明概念 思解法

趙志勝

一元二次方程是對一元一次方程的拓展延伸，在學(xué)習(xí)時(shí)要善于挖掘二者之間的概念聯(lián)系和區(qū)別，在探究解法時(shí)要思考能否轉(zhuǎn)化即進(jìn)行降次.類比一元一次方程學(xué)習(xí)一元二次方程在本章中有一定的體現(xiàn).

一.一元二次方程的概念

方程中只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的整式方程是一元二次方程方程。它的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0 ），

期中ax2、bx、c分別叫二次項(xiàng)、一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)，a、b分別叫二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).

注：（1）類比一元一次方程根據(jù)定義可看出一元二次方程須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①必須是整式方程即分母中不能含有未知數(shù)，這是前提 ②只含一個(gè)未知數(shù)即一元

③未知數(shù)的最高次數(shù)為二次.

（2）a≠0是一個(gè)重要條件，也是本章學(xué)習(xí)中特別容易忽視的的地方；因?yàn)槿鬭=0那么二次項(xiàng)就不存在了，方程也自然就談不上是一元二次方程了，學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意。

例1：已知關(guān)于x的一元二次方程：

是一元二次方程，求a的值.

【分析】根據(jù)定義只需要保證x的最高次數(shù)等于2，并且二次項(xiàng)前面的系數(shù)不為0即可.

【解答】由題意得：

解之得 所以a=9

【點(diǎn)評】這種類型的題目主要考查對定義的理解，在注意未知數(shù)最高次數(shù)為2的

同時(shí)，特別不能忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

二.一元二次方程的解法

總體思路是“降次”，即將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程再去解，那么轉(zhuǎn)化的方法有哪些呢？如何選擇合適的方法呢？下面我們就來看看.

1.直接開平方法

形如（x+m）2=n（n≥0）的一元二次方程，基本上都采用直接開平方法求解.

例2：解方程：2（x-1）2—8=0

【分析】此題并不是直接開平方的一般形式，故第一步需要轉(zhuǎn)化，然后再求解.

【解答】移項(xiàng)得：2（x-1）2=8

系數(shù)化為1得：（x-1）2=4

解之得： =3 ， =-1

【點(diǎn)評】（1）直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義；（2）它適用的方程形式主要是x2=a（a≥0）或ax2=b（ab≥0，a≠0）或

a（x+h）2=k（ak≥0，a≠0）

2﹑配方法

解題步驟：（1）二次項(xiàng)系數(shù)：化為1； （2）移項(xiàng)：把方程x2+bx+c=0的常數(shù)項(xiàng)c移到方程另一側(cè)，得方程X2+bx=-c； （3）配方：方程兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程左邊成為完全平方式； （4）開方：方程兩邊同時(shí)開平方，目的是為了降次，得到一元一次方程； （5）得解：解一元一次方程，得出原方程的解.

例2：用配方法解方程：2x2-8x-9=0

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不為1，依據(jù)步驟先將兩邊除以2，再按照配方的一般步驟求解.

【解答】二次項(xiàng)系數(shù)化為1得

x2-4x- =0；

移項(xiàng)得：x2-4x= ；

配方得：x2-4x+22= +4；

（x-2）2= ，

x-2= 或x-2=- ；

解得：x1=2+ ，x2=2-

【點(diǎn)評】特別注意的是：（1）配方法首先要將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（2）配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

3﹑公式法

關(guān)于x的一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）當(dāng) 時(shí)，方程的根是 ，這個(gè)公式就叫一元二次方程的求根公式。其中b2-4ac就叫根的判別式.

例3：用公式法解方程：2x2+5x=3

【分析】此方程不是一元二次方程的一般形式，所以要先移項(xiàng)化為一般式，從而確定a、b、c和b2-4ac的值，再代入公式求解.

【解答】移項(xiàng)得：2x2+5x-3=0

因?yàn)閍=2，b=5，c=-3

所以b2-4ac=52-4×2×（-3）=49>0，

所以

=

=

所以 = ， =-3

【點(diǎn)評】（1）一元二次方程的解是由系數(shù)a、b、c決定的，所以要正確確定系數(shù)；（2）求根公式是在b2-4ac≥0時(shí)方程有解，如果b2-4ac<0時(shí)，則方程無實(shí)數(shù)解.

4、因式分解法

因式分解解一元二次方程的步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程兩邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；（3）令每個(gè)因式為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)方程進(jìn)而求出一元二次方程的解.

例4：用因式分解法解方程：x（x-2）=x-2

【分析】先移項(xiàng)將右邊化為0，然后把（x-2）作為公因式提取出來，這樣得到兩個(gè)一次因式的乘積為0了.

【解答】解：移項(xiàng)得：x（x-2）-（x-2）=0

提公因式的：（x-2）（x-1）=0

所以： x-2=0 或 x-1=0

解得： x1=2 x2=1

【點(diǎn)評】解這類方程的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確提取公因式，切不可兩邊同除以公因式.

例5：用因式分解法解方程：

4（x-3）2 =25（x-2）2

【分析】先移項(xiàng)將方程右邊化為0，再用平方差公式即可達(dá)到因式分解的目的。

【解答】移項(xiàng)得：

4（x-3）2 -25（x-2）2=0

所以：﹝2（x-3））2–﹝5（x-2））2=0

變形得：﹝2（x-3）+ 5（x-2）﹞﹝2（x-3）- 5（x-2）﹞=0

整理得：（7x-16）（-3x+4）=0

解之得：x1= x2=

【點(diǎn)評】（1）因式分解的理論依據(jù)

是：ab=0，則a=0或b=0；（2）能否用

公式關(guān)鍵是熟記公式的同時(shí)并觀察是

否符合公式的特點(diǎn)。