類比引領(lǐng) 問題驅(qū)動 自主探究

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計;二項式定理;類比;問題;探究

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）30-0043-03

【作者簡介】王偉，南京市第一中學(xué)（南京，210001）教師。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：在必修3課本中，有一道課后習(xí)題，我做了適當(dāng)改編，請同學(xué)們思考。

（問題1）口袋中有形狀大小相同的一只白球和一只黑球，先摸出一只球，記下其顏色后放回，再摸出一只球，記下其顏色后放回……（用a代表白球，b代表黑球），如果有放回的摸兩次，共有多少種結(jié)果？

生1：枚舉法，共4種，分別是aa，ab，ba，bb。

生2：利用乘法原理，2×2=4。

設(shè)計意圖：傳統(tǒng)教法中，《二項式定理》這節(jié)課往往由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開式歸納猜想（a+b）n的展開式。本節(jié)課，我通過把握新知與舊知的最佳結(jié)合點(diǎn)創(chuàng)設(shè)問題情境，從知識間的內(nèi)在聯(lián)系、邏輯發(fā)展入手，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，從而通過知識的遷移形成新的知識，并通過摸球問題的引入為后續(xù)學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其概率分布中二項分布做鋪墊。

二、類比引領(lǐng)，問題驅(qū)動

師：如果有放回的摸三次球，共有多少種結(jié)果？

生1：由乘法計數(shù)原理，共8種。

師：哪8種？

生2：aaa，aab，aba，abb，baa，bab，bba，bbb。

設(shè)計意圖：一個問題有多種解決方案，枚舉法或者計算原理，復(fù)習(xí)舊知，凸顯計算原理的優(yōu)越性。

師：（問題2）在有放回的摸三次球所得的結(jié)果中，如果按照取出白球的個數(shù)進(jìn)行分類，共有幾類？每類有多少種結(jié)果？如何得到？

生1：共4類，分別是3個白球，2個白球1個黑球，1個白球2個黑球，3個黑球。

生2：每一類分別有1，3，3，1種情況，可以由上一問的8種結(jié)果得到。

生3：比如說得到2個白球1個黑球，就相當(dāng)于在三次摸球中有兩次出現(xiàn)了白球，可以由組合知識得到，用組合數(shù)表示為C■■種。

師：類似地，其他幾類如何用組合數(shù)表示？

生4：分別為C■■，C■■，C■■。

師：通過對有放回的三次摸球的研究，你能聯(lián)想到哪個公式？

生：完全立方公式。

師：展開式是什么？

生：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。

設(shè)計意圖：通過追問激發(fā)學(xué)生自主探究的欲望，并引導(dǎo)學(xué)生利用排列組合的知識解決相關(guān)問題。

師：（問題3）（a+b）3的展開式與有放回的摸三次球有何聯(lián)系？請同學(xué)們四人一組討論。

生1：展開式中各項系數(shù)和摸球問題中每類情況的種數(shù)一樣。

生2：展開式中各項系數(shù)和為8，而摸球問題中共有8種情況，兩者一樣。

生3：感覺展開式中的項和摸球問題的每一類是一樣的，比如a2b這一項相當(dāng)于是摸出2個白球1個黑球，但說不清理由。

師：哪個同學(xué)能幫他解釋一下？

生4：（a+b）3可以看成三個（a+b）相乘，展開式中每一項都是由每個括號中各取一個字母相乘得到，比如說要想得到a2b這一項，相當(dāng)于在三個括號中有兩個取a，一個取b，然后相乘得到，這和三次摸球問題中有兩次取到白球一次取到黑球是一樣的。

師：同學(xué)們剛剛的回答都找出了（a+b）3與三次摸球問題之間的聯(lián)系，特別是最后一個同學(xué)，將（a+b）3的展開過程和摸球問題之間的等價關(guān)系分析得非常透徹。

設(shè)計意圖：通過小組合作交流，引導(dǎo)學(xué)生化抽象為具體，將（a+b）3展開的過程和結(jié)果與摸球問題進(jìn)行類比，找出兩者之間本質(zhì)的聯(lián)系。

