數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用

王鑫

摘 要： 隨著新課改的推進(jìn)，數(shù)學(xué)思想方法方面的教學(xué)得到教師的重視。數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)的精髓，可以讓人通過(guò)它領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并且從數(shù)學(xué)的角度思考和解決問(wèn)題。而數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)知識(shí)和解題方式上，都有進(jìn)一步深化。數(shù)形結(jié)合貫穿了初中數(shù)學(xué)的兩條主線，即“數(shù)”和“形”。倘若教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿數(shù)形結(jié)合的方法，引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思考直覺(jué)，則有助于學(xué)生培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維和解題思路。本文從數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合教學(xué)的啟示三方面進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想

“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)思想方法的一種，可以使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)的本質(zhì)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行思考和問(wèn)題解決。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、歸類等，而數(shù)形結(jié)合貫穿初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”兩條主線。華羅庚曾經(jīng)就數(shù)形結(jié)合說(shuō)過(guò)這樣一句話：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。”可以得出，數(shù)形結(jié)合離不開(kāi)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換。運(yùn)用“數(shù)”的方法解決“形”的問(wèn)題，可以使問(wèn)題更直白，幫助缺乏空間想象能力的學(xué)生建立更直接的對(duì)問(wèn)題的理解，找到更直白的解決辦法。運(yùn)用“形”的方法解決“數(shù)”的問(wèn)題，可以將數(shù)量關(guān)系中較難用文字和數(shù)字理解到的關(guān)系轉(zhuǎn)換得更直觀，使學(xué)生更容易理解“數(shù)”中蘊(yùn)含的關(guān)系。

一、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略

隨著新課改的要求，運(yùn)用方法解決問(wèn)題越來(lái)越受到教育工作者的重視。為滿足這一需求，教師要挖掘教材中隱藏的思想方法，在平時(shí)教學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)。在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中可以采用多種形式以調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，更好地建立學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的印象?？梢圆捎枚嗝襟w手段展示數(shù)形結(jié)合、在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合、在反思過(guò)程中提煉數(shù)形結(jié)合。運(yùn)用多媒體手段來(lái)展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，可以通過(guò)動(dòng)態(tài)的變化驗(yàn)證問(wèn)題解決的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)感。

例如，教師在進(jìn)行“走進(jìn)圖形世界”這一章節(jié)的教學(xué)時(shí)，可以運(yùn)用多媒體展示幾何圖形的展開(kāi)圖、正視圖、俯視圖和側(cè)視圖，等等。如圖1所示，可以直觀地演示六棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖。這樣直觀地進(jìn)行六棱柱的展開(kāi)和折疊的過(guò)程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間能力。類似的，我們也可以利用多媒體，進(jìn)行一系列立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖?？梢宰寣W(xué)生觀察得出立體圖形由哪些平面圖形組合得到，這一過(guò)程如圖2所示?？傮w來(lái)說(shuō)，多媒體的數(shù)形展示，使數(shù)學(xué)知識(shí)的展示方式得到新的優(yōu)化，讓數(shù)與形相結(jié)合。

圖1

圖2

二、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的應(yīng)用

在恩格斯的定義里，數(shù)學(xué)是一門(mén)研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。換句話說(shuō)，也就是一門(mén)研究“數(shù)”與“形”的科學(xué)。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決里的應(yīng)用主要表現(xiàn)為“以數(shù)解形”和“以形解數(shù)”兩種形式?！耙詳?shù)解形”，即利用“數(shù)”的精準(zhǔn)表現(xiàn)表達(dá)“形”中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)關(guān)系。我們?cè)凇耙詳?shù)解形”中可以借助代數(shù)法、參數(shù)法、解析法等解決幾何問(wèn)題。例如，在進(jìn)行幾何問(wèn)題解決時(shí)，有這樣一道題。如圖3所示，⊙O內(nèi)切于△ABC，已知AB=9，AC=11，BC=13，試求過(guò)△ABC的各個(gè)頂點(diǎn)的切線長(zhǎng)。

對(duì)此題進(jìn)行分析，觀察到過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的切線是AD、AE、BD、BF、CE、CF，并且AD=AE，BD=BF，CE=CF。題目中給出的已知條件知道AB、AC和BC的長(zhǎng)度，那么我們可以用方程組的思想，將其轉(zhuǎn)化成三條邊都是兩條線段的和，用方程組進(jìn)行求解。即：設(shè)AD=x，，BD=y，CF=z。已知⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分為為D、E、F，可得：

x+y=9x+z=11y+z=13

可以解得：x=5，y=4，z=9。

類似的，“以形解數(shù)”即利用“形”的直白解決較抽象的“數(shù)”的問(wèn)題。我們可以利用圖形的直白解決函數(shù)問(wèn)題、方程和不等式問(wèn)題、統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題，等等。例如，在教師進(jìn)行“一次函數(shù)”的教學(xué)活動(dòng)中，可以利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積問(wèn)題。如題目：已知，直線y=kx+b（k不為0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），并與y軸相交于點(diǎn)B，直線AB與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是2，試求直線的解析式。分析這個(gè)題目，可以作一次函數(shù)的圖像進(jìn)行輔助解題，如圖4所示。題目中已知函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積，即圖中的三角形AOB的面積。此處應(yīng)注意，因?yàn)轭}中沒(méi)有給出直線與y軸交于正半軸還是負(fù)半軸，所以兩種情況都應(yīng)該考慮。依據(jù)三角形AOB的面積是2，可以得出S■=0.5·2·|b|=2，可解得b=±2。

三、數(shù)形結(jié)合教學(xué)的啟示

數(shù)形結(jié)合這種數(shù)學(xué)的思想方法，在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)教學(xué)中被深入滲透。數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)知識(shí)，然后把空間和數(shù)量結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用數(shù)與形的互補(bǔ)解決各樣的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)教中的教學(xué)研究，得到以下啟示：首先，數(shù)學(xué)是美的，在教學(xué)中可以盡量向?qū)W生展示數(shù)學(xué)富有魅力的一面，從而使學(xué)生從情感的方向感受到數(shù)學(xué)在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式解題時(shí)富有數(shù)與形的統(tǒng)一美和運(yùn)用方法解題的簡(jiǎn)潔美，而不只是對(duì)于初中生而言較抽象的數(shù)字推理過(guò)程。其次，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式教學(xué)時(shí)，可以將數(shù)形結(jié)合上升為一種思想，在教學(xué)中反復(fù)地灌輸，讓學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的思維直覺(jué)。最后，要將數(shù)形結(jié)合建立在心理學(xué)的基礎(chǔ)上。通過(guò)對(duì)問(wèn)題解決的研究，得出在利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決問(wèn)題的過(guò)程中人的思維方式。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合的思想方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決為基礎(chǔ)的，而初中學(xué)生要對(duì)它有一段較客觀的認(rèn)識(shí)和較直接的思考反應(yīng)還需要一個(gè)比較長(zhǎng)的時(shí)間。除了對(duì)初中數(shù)學(xué)課本的學(xué)習(xí)，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和指導(dǎo)。當(dāng)然，也和學(xué)生自身的理解和吸收是分不開(kāi)的。數(shù)學(xué)的思想方法對(duì)于學(xué)生的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)知識(shí)的積累。這就需要教育工作者在教學(xué)活動(dòng)中參加強(qiáng)調(diào)和引導(dǎo)，從而使學(xué)生有基本的對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，有利于其之后的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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