)對稱冗余Stewart 并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)各向同性進行了研究;而Jiang 等［10-11］則基于單葉雙曲面重新描述Stewart 并聯(lián)機構(gòu)，并采用復(fù)合單葉雙曲面形式構(gòu)造出具有完全動態(tài)各向同性的廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu);佟志忠等［12-14］進一步深入分析了基于單葉雙曲面廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)的力各向同性、解耦中心等問題，將其應(yīng)用于隔振、精密跟瞄及六維力傳感器領(lǐng)域.

然而，上述動態(tài)各向同性指標(biāo)及其設(shè)計方法只適用于振動臺或隔振平臺等具有局部小工作空間的并聯(lián)機構(gòu)，而對于飛行模擬器等運動范圍較大的并聯(lián)機構(gòu)而言，則需考慮全局特性.

截至目前，針對并聯(lián)機構(gòu)全局特性的文獻(xiàn)尚不多見，目前學(xué)者們主要采用的方法為將局部性能指標(biāo)在全域工作空間積分并取均值［15］，這類方法計算量大且結(jié)果受工作空間網(wǎng)格劃分的影響.

文中通過分析并聯(lián)機構(gòu)局部頻率特性的導(dǎo)數(shù)信息，給出了一種新的全局動態(tài)各向同性指標(biāo)，結(jié)合基于復(fù)合單葉雙曲面的廣義Stewart 平臺，給出了具有局部動態(tài)各向同性且全局特性最優(yōu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法.

1 廣義Stewart 平臺結(jié)構(gòu)描述

1.1 定義

由上、下平臺及6 條支腿組成并聯(lián)機構(gòu)，各支腿逆時針按照奇偶序號分為兩組，奇序號支腿相同，偶序號支腿相同，分別位于上、下平臺的兩組同心圓內(nèi)，且滿足旋轉(zhuǎn)對稱性質(zhì)，如圖1 所示，稱這類并聯(lián)機構(gòu)為廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu).

圖1 廣義Stewart 平臺定義Fig.1 Definition of generalized Stewart platform

1.2 數(shù)學(xué)描述

由廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)的定義可知，6 條支腿按奇偶序號分為兩組:a1b1、a3b3、a5b5為一組，a2b2、a4b4、a6b6為一組.從數(shù)學(xué)角度而言，兩組支腿實質(zhì)上位于復(fù)合單葉雙曲面S1和S2中，如圖2 所示.

圖2 位于復(fù)合單葉雙曲面上的廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)型式Fig.2 Structure type of generalized Stewart parallel manipulator lying on a pair of circular hyperboloid

復(fù)合單葉雙曲面S1和S2則通過線列Г1和Г2分別逆時針依次旋轉(zhuǎn)120°生成，二者的數(shù)學(xué)表述為

式中，r1、r2為單葉雙曲面喉部半徑，a1z、a2z為單葉雙曲面中心距，c1、c2為單葉雙曲面特征系數(shù).

根據(jù)式(1)及(2)，給出廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)的中位雅可比矩陣Jlx數(shù)學(xué)表述形式:

式中:α 為線列Г1和Г2繞z 軸的轉(zhuǎn)動角度，0≤α≤30°;

1.3 局部完全動態(tài)各向同性解析約束條件

將并聯(lián)機構(gòu)各支腿看作剛度為kl的線性彈簧，則工作空間剛度陣Kt可表述為

式中，kl為支腿剛度.

當(dāng)負(fù)載質(zhì)心與并聯(lián)機構(gòu)慣性坐標(biāo)系{M}的原點重合時，慣性參數(shù)陣可表述為

式中:I 為三階單位陣;m 為負(fù)載質(zhì)量;Ic為負(fù)載慣量陣，Ic=diag(Ixx，Iyy，Izz).