師：根據(jù)對三次摸球和（a+b）3展開式之間的聯(lián)系，你能否寫出（a+b）6的展開式？（學(xué)生黑板板書并說明理由）

生：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6。

師：請說明理由。

生：（a+b）6相當(dāng)于六個（a+b）相乘，展開式中每一項都是由每個括號中各取一個字母相乘得到，如果每個括號中全部取a，得到a6，共C■■種，如果有五個括號中取a，一個括號中取b，得到a5b，共C■■種，依此類推，可以得到其他項。

師：（a+b）6的展開和摸球問題有何聯(lián)系？

生：（a+b）6的展開相當(dāng)于有放回的摸六次球，比如說a5b這一項，相當(dāng)于六次取球中有五次取白球，一次取黑球。

設(shè)計意圖：鞏固（a+b）3的展開式的研究方法，自主探究特殊情況下（a+b）n的展開式，再次將展開過程與摸球問題進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)一步體驗(yàn)展開式中每一項與每項系數(shù)的產(chǎn)生過程，為后續(xù)研究（a+b）n做鋪墊。

三、自主探究，形成定理

師：我們已經(jīng)探究了（a+b）3，（a+b）6的展開式，接下來研究一般情況，你能否寫出（a+b）n（n∈N*）的展開式？

生：（a+b）n=C■■an+C■■an-1b+…+C■■bn。

師：請說明理由并說出（a+b）n展開式與摸球問題之間的聯(lián)系。

生：（a+b）n相當(dāng)于n個（a+b）相乘，展開式中每一項都是由每個括號中各取一個字母相乘得到的，如果每個括號中全部取a，得到an，共C■■種，如果有n-1個括號中取a，一個括號中取b，得到an-1b，共C■■種，依此類推，可以得到其他項。（a+b）n相當(dāng)于有放回的摸n次球，比如說an-1b這一項相當(dāng)于在n次取球中取出n-1個白球和一個黑球。

師：能否用一個統(tǒng)一的式子來表示展開式中的每一項？

生：C■■an-rbr。

師：r的取值范圍是什么？

生：0≤r≤n，且r為整數(shù)。

師：剛剛探索的（a+b）n的展開式就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——二項式定理（板書課題）。

師：同學(xué)們剛剛對（a+b）n的展開式說明理由的過程就是對二項式定理的證明，二項式定理的證明采用“說理性”證明，我們通過PPT一起回顧一下（PPT展示證明過程）。

設(shè)計意圖：通過類比（a+b）3，（a+b）6展開式的探究方法，由學(xué)生自主探究得出（a+b）n的展開式。二項式定理的證明采用“說理”的方法，培養(yǎng)學(xué)生類比推理及演繹推理的能力。

師：二項式定理的左邊稱為二項式，右邊稱為（a+b）n的二項展開式，請同學(xué)們思考，（a+b）n的二項展開式有何特點(diǎn)？

生1：各項系數(shù)具有對稱性C■■=C■■，C■■=C■■…

生2：共有n+1項。

生3：各項都是n次。

師：各項字母是如何排列的？

生4：各項按照字母a的降冪排列，按照字母b的升冪排列。

師：字母的次數(shù)如何變化？

生5：字母a的次數(shù)從n次到0次，字母b的次數(shù)從0次到n次。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自主觀察發(fā)現(xiàn)二項展開式的特點(diǎn)，加深對二項式定理及二項展開式的認(rèn)識。

四、新知運(yùn)用，鞏固深化

師：學(xué)習(xí)了二項式定理，我們接下來看二項式定理的應(yīng)用。

例1：利用二項式定理展開下列各式。

（1）（1+■）4;

（2）（a-b）6。

設(shè)計意圖：通過簡單應(yīng)用掌握二項式定理，在解決（2）時應(yīng)構(gòu)造符合二項式定理的使用形式。

例2：在（1+2x）7的展開式中，求：

（1）第3項的二項式系數(shù);

