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    雙根法是優(yōu)化解析幾何運(yùn)算的又一利器

    2015-10-08 18:15:07藍(lán)云波
    關(guān)鍵詞:雙根根式過點(diǎn)

    我們知道,二次函數(shù)有三種形式,分別是一般式、頂點(diǎn)式、雙根式.其中雙根式可以把一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)表示為y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2為方程ax2+bx+c=0的兩根.對于雙根式的應(yīng)用,筆者通過翻閱大量資料發(fā)現(xiàn),其應(yīng)用大都僅僅局限于二次函數(shù)方面,似乎不能在其他方面發(fā)揮功效,筆者又在知網(wǎng)上搜索雙根法的相關(guān)文章,也不能看到其他方面的應(yīng)用,似乎很少有人研究.但事實(shí)上,雙根法還可以有更精彩的應(yīng)用.筆者下面通過幾道近幾年的高考題為例,談?wù)勊趦?yōu)化解析幾何運(yùn)算方面的應(yīng)用.現(xiàn)分析如下,供大家參考.

    例1(2012年高考重慶卷第20題)如圖1所示,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.圖1

    (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程.

    分析本題是一道典型的直線與圓錐曲線的綜合解答題,通常的做法是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,利用韋達(dá)定理消元解決.結(jié)合本題,問題的關(guān)鍵是解決PB2⊥QB2這個(gè)條件轉(zhuǎn)換為向量的數(shù)量積為零之后的復(fù)雜運(yùn)算,思路雖然清晰,但運(yùn)算比較復(fù)雜.

    傳統(tǒng)解法(1)該橢圓的離心率e=255,標(biāo)準(zhǔn)方程為x220+y24=1;(略)

    (2)由(1)知B1-2,0,B22,0.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),顯然不成立.

    當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),可設(shè)其方程為y=kx+2.Px1,y1,Qx2,y2.

    由y=kx+2,

    x220+y24=1,得x2+5k2x+22-20=0.即(1+5k2)x2+20k2x+20k2-20=0,

    所以x1+x2=-20k21+5k2,x1x2=20k2-201+5k2.

    因?yàn)镻B2⊥QB2,所以PB2·QB2=2-x12-x2+y1y2=0.

    因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在直線y=k(x+2)上,所以y1=k(x1+2),y2=k(x2+2).

    所以(2-x1)(2-x2)+k2(x1+2)(x2+2)=0,

    所以4-2(x1+x2)+x1x2+k2x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0,

    化簡得(1+k2)x1x2+(2k2-2)(x1+x2)+4k2+4=0.

    所以(1+k2)×20k2-201+5k2+(2k2-2)×-20k21+5k2+4k2+4=0,(1+k2)×5k2-51+5k2+(2k2-2)×-5k21+5k2+k2+1=0,

    所以(1+k2)(5k2-5)+(2k2-2)(-5k2)+(k2+1)(1+5k2)=0,

    即5k4+5k4-10k4+10k2+k2+5k2-5+1=0,

    故16k2-4=0,k=±12.

    故直線l的方程為y=±12(x+2),即x+2y+2=0或x-2y+2=0.

    點(diǎn)評此法雖然思路清晰,但運(yùn)算極為繁瑣.特別是在緊張的考試中,學(xué)生能算出最后結(jié)果的微乎其微.

    本題中,如何化簡(2-x1)(2-x2)+k2(x1+2)(x2+2)=0是運(yùn)算的難點(diǎn).上述的解法雖然可行,但效率卻不夠高,且極容易出錯(cuò).事實(shí)上,我們只要能把(2-x1)(2-x2)和(x1+2)(x2+2)用k來表示,問題便能得到解決.如若注意到x1,x2是方程的兩根,可把x2+5k2x+22-20=0左端的式子用雙根法表示,然后進(jìn)行合理賦值,就能輕而易舉得到結(jié)果.

    優(yōu)化解法同傳統(tǒng)解法可得x2+5k2x+22-20=0與(2-x1)(2-x2)+k2(x1+2)(x2+2)=0,因?yàn)閤1,x2是方程x2+5k2x+22-20=0的兩根,所以x2+5k2x+22-20=(1+5k2)(x-x1)(x-x2)①,

    ①式中再令x=2得,22+5k2(2+2)2-20=(1+5k2)(2-x1)(2-x2),

    所以(2-x1)(2-x2)=80k2-161+5k2,

    ①式中令x=-2得,(-2)2+5k2(2-2)2-20=(1+5k2)(-2-x1)(-2-x2),

    所以(x1+2)(x2+2)=-161+5k2,

    所以(2-x1)(2-x2)+k2(x1+2)(x2+2)=80k2-161+5k2+k2×-161+5k2=64k2-161+5k2=0.

