淺論含有指數(shù)或?qū)?shù)的方程的根的判斷

李湘 張永亮

摘 要： 方程是初等代數(shù)中最基本的內(nèi)容之一，它研究事物間的等量關(guān)系，并為人們由已知量推求未知量提供方法，在數(shù)學(xué)各個(gè)分支甚至其他學(xué)科中都有著重要作用.本文主要采用初等代數(shù)、數(shù)形結(jié)合的方法，研究一些含有指數(shù)或?qū)?shù)的方程，并對(duì)方程的根的情況進(jìn)行簡單的研究.

關(guān)鍵詞： 方程的根 換元 數(shù)形結(jié)合

方程是初等代數(shù)中最基本的內(nèi)容之一，它研究事物間的等量關(guān)系，并為人們由已知量推求未知量提供方法，在數(shù)學(xué)各個(gè)分支甚至其他學(xué)科中都有著重要作用.方程的中心問題是求解問題.但是對(duì)于方程的求解，人們只知道其中很少的一部分.甚至對(duì)于人們公認(rèn)最簡單的代數(shù)方程，僅僅解決了五次以下的一般求法，而對(duì)于五次以上的代數(shù)方程，由年輕的數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅瓦，在前人不努力的基礎(chǔ)上，通過群論，證明了不存在一般的解.既然沒有一般的解，可不可以探求特殊方程的解，甚至只需求出近似解，或只需要判斷解的存在性，以及根的大致范圍.在此，我們看看，簡單的含有指數(shù)或?qū)?shù)的方程的根的存在性，以及根的范圍.

1.化為簡單的代數(shù)方程來求解

有些方程雖然是超越方程（含有指數(shù)或?qū)?shù)），但是可以通過換元變?yōu)榇鷶?shù)方程，再利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

1.1簡單類型的指數(shù)方程

方程f（a■）=0與方程組t=a■f（t）=0同解，也就是通過換元思想，化指數(shù)方程為代數(shù)方程.

例1：解方程7■=343.

解：x■-5x+9=log■343=3，

于是有x■-5x+9=3，

解得x■=2，x■=3即為原方程的解.

例2：解方程4■-3■=3■-2■.

解：原方程可化為2■-■3■=■·3■-0.5·2■，

即■2■=■3■，2■=3■，得（2x-3）lg2=（x-0.5）lg3，

移項(xiàng)，提取公因式得（2x-3）（lg2-0.5·lg3）=0，而lg2≠0.5·lg3，

故x=1.5為原方程的解.

1.2簡單類型的對(duì)數(shù)方程

方程f（log■g（x））=0（a>0，a≠1）與方程組t=log■g（x）f（t）=0同解，可以通過換元思想，把對(duì)數(shù)方程化為簡單方程.

例3：解方程log■（5+4log■（x-1））=2.

解：令t=5+4log■（x-1），

得log■t=2，根據(jù)對(duì)數(shù)定義得t=9，

即5+4log■（x-1）=9，log■（x-1）=1，x-1=3，

得到原方程的解為x=4.

例4：解方程（x+1）■=100（x+1）.

解：方程的定義域是{x|x>-1}，

對(duì)兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lg（x+1）■=lg[100（x+1）]，lg■（1+x）=2+lg（x+1）.

令lg（x+1）=t，則上式可以化為t■-t-2=0，

解得t■=-1，t■=2.

當(dāng)lg（x+1）=-1時(shí)，得x+1=0.1，所以x■=-0.9；

當(dāng)lg（x+1）=2時(shí)，得x+1=100，所以x■=99.

經(jīng)檢驗(yàn)，x■，x■都是原方程的根.

注：解對(duì)數(shù)方程時(shí)，不僅用到同解變形，而且要用到非同解變形，所以在求出根后，一般要進(jìn)行檢驗(yàn).

2.數(shù)形結(jié)合求方程的解

數(shù)形結(jié)合主要是把方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想將抽象的問題直觀化和具體化.

例5：試對(duì)實(shí)數(shù)m的取值情況，討論關(guān)于x的方程|2■-1|=m的根的個(gè)數(shù).

圖1

分析：如果去掉絕對(duì)值，直接從方程的角度很難入手，而如果利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則可使問題變得簡單.

解：令f■（x）=|2■-1|，f■（x）=m，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出其圖像，由圖1可知，

當(dāng)m≥1或m=0時(shí)，兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，原方程有唯一的解；

當(dāng)0

當(dāng)m<0時(shí)，兩圖像無交點(diǎn)，方程無實(shí)數(shù)解.

注：在討論有關(guān)方程的根的個(gè)數(shù)時(shí)，通常把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題，而在建立函數(shù)時(shí)，一般情況下，一個(gè)含有參數(shù)，另一個(gè)不含參數(shù)，含參數(shù)的函數(shù)通常是比較簡單的一個(gè)，比如本題就是設(shè)常數(shù)函數(shù)含有參變量.當(dāng)然，其他設(shè)法也是可以的，可以通過比較看難易程度，進(jìn)而觀察函數(shù)在隨著參數(shù)變化而運(yùn)動(dòng)的過程中交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例6：方程log■（x+4）=2■的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為多少個(gè)？

分析：要判斷兩個(gè)方程的根，只需要判斷兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

圖2

解：分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出y=log■（x+4）與y=2■的圖像.如圖2所示，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

注：以上兩個(gè)例題中，兩個(gè)函數(shù)的圖像的相交情況是比較簡單的，只需要作出草圖即可作出判斷.而如果兩個(gè)圖像的相交情況比較復(fù)雜時(shí)，僅僅通過草圖不容易得到交點(diǎn)的，我們還需要用其他方法找交點(diǎn).

本文只是從比較常見的幾種方程類型出發(fā)，判斷其根的存在性與解法.然而我們所見到的方程遠(yuǎn)不止這些，與代數(shù)方程結(jié)合起來的非代數(shù)方程數(shù)不勝數(shù)，這要求我們對(duì)代數(shù)方程的解法了然于心.所以，在求含有指數(shù)和對(duì)數(shù)的方程的解時(shí)，我們要有扎實(shí)的因式分解基本功.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，新課標(biāo)提出，可以讓學(xué)生通過幾何畫板作出一些簡單的函數(shù)圖像，甚至包括超越函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，再通過觀察，能夠得到方程的根的個(gè)數(shù)及近似解.

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