結(jié)合式(4)與(5)，得到系統(tǒng)動態(tài)特性特征矩陣:

當(dāng)系統(tǒng)動態(tài)特性特征矩陣GT為單位陣的倍數(shù)時，并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)完全動態(tài)各向同性，此時并聯(lián)機構(gòu)各個自由度方向的加速度特性完全一致，具有最佳的動態(tài)特性.

對于標(biāo)準(zhǔn)Stewart 并聯(lián)機構(gòu)而言，實現(xiàn)完全動態(tài)各向同性的約束條件為Izz=4Ixx，這一約束條件在實際中無法滿足［10］.

文中采用復(fù)合單葉雙曲面描述的廣義Stewart并聯(lián)機構(gòu)，消除了對負(fù)載的約束條件.定義喉部半徑比為

滿足完全動態(tài)各向同性的復(fù)合單葉雙曲面的解析參數(shù)約束條件如下.

(1)當(dāng)n=1 時:

(2)當(dāng)n≠1 時:

選擇喉部半徑比n 及角度α，則根據(jù)式(8)或式(9)得到一族具有相同雅可比陣、在中位具有完全動態(tài)各向同性的并聯(lián)機構(gòu).

2 全局動態(tài)各向同性

為進一步設(shè)計得到并聯(lián)機構(gòu)的具體參數(shù)，如圖3所示，首先以解耦中心O 為對稱中心，對復(fù)合單葉雙曲面分別偏置距離d，得到基準(zhǔn)平面P1、P2，在此基礎(chǔ)上，進一步將基準(zhǔn)平面P1、P2向z 軸正向平移高度h，截取平面P1′和P2′作為上平臺平面，固定支腿長度L，則構(gòu)造出位于復(fù)合單葉雙曲面上的具有工程可行性的廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)參數(shù)集合.

圖3 廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)造方式Fig.3 Construction of generalized Stewart parallel manipulator

可見，滿足局部完全動態(tài)各向同性的廣義Stewart并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為一個解集，而這些并聯(lián)機構(gòu)在全域工作空間內(nèi)的特性并不相同，本節(jié)給出衡量并聯(lián)機構(gòu)全局頻率變化特性的全局動態(tài)各向同性指標(biāo).

對考慮位姿x=［x y z Φ θ ψ］的系統(tǒng)動態(tài)特性特征矩陣GT(x)求其特征值，有

式中:ωi為GT(x)的第i 階特征值，ui為GT(x)的第i 階特征向量.

將式(10)兩邊對位姿變量xj(j =1，2…，6)偏微分，有

基于式(12)，文中給出可表征并聯(lián)機構(gòu)全局特性的模態(tài)靈敏度矩陣H，表述為

由于式(13)只適用于單特征值的情形，文中采用攝動法消除并聯(lián)機構(gòu)中位時由于重特征值造成的影響，式(13)中各元素求解方法為

式中，Δ 為相應(yīng)自由度上的攝動量，如

H 即為全局動態(tài)各向同性評價矩陣，矩陣各元素值越小，表明頻率對位姿的變化越不敏感，全局動態(tài)各向同性越好.

基于矩陣H，文中得到了一種新的評價并聯(lián)機構(gòu)全局動態(tài)各向同性指標(biāo)(GDI)，表述為

式中，hi，j為權(quán)重系數(shù)，

全局各向同性指標(biāo)量化了并聯(lián)機構(gòu)在全域工作空間內(nèi)各階模態(tài)頻率的變化情況.ηg越小，模態(tài)頻率的變化率越小，全局空間內(nèi)的各向同性特性越好，同時意味著全局空間內(nèi)遠(yuǎn)離奇異的程度越好.

3 優(yōu)化設(shè)計

基于全局動態(tài)各向同性指標(biāo)，可對并聯(lián)機構(gòu)的全域頻率特性進行量化分析，進而從滿足局部完全動態(tài)各向同性的廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)參數(shù)解集中找到具有最優(yōu)全局動態(tài)各向同性的結(jié)構(gòu)參數(shù).

