引發(fā)學(xué)生逆向思維的幾種因素

劉家良

思維分正向思維和逆向思維，然而人們思考問(wèn)題時(shí)慣于正向思維，忽視逆向思維的應(yīng)用，致使思維面狹窄.事實(shí)上逆向思維和正向思維二者處于同等地位，而且有些問(wèn)題若能善于從逆向思維的角度去思考，會(huì)使思維變得流暢，問(wèn)題迎刃而解.現(xiàn)就引發(fā)學(xué)生逆向思維的幾種因素進(jìn)行分析和歸納，旨在拓寬學(xué)生分析和解決問(wèn)題的渠道，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性和靈活性.

1 由數(shù)、式運(yùn)算的可逆性引發(fā)的逆向思維

是在對(duì)已知數(shù)、式子的結(jié)構(gòu)特征（可逆性）觀察分析的基礎(chǔ)上做出的反向思考.在對(duì)數(shù)、式子正向思維出現(xiàn)困難時(shí)，可嘗試著去調(diào)整思維方向，將定義、法則和性質(zhì)進(jìn)行逆用，尋求新的解題路徑，是建立逆向思維的一條有效途徑.這需要教師引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去類比、去聯(lián)想.

例1 （5-3）2（8+2）.

分析 大多數(shù)學(xué)生是遵從先算平方，再按多項(xiàng)式法則展開(kāi)、合并的程序，是一種正向思維；細(xì)心觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)8+215這個(gè)式子能拆成（5）2+（3）2+253，故此它能“分解因式”，所以原式等于（5-3）2（5+3）2，此時(shí)再逆用積的乘方公式就可迅速求得結(jié)果.

解 （過(guò)程略）原式=4.

評(píng)析 通過(guò)對(duì)式子8+215的結(jié)構(gòu)特征的觀察與思考，將其“分解”成（5+3）2是一種逆向思維，隨后又發(fā)現(xiàn)整個(gè)式子可逆用積的乘方公式.兩次逆向思考使問(wèn)題的解答變得靈活、簡(jiǎn)捷，克服了學(xué)生的思維定勢(shì)，使學(xué)生的思維視野得以開(kāi)闊.

例2 （2011年天津中考）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0.則下列式子一定成立的是（ ）.

A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0

分析 由題設(shè)的結(jié)構(gòu)式可聯(lián)想到一元二次方程根的判別式，從而得關(guān)于p的一元二次方程為（x-y）p2+（x-z）p+y-z=0（x≠y）.通過(guò)觀察，得-1為該方程的一個(gè)根.又由于Δ=0，故方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即p1=p2=-1.由求根公式，得-1=-（x-z）2（x-y），即z+x-2y=0.特別地，當(dāng)x=y時(shí)，得（x-z）2=0，x=z，于是，x=y=z，對(duì)z+x-2y=0而言，依然成立，故此選D.

評(píng)析 由已知等式左邊的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到一元二次方程根的判別式及判別式的值為0，同時(shí)發(fā)現(xiàn)-1為這個(gè)方程的根，反映了學(xué)生的類比、聯(lián)想能力，表現(xiàn)出思維的逆向和創(chuàng)新.

2 由所給結(jié)論尋求條件而引發(fā)的逆向思維

這種逆向思維多用在多項(xiàng)選擇題中.它往往從結(jié)論的組成“元素”入手，對(duì)每一個(gè)元素逐一分析、綜合，得出結(jié)果，再將結(jié)果和結(jié)論作比較得出正確選項(xiàng).

例3 （2013年廣安中考）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x=1.下列結(jié)論：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0

其中正確的是（ ）.

A.①③ B.只有② C.②④ D.③④

解析 對(duì)選項(xiàng)①，結(jié)合圖象需要確定系數(shù)a、b、c的正、負(fù)性，由拋物線開(kāi)口方向向上，得a>0，依據(jù)“左同右異”的規(guī)律，得b<0，由拋物線與y軸的正半軸相交，得c>0，故abc<0；選項(xiàng)②，是關(guān)于a，b的式子.由-b2a=1，得b=-2a，即2a+b=0；對(duì)選項(xiàng)③，欲判斷b2-4ac的正、負(fù)，需看拋物線和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得b2-4ac>0；選項(xiàng)④，4a+2b+c是x=2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，知拋物線和x軸的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，故4a+2b+c>0.綜上，選C.

