高中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”問(wèn)題再探究

嚴(yán)莉

摘 要： 高中數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的思想.“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，一個(gè)用抽象的數(shù)字描述問(wèn)題，一個(gè)用直觀的圖形呈現(xiàn)問(wèn)題，既分析其代數(shù)含義又分析其幾何含義.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)換 對(duì)應(yīng) 思維

高中數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的解題方法和思維方式.“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，一個(gè)用抽象的數(shù)字描述問(wèn)題，一個(gè)用直觀的圖形呈現(xiàn)問(wèn)題.熟練地應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”方法，可以做到把“數(shù)”變成“形”，把“形”變成“數(shù)”，根據(jù)自己的需求相互結(jié)合應(yīng)運(yùn).但是，我們?cè)撊绾斡谩皵?shù)形結(jié)合”解決問(wèn)題呢？我認(rèn)為應(yīng)該注意以下三點(diǎn).

一、切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形特征之間的聯(lián)系，以求相輔相成、相互轉(zhuǎn)化.

例1：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（a，b≠0，α-β≠kπ，k∈Z）.求證：cos = .

分析：由條件式的結(jié)構(gòu)，讓人很容易聯(lián)想到直線方程，即點(diǎn)A（cosα，sinα）與B（cosβ，sinβ）是直線ax+by=c上的兩點(diǎn)，另外又由cos a+sin a=1及cos β+sin β=1，可知，A、B兩點(diǎn)在單位圓x +y =1上，即點(diǎn)A、B是直線ax+by=c與單位圓x +y =1的交點(diǎn)條件所具有的幾何意義，使我們聯(lián)想到易于用數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題.

解：在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（cosα，sinα）與B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x +y =1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖1所示，從而有

|AB| =（cosα-cosβ） +（sinα-sinβ） =2-2cos（α-β）

又∵單位圓的圓心到直線的距離d=

由平面幾何知識(shí)可知

|OA| -（ |AB|） =d ，即1- =d =

以證得

cos =

在明確了所給條件的幾何意義之后，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚其結(jié)論的幾何意義，這樣才能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿勺C明.

二、運(yùn)用“形”的直觀解決數(shù)量關(guān)系

靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維靈活性和創(chuàng)造性.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但并不是要將每一道數(shù)學(xué)題都用圖像法呈現(xiàn)出來(lái)去解，或是把每一副數(shù)學(xué)圖像都轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)方程來(lái)解，而是根據(jù)題目的具體情況.

若數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論的表達(dá)式有明顯的幾何意義，或通過(guò)轉(zhuǎn)化可與之建立聯(lián)系時(shí)，就可以探求圖形的關(guān)系著手解答.

例2：已知C<0，試比較C，2 ，（ ） 的大小.

分析：這是比較數(shù)值大小的問(wèn)題，用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一些困難，在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出三個(gè)函數(shù)：y=x、y=2 、y=（ ） 的圖像位于y左側(cè)的部分，如圖2所示，很快就可以從三個(gè)圖像的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論.

函數(shù)圖像及性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算巧妙地結(jié)合，會(huì)給解題帶來(lái)極大的方便.

三、利用數(shù)量關(guān)系揭示幾何圖形的性質(zhì)

由“數(shù)”到“形”，靈活運(yùn)用解析的思想，可以幫助我們更快捷地應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)上的幾何題.

例3：如圖3所示，已知圓C 的半徑為r （n=1，2，…），它們均與大小為2θ（θ為銳角）的定角∠AOB的兩邊OA、OB相切，并且圓C 與C 彼此外切，又r ∠r ，且r =1.試證明：不管在這組圓C 中任意取出多少個(gè)（順序不論），所有取出的圓面積之和必小于半徑r= 的圓面積.

分析：分析結(jié)論可知，應(yīng)從證明 =常數(shù)q（|q|<1）入手，而圓與圓外切，可構(gòu)造直角三角形并利用三角比的關(guān)系得出相鄰兩圓的半徑間關(guān)系.

解：設(shè)圓C 與C 分別與OB相切于B 和B ，作C C⊥C B 于C，則CC =r -r .在Rt△C C C中，sinθ= = ，

得 =

設(shè)圓C 的面積為S ，則 =（ ） 為定值.

∵0

∴數(shù)列﹛S ﹜是首項(xiàng)為S =π×1 =π，其公比為（ ） 的無(wú)窮等比數(shù)列.故所有圓面積的和為S=S +S +…+S +…= = = =π（ ） .

若從圓簇C 中任意取出n個(gè)，則其面積和必小于所有圓面積和S.

本題充分利用圖形的幾何特性，其中重要的一步sinθ= 就是由圓與圓外切的特性得到化“形”為“數(shù)”的.

總的來(lái)講，采用數(shù)形結(jié)合思想解數(shù)學(xué)題，就是對(duì)題目中的條件與結(jié)論，既分析其代數(shù)含義又分析其幾何含義，根據(jù)自己的需要在數(shù)與形之間靈活的轉(zhuǎn)換和應(yīng)運(yùn)，將代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來(lái)解決問(wèn)題的方法.