誰之過？

劉華為

拜讀了錢德春老師發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（初中版）2014年第8期上《試題編制，一門遺憾的藝術(shù)——2014年泰州中考數(shù)學(xué)第25題的分析與反思》（以下簡稱文[1]）一文后，深受啟發(fā)，特別對如何以“源于教材又高于教材”為立意、以“考查學(xué)生基本知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、思維品質(zhì)和發(fā)展學(xué)力”為指導(dǎo)思想進(jìn)行命題，有了深刻認(rèn)識(shí).但也有一些不同的想法，愿得到廣大同仁斧正.

1 試題與回顧

圖1如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-34x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方.

（1）若直線AB與弧CD有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.①求∠CFE的度數(shù)；②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍；

（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

文[1]指出，本題滿分雖為12分，可中考均分僅為2.86，與命題預(yù)設(shè)有相當(dāng)大的差距.并從考生角度分析造成落差的原因主要有：考生由FG2只想到比例式和兩點(diǎn)間的距離公式導(dǎo)致思維決策失誤、對由特殊（數(shù)）到一般（字母）的數(shù)學(xué)思想理解不透引發(fā)對參數(shù)b束手無策、缺乏數(shù)感以致無法由b和34b聯(lián)想到勾股數(shù)，從而錯(cuò)失選擇正確解題方法的機(jī)會(huì).

2 誰之過？

當(dāng)中考成績不如意時(shí)，身為教師，我們常常喜歡從學(xué)法上分析原因，卻很少對自己的教法進(jìn)行反思.

首先，“用含b的代數(shù)式表示FG2”就是求弦長FG，而利用垂徑定理求弦長是圓的眾多知識(shí)點(diǎn)中重中之重！如果考生連“過圓心O作OM⊥FG于M點(diǎn)”的輔助線都作不出的話，那么我們不禁要問：教師在平時(shí)的教學(xué)中是如何突出和落實(shí)這一重點(diǎn)的呢？即使有參數(shù)b的干擾，但從六年級(jí)開始就學(xué)習(xí)用字母來表示數(shù)了，為什么到了九年級(jí)，學(xué)生對這一“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想依然未能理解和掌握呢？

其次，考生由FG2想到了比例式和兩點(diǎn)間的距離公式，說明學(xué)生是睿智的，因?yàn)樗麄冋莆樟宿D(zhuǎn)化思想，至少能由題目的結(jié)構(gòu)特征去聯(lián)想處理此類問題的知識(shí)點(diǎn).可惜的是：當(dāng)思維受阻時(shí)，考生缺乏靈活變通的能力，想不到換一種方式解決問題（另一方面也反應(yīng)考生對如何求線段的長的方法掌握不全面）.而這種思維調(diào)控力的缺失，根源又在哪兒呢？

筆者竊以為，這與教師單一的習(xí)題教學(xué)模式密不可分.據(jù)筆者調(diào)查，多數(shù)教師講題時(shí)只局限于“怎樣做”（即簡單分析思路、板書解題過程），缺乏對“為什么這樣做”的反思與研討.

一般地，數(shù)學(xué)習(xí)題都是由課本的有關(guān)知識(shí)、信息、符號(hào)，通過遷移、發(fā)散和綜合而來的，因此，相關(guān)問題的知識(shí)源就是解決此類問題的最佳策略和致勝法寶.如果教師在平時(shí)的教學(xué)和九年級(jí)的專題復(fù)習(xí)中，從知識(shí)溯源角度分析“求線段長”的常見方法有：轉(zhuǎn)化法（利用條件找出所求線段與已知線段間的數(shù)量關(guān)系，知識(shí)源有“等角對等邊、全等三角形對應(yīng)邊相等、三角形中位線”等）、直接計(jì)算法（知識(shí)源有“勾股定理、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式、銳角三角比”等）、列方程（組）求解（相等關(guān)系的知識(shí)源有“比例式、圖形面積相等”等），并為“運(yùn)用每一知識(shí)源解決問題的方法”都配備一道典型例題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合條件靈活選擇解題方法和適時(shí)調(diào)整受阻思維，從而不但知道“怎樣做”，還明白“為什么這樣做”，以及學(xué)會(huì)“同一類型怎么做”.那么，考生還會(huì)陷入FG2的“陷阱”，不知自我進(jìn)行方法調(diào)控嗎？

3 試題解讀

難能可貴的是，作為命題者的錢老師從試題本身對得分率過低的原因進(jìn)行了反思（詳見文[1]），并認(rèn)為原題應(yīng)改為：

圖2如圖2，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)）的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B；半徑為5的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方.