（2）第3項的系數(shù)，展開式的通項，區(qū)別二項式系數(shù)和項的系數(shù)。

師：求（a+b+c）6展開式中a2bc3的系數(shù)。

生1：（a+b+c）6=[a+（b+c）]6，第5項為C■■a2（b+c）4，（b+c）4的展開式中bc3的系數(shù)為C■■=4，所以a2bc3的系數(shù)為60。

生2：（a+b+c）6可以看成六個（a+b+c）相乘，要得到a2bc3這一項，相當(dāng)于在六個（a+b+c）中有兩個選a，還有四個（a+b+c）中有三個選c，一個（a+b+c）中選b，所以a2bc3的系數(shù)為C■■·C■■=60。

師：第一種解法是構(gòu)造二項式定理的使用形式，然后由展開式得到a2bc3這一項;第二種解法則是類比（a+b）n的展開過程。

五、概括知識，總結(jié)方法

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？

生1：二項式定理。

生2：二項展開式的特點(diǎn)及二項式系數(shù)和通項。

師：這節(jié)課我們用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生1：類比轉(zhuǎn)化，由有放回的摸球問題進(jìn)而得到（a+b）n，這是一種類比轉(zhuǎn)化的思想。

生2：先研究（a+b）3、（a+b）6的展開式，再探索（a+b）n的展開式，這是從特殊到一般的思想。

【教后反思】

一、立足學(xué)生，樹立生本意識

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探究、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，但要注意的是，必須關(guān)注學(xué)生的主體參與、師生互動，教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，包括思維的參與和行為的參與?？梢哉f，缺少學(xué)生參與的課堂教學(xué)一定是低效的。一方面，教師應(yīng)營造寬松的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生有較多的展示機(jī)會;另一方面，課堂上教師應(yīng)敢于放手，凡是學(xué)生能自己解決的問題，決不包辦代替，凡是學(xué)生能自己思考的問題，決不進(jìn)行暗示。

關(guān)注學(xué)生的主動參與，其背后是以學(xué)生為本的理念。本節(jié)課的教學(xué)為學(xué)生搭建了較為充分的平臺。注重知識的形成過程，讓學(xué)生有更多的參與機(jī)會，新知的建構(gòu)比較自然，每一個教學(xué)環(huán)節(jié)的推進(jìn)都是在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行的，更多的課堂時間留給學(xué)生思、算、答和板演。

二、設(shè)置問題，引領(lǐng)學(xué)生探究

“問題解決”是數(shù)學(xué)教育的核心，在課堂教學(xué)中設(shè)計“好”的問題是極其重要的。在每節(jié)課中，教師首先應(yīng)努力做到給學(xué)生提供輕松愉悅的氛圍和生動活潑的環(huán)境，將學(xué)生置于主動參與的位置;其次，問題的提出應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引起學(xué)生追求結(jié)論的欲望，激勵學(xué)生大膽地通過獨(dú)立思考與合作探究尋求解決問題的策略，在必要時進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo);最后，還應(yīng)對問題解決的方案進(jìn)行反思、總結(jié)，歸納出問題解決的核心思想。

本節(jié)課從“摸球”問題開始探究，借助問題來推進(jìn)教學(xué)。通過問題串的設(shè)計，創(chuàng)設(shè)良好的思維環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生以問題為主線，由問題驅(qū)動，使學(xué)生的思維始終處于“問題提出—問題解決”的狀態(tài)中。經(jīng)由教師引導(dǎo)，學(xué)生自主探究得到二項式定理。

三、立足課堂，傳遞學(xué)科價值

我認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)的學(xué)科價值在于以下三個方面：傳遞初等數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練，培養(yǎng)科學(xué)精神。通常，人們把微積分以后的數(shù)學(xué)稱為高等數(shù)學(xué)，而把此前的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)。中學(xué)所講的數(shù)學(xué)知識是學(xué)生在未來的工作與學(xué)習(xí)中所必需的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)知識的連續(xù)性很強(qiáng)，要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，就得先學(xué)好初等數(shù)學(xué)。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容《二項式定理》在高等數(shù)學(xué)中的微積分、極限等知識中具有廣泛應(yīng)用。以上是傳遞知識層面的，數(shù)學(xué)的學(xué)科價值更為重要的是對青少年的心智潛能等方面進(jìn)行深刻的、長遠(yuǎn)的開發(fā)與提升，這是其他學(xué)科所不能代替的。

