金建琴
摘 要: 隨著數(shù)學(xué)課程標準指出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力,幾何直觀便成為數(shù)學(xué)教育的一個重要問題。本文通過在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用幾何直觀的實踐與探索,闡述運用幾何直觀對理解數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探究計算方法和分析數(shù)量關(guān)系四方面的作用,提出運用幾何直觀教學(xué)是新教材的要求,也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。
關(guān)鍵詞: 幾何直觀 小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)與代數(shù) 教學(xué)運用
幾何直觀是數(shù)學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法之一?!墩n程標準(2011版)》指出:幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在許多情況下,借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用,而且貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。就如何在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用幾何直觀這一問題,筆者進行了實踐與探索。
一、運用幾何直觀,形成數(shù)學(xué)概念
德國哲學(xué)家康德認為:“缺乏概念的直觀是空虛的,缺乏直觀的概念是盲目的?!毙W(xué)生形象思維占主導(dǎo)地位,對知識的理解應(yīng)該建立在豐富典型的直觀表象基礎(chǔ)上。因此,把教材中靜止的、較難理解的概念,運用幾何直觀生動形象地呈現(xiàn)出來,使抽象的概念變成看得見的數(shù)學(xué)知識,有助于學(xué)生更直觀地理解所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
如教學(xué)四年級《速度、時間和路程》這節(jié)課,速度概念的理解是本節(jié)課的教學(xué)重點,也是解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)。速度這個詞在生活中經(jīng)常出現(xiàn),學(xué)生一般也能知道通常說的快慢指的就是速度。但它不同于路程和時間,因為路程這個量是學(xué)生能夠直觀看到,非常明確,時間也是學(xué)生常見的,而速度概念比較抽象,是指單位時間內(nèi)運動的路程,其單位是由長度單位和時間單位兩部分復(fù)合組成,這種表示形式學(xué)生比較陌生,理解起來有一定的困難。所以,在教學(xué)中我充分運用直觀圖。首先情境導(dǎo)入,學(xué)校到書店有300米,小明要走4分鐘,小紅要走6分鐘,誰走得快些?學(xué)生通過計算,發(fā)現(xiàn)小明每分鐘走75米,小紅每分鐘走50米,小明快些。這時候?qū)W生是通過數(shù)據(jù)的比較解決問題的,對這個數(shù)據(jù)表示的就是速度,概念的理解還非常模糊。這時候,老師出示兩段同樣長的線段,表示300米,分別平均分成4份和6份。指出一段就是“每分走多少米”,也就是他們各自的速度,通過每份長短的比較,明白小明的速度比小紅要快一些。通過幾何直觀把速度這個概念具體形象化,幫助學(xué)生突破概念理解上的難點,真正把握概念的實質(zhì)和內(nèi)涵。
又如《百分數(shù)的意義》的教學(xué),這節(jié)課的重點是讓學(xué)生理解百分數(shù)的含義,明確是兩個量之間的比較關(guān)系。教學(xué)時可以通過直觀圖深化理解這一概念。首先出示信息:鹽占鹽水的30%,讓學(xué)生在百格圖中表示出這個百分數(shù),并說一說鹽和鹽水各指哪一部分。在涂畫百格圖和兩個量的比較中,幫助學(xué)生建立起對抽象的20%與相應(yīng)的直觀圖的認知聯(lián)系,形成相應(yīng)的認知圖式,這是對任何一個百分數(shù)的理解最基本的形象支撐。隨后老師要求學(xué)生在10等份的線段圖上表示出這個30%。追問:為什么平均分成10份,也可以表示出30%?學(xué)生經(jīng)過思考,得出把10份中的每一份想象成再平均分成10小份,這樣整條線段就平均分成100份,而其中的3大份就是30小份,所以同樣可以表示20%。這樣,在兩幅圖的比較中幫助學(xué)生逐步脫離具體的100份,加深了對百分數(shù)意義的理解。在教學(xué)中,運用幾何直觀既能加深學(xué)生對知識的理解,又能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和用圖形語言思考問題的能力。
二、運用幾何直觀,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律
幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維,對于數(shù)學(xué)中的很多問題,靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題,使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)А?/p>
