數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度的“病理檔案”

尹平

在學習數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度的過程中，同學們經(jīng)常會犯一些錯誤，現(xiàn)將相關(guān)典型錯題整理如下，希望同學們能認真用好這些資源.

一、 “算”錯平均數(shù)，錯把算術(shù)平均數(shù)當加權(quán)平均數(shù)

例1 以下是某校九年級10名同學參加學校演講比賽的成績統(tǒng)計表：

則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（ ）.

A. 90 B. 89 C. 88 D. 87.5

【錯誤解答】==87.5，故選D.

【錯因診斷】平均數(shù)作為“一般水平”的代表，反映的是一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的平均大小.一般地，若n個不同的數(shù)x1，x2，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，…，wn，則=，叫作這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).本題并不是只有80，85，90，95這四個數(shù)據(jù)，而是由1個80、2個85、5個90和2個95組成的10個數(shù)據(jù)，將1、2、5、2分別作為80、85、90、95的權(quán)，利用加權(quán)平均數(shù)的計算方法進行計算.

【正確解答】==89，所以選B.

二、 “排”錯中位數(shù)，錯把無序當有序

例2 一組數(shù)據(jù)如下：3，6，7，2，3，4，3，

6，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）.

A. 2.5 B. 3.5 C. 2或3 D. 3或4

【錯誤解答】因為共有8個數(shù)據(jù)，最中間兩個2和3的平均數(shù)為2.5，故選A.

【錯因診斷】中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序依次排列（即使相等的數(shù)也應全部參加排序）后“排”出來的.當數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時，中位數(shù)就是最中間的那個數(shù)；當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時，中間是空的，所以要將“最中間”的兩個數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù).所以無論一組數(shù)據(jù)有多少個數(shù)，它的中位數(shù)只有一個.

【正確解答】將原數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，3，3，4，6，6，7，共8個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是=3.5，故選擇B.

三、 “數(shù)”錯眾數(shù)

（一） 錯把某數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)當作眾數(shù)

例3 （2014·湖北武漢）在一次中學生田徑運動會上，參加跳高的15名運動員的成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

那么這些運動員跳高成績的眾數(shù)是（ ）.

A. 4 B. 1.75 C. 1.70 D. 1.65

【錯誤解答】1.65一共出現(xiàn)了4次，所以眾數(shù)為4，故選A.

【錯因診斷】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個.對于眾數(shù)來說，在理解上要明確出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)的次數(shù)，也不是這組數(shù)據(jù)中最大的那個數(shù)據(jù).本題研究對象是運動員的成績，所以眾數(shù)應圍繞運動員的成績.

【正確解答】這15個數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是1.65，一共出現(xiàn)了4次，所以眾數(shù)是1.65，故選擇答案D .

（二） 錯以為眾數(shù)是唯一的

例4 在一次數(shù)學競賽中，10名學生的成績（單位：分）如下：75，80，70，80，85，70，

95，60，70，80，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_______.

【錯誤解答】80.

【錯因診斷】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).作為一組數(shù)據(jù)的代表，眾數(shù)是“數(shù)”出來的，所以有時候一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有可能不止一個.

【正確解答】本題數(shù)據(jù)中的80和70都出現(xiàn)3次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80和70.

四、 求極差時漏解

例5 （2014·江蘇揚州）若一組數(shù)據(jù)-1，

0，2，4，x的極差為7，則x的值是（ ）.

A. -3 B. 6 C. 7 D. 6或-3

【錯誤解答】A.

【錯因診斷】極差是一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差.在這組數(shù)據(jù)中，x可能是最大數(shù)，也可能是最小數(shù)，因此x的值就有兩種可能，需要分類討論.

【正確解答】分兩種情況討論：（1） 若x是最大數(shù)，最小數(shù)為-1，則x=-1+7=6；（2） 若x是最小數(shù)，最大數(shù)為4，則x=4-7=-3.因此x的值為6或-3，故選擇D.

五、 忘了方差定義

例6 一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都除以4，所得新數(shù)據(jù)的方差是_______.

【錯誤解答】s2.

【錯因診斷】方差是反映一組數(shù)據(jù)波動情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其大小與數(shù)據(jù)本身的大小無關(guān)，可能一組數(shù)據(jù)比較小，但方差比較大，也有可能一組數(shù)據(jù)比較大，但方差較小.本題原有每個數(shù)據(jù)都除以4，忽視方差公式的構(gòu)成，直接就錯認為方差也除以4.

【正確解答】設原有一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，平均數(shù)是，方差是s2，那么一組新數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是x1+

x2+…+xn=（x1+x2+…+xn）=，方差是x1- 2+x2- 2+ …

+xn-2=2[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=s2.

相信通過以上錯誤解答、錯因診斷，同學們會汲取教訓，構(gòu)建好防護墻，增強解題的“免疫力”，從而鞏固“三數(shù)兩差”這一章的相關(guān)知識點，確保不失分！

小試身手

1. 一組數(shù)據(jù)-2，0，-3，-2，-3，1，x的眾數(shù)是-3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）.

A. -3 B. -2 C. 1 D. 0

2. 一組數(shù)據(jù)：1，2，1，0，2，a，若它們的眾數(shù)為1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_______.

3. 某中學隨機調(diào)查了15名學生，了解他們一周在校參加體育鍛煉的時間，列表如下：

則這15名同學一周在校參加體育鍛煉的時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）.

A. 6，7 B. 7，7

C. 7，6 D. 6，6

4. 已知A樣本的數(shù)據(jù)如下：72，73，76，

76，77，78，78，78，B樣本的數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2，則A、B兩個樣本的下列統(tǒng)計量對應相同的是（ ）.

A. 平均數(shù) B. 標準差

C. 中位數(shù) D. 眾數(shù)

5. 某人在5次打靶測試中命中的環(huán)數(shù)如下：

5，9，7，10，9.

（1） 計算此人打靶成績的方差_______.

（2） 如果他再射擊1次，命中8環(huán)，那么他射擊成績的方差_______.（填“變大”、“變小”或“不變”）

答案：

1. B 2. 3. D 4. B 5. 3.2 變小

（作者單位：江蘇省海門市正余初級中學）