3.1 優(yōu)化問題描述

基于復(fù)合單葉雙曲面描述的廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括:r1、r2、a1z、a2z、ka1、ka2、kc1、kc2、α、d、h、L.實際工程設(shè)計中，支腿長度L 為設(shè)計值，以α、d、h 作為優(yōu)化變量，以局部完全動態(tài)各向同性作為約束條件，則其他參數(shù)可唯一確定.

以全局動態(tài)各向同性為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計問題描述如下:

目標(biāo)函數(shù):全局動態(tài)各向同性指標(biāo)ηg最小.

優(yōu)化變量:［α d h］.

約束條件:局部完全動態(tài)各向同性.

優(yōu)化設(shè)計的基本步驟如下:

(1)構(gòu)型選擇，即n=1 或n≠1;

當(dāng)n=1 時，并聯(lián)機構(gòu)上平臺平面P′1和P′2重合，此時d=0.當(dāng)n≠1 時，優(yōu)化變量多一個，機構(gòu)靈活性更大.

(2)給定支腿長度L;

(3)以式(8)或式(9)為約束條件，尋找函數(shù)ηg(α，d，h)的最小值;

(4)校驗結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)性，若不滿足，則跳轉(zhuǎn)到步驟(1).

3.2 設(shè)計實例

給定負(fù)載質(zhì)量m = 4 300 kg，轉(zhuǎn)動慣量Ic=diag(4100，4100，6700)kg·m2. 按3.1 節(jié)的描述進行優(yōu)化設(shè)計，給出n=1 及n=0 時的兩組優(yōu)化結(jié)果.

(1)喉部半徑比n=1 時

以α、h 作為優(yōu)化變量，與全局各向同性指標(biāo)GDI 的三維曲線如圖4 所示.

圖4 參數(shù)α、h 與GDI 的關(guān)系Fig.4 Relationship between parameters α，h and GDI

優(yōu)化得到的并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖5 所示.其中，上平臺為兩組藍(lán)色同心圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，下平臺為兩組紅色同心圓所圍成的環(huán)形區(qū)域. 具體結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)見表1.

表1 n=1 時優(yōu)化的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)Table 1 Optimized structural geometric parameters when n=1

圖5 n=1 時的優(yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.5 Optimized structure when n=1

(2)喉部半徑比n=0 時

以α、d 作為優(yōu)化變量，與全局各向同性指標(biāo)GDI 的三維曲線如圖6 所示.

優(yōu)化得到的并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖7 所示.可以看到，對于喉部半徑比n =0 的機構(gòu)而言，其上平臺或下平臺并非一個平面，兩組藍(lán)色圓均為上平臺，而兩組紅色圓均為下平臺.具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2.

圖6 參數(shù)α、d 與GDI 的關(guān)系Fig.6 Relationship between parameters α，d and GDI

圖7 n=0 時的優(yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.7 Optimized structure when n=0

表2 n=0 時優(yōu)化的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)Table 2 Optimized structural geometric parameters when n=0

對比圖5 與7，盡管二者結(jié)構(gòu)型式相差很大，但其中位雅可比陣完全相同，且均遠(yuǎn)離奇異對比圖4 與6 可以看到，盡管其喉部半徑比n=0 的并聯(lián)機構(gòu)型式復(fù)雜，但具有更為良好的全局各向同性.

4 結(jié)語

文中通過對基于模態(tài)分析的系統(tǒng)動態(tài)特性特征矩陣特征值靈敏度進行分析，建立了表征并聯(lián)機構(gòu)全域工作空間內(nèi)頻率變化特性的全局各向同性指標(biāo).以該指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)，局部完全動態(tài)各向同性解析條件為約束，實現(xiàn)了具有最佳完全動態(tài)各向同性的廣義Stewart 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)優(yōu)化.該方法為大運動范圍Stewart 并聯(lián)機構(gòu)如飛行模擬器等的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了一個有效的工具.