    所以64k2-16=0,即k=±12.下同傳統(tǒng)解法.

    點(diǎn)評此法通過巧設(shè)雙根式并進(jìn)行合理賦值,運(yùn)算極為簡潔,真正達(dá)到了化繁為簡的效果,可以說幾乎沒有什么運(yùn)算了,令人嘆為觀止!

    變式1(2013年上海春季高考理科第28題)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1-1,0、F21,0,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1,B2.

    (1)若△F1B1B2為等邊三角形,求橢圓C的方程;

    (2)若橢圓C的短軸長為2,過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且F1P⊥F1Q,求直線l的方程.

    (答案:(1)3x24+3y2=1;(2)直線l的方程為x+7y-1=0或x-7y-1=0)

    我們現(xiàn)在再來看更為復(fù)雜的例2,若用傳統(tǒng)解法解決,幾乎不能算出來,而雙根法則顯示出巨大的威力.圖2

    例2(2014年高考遼寧理科數(shù)學(xué)第20題)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖2).雙曲線C1:x2a2-y2b2=1過點(diǎn)P且離心率為3.

    (1)求C1的方程;

    (2)橢圓C2過點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn),直線l過C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A,B兩點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P,求l的方程.

    解析(1)可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,2,C1的方程為x2-y22=1;(略)

    (2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為-3,0,3,0,由此設(shè)C2的方程為x23+b21+y2b21=1,其中b1>0.由點(diǎn)P2,2在C2上,得23+b21+2b21=1,解得b21=3.因此C2的方程為x26+y23=1.

    顯然l的斜率不為0,故可設(shè)l的方程為x=my+3.點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,

    由x=my+3,

    x26+y23=1,得m2+2y2+23my-3=0,因?yàn)閥1,y2是方程的兩根,

    故有m2+2y2+23my-3=m2+2y-y1y-y2,①

    因?yàn)锳P=2-x1,2-y1,BP=2-x2,2-y2,

    所以AP·BP=2-x12-x2+2-y12-y2

    =2-my1-32-my2-3+2-y12-y2

    =m22-3m-y12-3m-y2+2-y12-y2=0,②

    ①式中令y=2得2m2+2+26m-3=m2+22-y12-y2,

    所以2-y12-y2=2m2+26m+1m2+2,③

    ①式中再令y=2-3m,

    得m2+22-3m2+23m×2-3m-3=m2+22-3m-y12-3m-y2,

    所以m22-3m-y12-3m-y2=-4m2+10-46m2+2.④

    ③、④代入②易得2m2-26m+46-11=0,故可解得m=362±1,

    因此直線l的方程為x-362-1y-3=0或x-362+1y-3=0.

    點(diǎn)評本題方法使用了巧設(shè)直線方程的技巧,有效地降低了運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上運(yùn)用雙根法,更是達(dá)到了優(yōu)化運(yùn)算的效果,可以說是雙劍合璧!

    變式2(2015年高考福建理科數(shù)學(xué)第18題)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)0,2,且離心率為22.

    (1)求橢圓E的方程;圖3

    (2)如圖3,設(shè)直線x=my-1m∈R交橢圓E于A,B兩點(diǎn),判斷點(diǎn)G-94,0與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

    (答案:(1)x24+y22=1;(2)點(diǎn)G-94,0在以線段AB為直徑的圓的圓外)

    通過上面幾道高考題的分析,我們發(fā)現(xiàn),雙根法在解決解析幾何中涉及MA·MB=λ(其中λ為常數(shù),M為定點(diǎn),A,B為直線與圓錐曲線的交點(diǎn))的問題時(shí)具有巨大的威力,能使問題得到有效的解決.使得繁瑣的運(yùn)算變成簡單可行的任務(wù),能極大地提高解題效率!作者簡介藍(lán)云波,男,1981年10月生.中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師.致力于高中數(shù)學(xué)教學(xué)和初等數(shù)學(xué)研究工作 .發(fā)表文章20余篇.

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