如教學(xué)《積的變化規(guī)律》這節(jié)課,它是在學(xué)生掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的,主要引導(dǎo)學(xué)生探索當一個因數(shù)不變時,另一個因數(shù)與積的變化情況,從而歸納積的變化規(guī)律。因此,一般老師在教學(xué)時都是先出示幾組算式,通過計算,觀察因數(shù)和積的特點,初步概括出規(guī)律,然后讓學(xué)生通過舉例進行驗證,最后運用規(guī)律解決問題。當然,這樣的教學(xué)對凸現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)自主性有一定的作用,但是如果在這節(jié)課中與平面圖形面積研究相結(jié)合,讓學(xué)生借助圖形的面積變化理解積的變化規(guī)律,則不僅更容易掌握知識,而且對學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)有很大的作用。教學(xué)中,教師先出示一個長方形,已知它們的長和寬分別為80、60,學(xué)生計算出面積為80×60=480。然后長方形的長不變,將寬縮短,讓學(xué)生估計變化后長方形的面積大約是多少,并說說估計的方法。學(xué)生紛紛表示長方形長不變,寬縮小,所以面積也縮小,估計都縮小了3倍。然后驗證學(xué)生估計是否正確。在這個環(huán)節(jié)的設(shè)計中,學(xué)生借助圖形的變化意識到,當長方形的長不變,面積隨著寬的縮小而縮小。接著長方形長還是不變,將長方形的寬擴大,讓學(xué)生說說這時候長方形的面積變化。當學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律后,老師讓學(xué)生觀察算式進行小結(jié):兩個數(shù)相乘,這兩個數(shù)叫因數(shù),其結(jié)果叫積。那么你能根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,說說算式中因數(shù)和積的變化情況嗎?于是,積的變化規(guī)律就水到渠成地總結(jié)出來。借助長方形面積與長和寬的關(guān)系,理解積的變化規(guī)律,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀的意識,并且在估計中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。
和代數(shù)相比,幾何給人以生動、直觀的形象。因此,正比例意義的學(xué)習(xí),可以借助正比例關(guān)系圖像的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體會正比例圖像的特點和作用,加深對正比例意義的認識。教學(xué)時,通過數(shù)據(jù)表在坐標系里描點,連成一條直線,然后通過觀察圖像,使學(xué)生了解從這個圖像可以直觀看到兩個量的變化情況,一個量增加,另一個量隨之增大。而且明白利用正比例關(guān)系圖像,不用計算,可以由一個量的值,直接找到對應(yīng)的另一個量的值,體會正比例圖像直觀形象的優(yōu)勢。借助幾何直觀,揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系,使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式,使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程,形成良好的思維品質(zhì)。
三、運用幾何直觀,探究計算方法
計算課的教學(xué)重點是讓學(xué)生探究計算方法的過程,理解算理。運用幾何直觀理解算理更有效。如在教學(xué)《分數(shù)乘分數(shù)》一課時,可以讓學(xué)生通過畫圖,將圖與式對應(yīng)起來,深刻地理解算理。先出示例題:“粉刷工人粉刷完一塊墻需要5小時,每小時粉刷這塊墻的幾分之幾呢?”指導(dǎo)學(xué)生畫一個長方形當做墻,學(xué)生很容易就表示出每小時粉刷的是這塊墻的(如圖1):
四、運用幾何直觀,分析數(shù)量關(guān)系
徐利治先生提出,幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。利用幾何圖形的直觀對問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進行表述,幫助學(xué)生分析問題和解決問題,這是一種非常重要的策略。
如教學(xué)《用連除解決問題》時,通過情境圖(如圖3)引導(dǎo)學(xué)生在收集和整理信息的過程中發(fā)現(xiàn)要解決“每個小圈有多少人”這個問題還需解決一個中間問題,從而學(xué)會用連除解決問題,同時建立起解決這類問題的數(shù)量關(guān)系的模型,并能解釋應(yīng)用,為后續(xù)學(xué)習(xí)解決此類問題打下基礎(chǔ)。因為前一節(jié)課是學(xué)習(xí)用連乘解決問題,學(xué)生已經(jīng)有了從不同角度尋找解決問題的策略經(jīng)驗,所以這節(jié)課在學(xué)生理解題意后,筆者大膽放手讓學(xué)生直接嘗試用不同的方法解決問題。當學(xué)生列出三種不同的算式時,提示他們可以嘗試用圖解釋這三種算式所表示的意義,再引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖比較三種算法之間的聯(lián)系與區(qū)別。隨后,筆者又出示類似的題目:有400本書要放在2個書架上,每個書架有5層,每層可以放幾本書?要求學(xué)生列出算式后用圖表示出來,結(jié)果他們發(fā)現(xiàn)畫出的直觀圖與前一題畫出的圖是相同的,明白雖然這兩道題目的情境不同,總量不同,但題目中蘊含的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的。最后,筆者又問:像這樣的圖還可以解決怎樣的問題?借助幾何直觀把復(fù)雜問題用畫圖的形式表達出來,是“去情境化”的過程,是一個數(shù)學(xué)建模的過程,它把情境中的數(shù)量關(guān)系進行提煉,并且直觀表達,然后運用這個數(shù)學(xué)模型解決類似的問題。這樣教學(xué),形象思維由圖形帶來的直覺,增進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解,增強其創(chuàng)造能力。
在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用幾何直觀,將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形語言有機地結(jié)合起來,使抽象思維與形象思維結(jié)合起來,實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。這樣教學(xué),有助于加深學(xué)生對知識的理解,進而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。因此,運用幾何直觀教學(xué)是新教材的要求,是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。
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