3 由圖形（圖象）運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性引發(fā)的逆向思維

解圖形或圖象的變換問(wèn)題，若正向思維感到難度較大時(shí)，不妨采用動(dòng)、靜轉(zhuǎn)化法（化靜為動(dòng)），有助于開(kāi)啟解題思路.

例4 （2013年衢州中考）拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y=（x-1）2-4，則b、c的值為（ ）.

A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0

C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2

分析 依據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性原理，可知拋物線y=（x-1）2-4先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，就得拋物線y=x2+bx+c.由于拋物線y=（x-1）2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），所以拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以y=x2+bx+c=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故選B.

4 從問(wèn)題的反面出發(fā)引發(fā)的逆向思維

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題正面解答受阻時(shí)，有時(shí)從問(wèn)題的反面入手，或許能絕處逢生，柳暗花明.

例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

分析 若將“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”逐一去考察，則會(huì)有7種情況，運(yùn)算繁瑣.由于“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”與“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根”是對(duì)立排斥的，所以可改從這個(gè)問(wèn)題的反面即三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根的角度來(lái)考慮，即從Δ1，Δ2，Δ3三者均小于0中解出k的取值范圍，再?gòu)膶?shí)數(shù)中排除這個(gè)k的取值范圍.

解 由Δ1=8k+9<0，Δ2=8k+12<0，Δ3=20k-15<0，得k<-32.因此當(dāng)k≥-32時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

5 突破慣性束縛引發(fā)的逆向思維

5.1 從“配角”變“主角”中引發(fā)的逆向思維——“主元”和“輔元”角色的變換.

例6 在關(guān)于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a為正整數(shù).當(dāng)a為何值時(shí)，方程至少有一個(gè)整數(shù)根？

分析 因?yàn)橛小瓣P(guān)于x”的字眼，所以大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于用求根公式將x用a的式子表示出來(lái)，接下來(lái)通過(guò)x為整數(shù)去求正整數(shù)a的值，計(jì)算起來(lái)繁瑣，此時(shí)，不妨嘗試一下將系數(shù)a用未知數(shù)x的式子表達(dá)，即將a視為未知數(shù)，x視為系數(shù)，這樣關(guān)于x的二次方程就變成了關(guān)于a的一次方程.

解 由ax2+4ax-2x+4a-7=0，得a（x2+4x+4）-2x-7=0，所以a=2x+7x2+4x+4=2x+7（x+2）2=2（x+2）+3（x+2）2=2x+2+3（x+2）2.

因?yàn)閍為正整數(shù)，x為整數(shù)，所以x+2=±1，于是a=5，a=1.

因此，當(dāng)a=5或1時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.

評(píng)析 將主角和配角更換一下角色，另辟蹊徑，同時(shí)變形中穿插了“裂項(xiàng)”法，其本身也是一種逆向思維.

5.2 由內(nèi)角向外角的轉(zhuǎn)換

例7 一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角是銳角的角至多有多少個(gè)？

分析 此題可用特例法，如n=4時(shí)，內(nèi)角和為360°，內(nèi)角是銳角的角至多有3個(gè)；還可從一個(gè)凸n邊形的外角入手.因?yàn)橥筺邊形的外角和360°，外角為鈍角時(shí)至多有3個(gè)，而外角為鈍角時(shí)，則與其相鄰的內(nèi)角為銳角，所以一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角是銳角的角至多有3個(gè).

6 將問(wèn)題暫時(shí)復(fù)雜化——退而求進(jìn)

例8 比較12-11與10-9的大小.

分析 觀察后發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)式子與它們各自的有理化因式的積均為1，此時(shí)不妨采用“分子有理化”的方法做一嘗試.

解 12-11=12-111=（12-11）（12+11）12+11=112+11，10-9=110+9.因?yàn)?12+11<110+9，所以12-11<10-9.

綜上，引發(fā)學(xué)生逆向思維的6種因素，都有一個(gè)共同之處：用正向思維考慮問(wèn)題比較費(fèi)勁時(shí)，打破原有的思維定勢(shì)，反其道而行之，則會(huì)有眼前一亮，豁然開(kāi)朗之感.在教學(xué)中，我們證明一個(gè)幾何問(wèn)題，常常采用分析法的思路，即從結(jié)論入手，要證什么，需證什么，其實(shí)就是一種逆向思維.平時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將命題的條件和結(jié)論顛倒位置再思考，久之，逆向思維就會(huì)逐步形成，從而克服由思維定勢(shì)帶來(lái)的負(fù)面影響，使思維得以全面開(kāi)發(fā).