［1］Asada H.A geometrical representation of manipulator dynamics and its application to arm design［J］. Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1983，105(3):131-135.

［2］Asada H.Dynamic analysis and design of robot manipulators using Inertia Ellipsoids ［C］∥Proceedings of 1984 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Atlanta:IEEE，1984:94-102.

［3］Yoshikawa T.Dynamic manipulability of robot manipulators［J］.Journal of Robotic Systems，1985，2(1):113-124.

［4］Ma O，Angeles J.The concept of dynamic isotropy and its applications to inverse kinematics and trajectory planning［C］∥Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation.Cincinnati:IEEE，1990:481-486.

［5］Ma O，Angeles J. Optimum design of manipulator under dynamic isotropy condition ［C］∥Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation.Atlanta:IEEE，1993:470-475.

［6］Jiang H Z，He J F，Tong Z Z. Characteristics analysis of joint space inverse mass matrix for the optimal design of a 6-DOF parallel manipulator［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45(5):722-739.

［7］McInroy J E，O’Brien J F，Allais A A，.Designing dynamics and control of isotropic Gough-Stewart micromanipulators［C］∥Proceedings of 2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). Karlsruhe:IEEE，2013:1458-1464.

［8］Allais A A，McInroy J E，O’Brien J F.Locally decoupled micromanipulation using an even number of parallel force actuators［J］. IEEE Transactions on Robotics，2012，28(6):1323-1334.

［9］He J F，Jiang H Z，Tong Z Z，et al.Study on dynamic isotropy of a class of symmetric spatial parallel mechanisms with actuation redundancy ［J］. J Vibration Control，2012，18(8):1156-1164.

［10］Jiang H Z，Tong Z Z，He J F.Dynamic isotropy design of a class of Gough-Stewart parallel manipulators lying on a circular hyperboloid of one sheet ［J］. Mechanism and Machine Theory，2011，46(3):358-374.

［11］Jiang H Z，He J F，Tong Z Z，et al.Dynamic isotropic design for modified Gough-Stewart platforms lying on a pair of circular hyperboloids ［J］. Mechanism and Machine Theory，2011，46(9):1301-1305.

［12］佟志忠，姜洪洲，何景峰，等.基于廣義Stewart 平臺的精密跟瞄機構(gòu)動態(tài)各向同性優(yōu)化設(shè)計［J］. 宇航學(xué)報，2011，32(5):1019-1025.Tong Zhi-zhong，Jiang Hong-zhou，He Jing-feng，et al.Optimal design of generalized stewart parallel manipulator based precise tracking-pointing platform with dynamic isotropy ［J］. Journal of Astronautics，2011，32(5):1019-1025.

［13］佟志忠，姜洪洲，何景峰，等.基于單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)Stewart 并聯(lián)結(jié)構(gòu)六維力傳感器各向同性優(yōu)化設(shè)計［J］.航空學(xué)報，2011，32(12):2327-2334.Tong Zhi-zhong，Jiang Hong-zhou，He Jing-feng，et al .Optimal design of isotropy performance of six-dimensional force sensor based on standard Stewart parallel structure lying on a circular hyperboloid of one sheet ［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32(12):2327-2334.

［14］佟志忠，段廣仁，何景峰，等.基于加速度各向同性的空間光學(xué)儀器主動隔振Stewart 平臺設(shè)計［J］. 振動與沖擊，2012，31(2):109-114.Tong Zhi-zhong，Duan Guang-ren，He Jing-feng，et al.Optimal design of an acceleration isotropy-based active vibration isolation Stewart platform for spaceborne optical instrument［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(2):109-114.

［15］Gosselin C M，Angeles J.A global performance index for the kinematic optimization of robotic manipulators ［J］. ASME Journal of Mechanical Design，1991，113(3):220-226.