（1）若Q為弧CD上異于C、D的點(diǎn)，線段AB經(jīng)過點(diǎn)Q.①求∠CQE的度數(shù)；②用含b的代數(shù)式表示QA·QB；

（2）設(shè)b≥52，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

與原題相比，文[1]認(rèn)為改編題具有“問題層次更明、關(guān)聯(lián)程度更強(qiáng)和思路入口更寬”等特點(diǎn).但筆者仔細(xì)研究了兩題，從考點(diǎn)分析，原題比改編題更科學(xué).因?yàn)樵}考查了垂徑定理（整卷其它題并未涉及此考點(diǎn)），突出了對圓中重點(diǎn)知識(shí)的考查，具有較強(qiáng)的導(dǎo)向性.而改編題卻改為考查相似三角形.雖然相似三角形也是平面幾何中非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一，但原題在求輔助線OM長時(shí)也可用△OMB∽△AOB構(gòu)造比例式求解（如圖1，而且這是通法，相信絕大部分同學(xué)都會(huì)用此方法求解的），已注重了對此重點(diǎn)知識(shí)的考查.如此看來，改編題似乎留下了一些淡淡的遺憾.

當(dāng)然，文[1]認(rèn)為改編題優(yōu)越在問題（1）②的設(shè)計(jì)為問題（2）打開了另一條解題思路.因?yàn)樵O(shè)BP=x（順便指出，此處不宜用x，易與直線AB解析式中的x混淆），由（1）②中的結(jié)論QA·QB=b2-25類比得PA·PB=b2-25，從而得方程x2-2bx+b2-25=0，再根據(jù)此方程的解確定P的存在與否.此設(shè)想固然不錯(cuò)，但很可能成為命題者的一廂之愿，因?yàn)槌踔袑W(xué)段，學(xué)生幾乎沒有接觸過用方程的解來確定點(diǎn)的存在性知識(shí)或習(xí)題.即使二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和對應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，教材也只是一提而過，想由此而產(chǎn)生知識(shí)的正遷移，恐怕只能是美好愿景.更何況此方程如此隱蔽，能有幾個(gè)考生想到構(gòu)造它？

另外，原題中“當(dāng)直線AB與弧CD有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，要求寫出b的取值范圍”的設(shè)計(jì)為問題（2）的解決悄然埋下了伏筆.因?yàn)橛辛诉@個(gè)范圍的啟發(fā)，學(xué)生由b≥5易想到直線AB與圓O相切或相離，再結(jié)合“弧CE所對的圓周角為45°”和“三角形外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角”便可找到解題的突破口了.可惜改編題刪除了此設(shè)計(jì)，更增加了問題（2）的難度.

4 我的設(shè)計(jì)

鑒于文[1]和本文的分析，筆者不揣淺陋，建議把改編題作如下修改：

圖3如圖3，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，半徑為5的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方.

（1）若Q為弧CD上異于C、D的點(diǎn)，線段AB經(jīng)過點(diǎn)Q.

①當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，求b的值，并求出此時(shí)直線AB被⊙O截得弦FQ的長；

②求∠CQE的度數(shù)，并用含b的代數(shù)式表示QA·QB（寫出b的取值范圍）；

（2）設(shè)b≥52，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請求出BP的值；若不存在，請說明理由.

增加問題（1）①的意義在于：既保留了對垂徑定理的考查，又多了“運(yùn)用待定系數(shù)法求參數(shù)b”的考點(diǎn).而待定系數(shù)法不僅是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)方法，而且也是高中學(xué)習(xí)平面解析幾何的重要基石，注重它的考查，也就是注重學(xué)生發(fā)展力的考查；其次，由于△AOB是特殊的等腰直角三角形，求輔助線OM長時(shí)只需依據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可，不需用相似三角形處理，從而巧妙地避免了考點(diǎn)的重復(fù)；最后，由于問題較基礎(chǔ)，必然能大大提高本題的得分率.

另外，把問題（2）中“求點(diǎn)P的坐標(biāo)”（此考點(diǎn)同卷第26題已含）改為“求BP的值”，一方面減少了計(jì)算量；另一方面為“運(yùn)用方程的解確定點(diǎn)P存在性”的方法誕生悄然埋下了伏筆.顯然，由于是求BP的值，再根據(jù)求存在性問題的特征（先假設(shè)存在點(diǎn)P使∠CPE=45°，再求BP的值，若能求出，則存在；否則，不存在），考生易聯(lián)想到設(shè)BP=t，再有問題（1）②結(jié)論的鋪墊，方程t2-2bt+b2-25=0也就呼之欲出了，從而把文[1]的美好愿景化為現(xiàn)實(shí).

總之，中考命題不僅要追求形式上的和諧，也要注重考點(diǎn)的平衡.如此方能做到內(nèi)容與形式的完美統(tǒng)一，成就經(jīng)典之作.