數(shù)學(xué)的學(xué)科價值的另一個體現(xiàn)是能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，學(xué)生通過對有放回的摸球問題的研究，進(jìn)一步探究得到二項式定理，這本身就運(yùn)用了類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）6的展開式進(jìn)一步得出（a+b）n（n∈N*）的展開式，這體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生從數(shù)學(xué)課中培養(yǎng)起來的思考能力及推理能力，將伴隨著他的終身。一個人分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新能力，對其日后的學(xué)習(xí)與工作是尤為重要的。

數(shù)學(xué)的學(xué)科價值還在于科學(xué)精神的培養(yǎng)，比如要求概念的準(zhǔn)確無誤與推理的嚴(yán)謹(jǐn)?？茖W(xué)精神的培養(yǎng)要求科學(xué)地提出問題，一堂好的數(shù)學(xué)課，當(dāng)然應(yīng)該生動、有趣、活躍。但這僅僅是一個手段，而不是我們的目的。僅僅是課堂氣氛活躍，而討論的問題沒有價值，不能算一節(jié)好的數(shù)學(xué)課。數(shù)學(xué)是一門演繹學(xué)科，在課堂教學(xué)活動中，應(yīng)把教學(xué)活動的重點(diǎn)放在概念的準(zhǔn)確理解與邏輯推理上。中學(xué)數(shù)學(xué)中的概念大多容易被學(xué)生接受，所以，一般來說，沒有必要設(shè)計一些特殊的場景在課堂上演示。

四、多元評價，發(fā)展學(xué)生學(xué)力

學(xué)力的培養(yǎng)、形成和發(fā)展離不開評價，因此，課堂上應(yīng)建立相應(yīng)的促進(jìn)學(xué)生學(xué)力發(fā)展的評價機(jī)制。過去習(xí)慣的學(xué)業(yè)評價，其本質(zhì)應(yīng)是學(xué)生的“學(xué)力評價”，教育與教學(xué)的過程是學(xué)習(xí)者自身“發(fā)現(xiàn)意義”“建構(gòu)意義”的過程，不能簡單地歸結(jié)為單純的“知識記憶”“知識積累”。這就要求我們更多地傾向于過程性評價、發(fā)展性評價和個性化評價，強(qiáng)調(diào)評價的真實(shí)性，重視提升學(xué)生解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度。因此，教師應(yīng)將教學(xué)評價貫穿于整個教學(xué)過程之中，關(guān)注教學(xué)過程中的活動與事件，尤其是學(xué)生在教學(xué)過程中的各種具體表現(xiàn)，這應(yīng)成為評價教學(xué)效果的根本依據(jù)。

對學(xué)生在本節(jié)課中的表現(xiàn)進(jìn)行評價，應(yīng)關(guān)注以下幾方面：（1）學(xué)生在小組討論“有放回的摸三次球和（a+b）3的展開式的聯(lián)系”這一問題的參與程度;（2）學(xué)生在課堂活動中的交流情況，具體表現(xiàn)為能否積極參與二項式定理的發(fā)現(xiàn)探究過程，能否及時表達(dá)自己的想法等;（3）學(xué)生思維水平的表現(xiàn)，如創(chuàng)造性、靈活性等。課堂教學(xué)的即時評價根本目的是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，不僅能有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)生心坎里播下希望的種子，而且能使學(xué)生明確今后進(jìn)一步努力的方向。

數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，其實(shí)用價值已得到充分顯示，然而，數(shù)學(xué)更是一種文化，滲透到人類生活的每一個角落。這決定了數(shù)學(xué)教育不僅要傳授知識，還要培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先應(yīng)更新自身的教育觀念、改進(jìn)教學(xué)方式、注重學(xué)習(xí)過程的評價，最終傳遞數(shù)學(xué)學(xué)科價值，發(fā)展學(xué)生學(xué)力。

（注：王偉執(zhí)教的“二項式定理”一課獲2015年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評活動特等獎）