基于APOS理論的初中生函數(shù)概念認知調(diào)查

袁柳芳++蔣科

1 APOS理論簡述

APOS理論是美國的杜賓斯基等人在數(shù)學教育研究實踐中發(fā)展的一種理論，是針對于數(shù)學概念學習過程研究的一種建構(gòu)主義的學習理論，[1]杜賓斯基認為，學生學習數(shù)學概念要進行心理建構(gòu)，這一建構(gòu)要經(jīng)歷4個階段：操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme），取這四個階段英文單詞的首字母，定名為APOS理論[2].這種理論不僅指出學生的學習過程是建構(gòu)，而且表明了建構(gòu)的層次.

操作階段（Action）是學生理解概念的一個必要條件，通過操作讓學生親自體驗，感受直觀背景和概念間的聯(lián)系.例如，在有現(xiàn)實背景的問題中建立函數(shù)關系：y=x2，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對應：2→4；3→9；4→16；5→25；……通過操作，理解函數(shù)的意義.

過程階段（Process）是學生對操作進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化，概括過程，學生在頭腦中對活動進行操作和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì).一般地，有x→x2；其它各種函數(shù)也可以概括為一般的對應過程：x→f（x）.

對象階段（Object）是通過前面的抽象認識到了概念的本質(zhì)，對其進行壓縮并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中具體的對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動.比如函數(shù)的加減乘除、復合運算等，在表示式f（x）±g（x）中，函數(shù)f（x）和g（x）均作為整體對象出現(xiàn).

圖式階段（Scheme）的形成是要經(jīng)過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學習，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式[3].

APOS理論提出的數(shù)學概念學習的四個階段，從思維層次上反映出數(shù)學概念從具體操作行為到抽象的心理結(jié)構(gòu)的過程性，是概念在頭腦中建構(gòu)的一個連貫順序，是循序漸進螺旋上升的.

2 研究的設計

2.1 研究工具

本測驗工具依據(jù)APOS理論各層次的具體建構(gòu)目標，配合我國現(xiàn)行全日制義務教育數(shù)學課程標準的要求，同時參考初中數(shù)學教科書，以及函數(shù)概念相關研究等文獻編制而成，編制試題期間多次修正后，進行預試，根據(jù)預試的結(jié)果再進行修正，成為正式施測題目.正式測試題“函數(shù)概念認知測驗”包括20道選擇題和2道解答題，選擇題分屬五個函數(shù)概念認知層次，每個層次有五題，另外2道解答題則為研究學生函數(shù)概念認知提供參考.利用SPSS 12.0 for windows的分析結(jié)果，得到總測驗的alpha值為.801，顯示此份工具的信度相當高.

2.2 研究對象

為使調(diào)查結(jié)果具有一定的說服力和推廣性，在選擇研究樣本時考慮所選樣本必須具有一定的代表性，且從不同學校選取同一層次上的班級，便于對結(jié)果進行比較分析.本研究選取具有代表性的2所初中共490名學生作為樣本進行調(diào)研.

2.3.1 APOS理論各層次表現(xiàn) 根據(jù)表1的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)初三學生函數(shù)概念認知各層次掌握較好，其中對象層次的第15題和圖式層次的第20題正確率較低，這兩題考察的分別是函數(shù)圖象上的動點問題和圖形運動中的函數(shù)關系問題，這類圖形運動的問題綜合性較強，怎樣把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解是許多學生難以跨越的障礙.

本研究以某一層次正確率達到60%作為通過該層次的標準，例如某個學生在操作層次上的5道題中答對其中任意3道即代表該生通過該層次.由此統(tǒng)計所有樣本在各層次上學生通過人數(shù)及通過比例.

從各層次的平均正確率和通過比例來看，總體上掌握較好，但是過程階段正確率和通過率都相對較低，說明在教學中應特別重視學生函數(shù)概念抽象的過程，怎樣讓學生經(jīng)歷思維的內(nèi)化，概括過程，抽象出概念所特有的性質(zhì)，是教學的一個難點.這也是高中學生函數(shù)學習同樣面臨的問題.

2.3.2 學校差異

圖2 兩校各層次通過人數(shù)比例對比 將兩校初三年級學生函數(shù)概念認知各層次正確率和通過率進行對比，發(fā)現(xiàn)兩校學生表現(xiàn)差異不大，總體上Y校比X校表現(xiàn)略好，通過獨立樣本t檢驗，表明兩校在函數(shù)概念認知上沒有顯著性差異，這也很好的體現(xiàn)了義務教育階段教育資源均衡化的要求.

2.3.3 性別差異

以性別來看，在各層次上男生表現(xiàn)優(yōu)于女生.進一步對測試結(jié)果進行學校、性別二因子變異數(shù)分析，可以發(fā)現(xiàn)學校與性別之間無交互作用.

3 結(jié)論

（1）初三學生函數(shù)概念認知在APOS理論各階段上掌握較好，但是函數(shù)圖象上的動點問題和圖形運動中的函數(shù)關系問題正確率較低，亟待加強.

（2）從各層次的平均正確率和通過比例來看，過程階段正確率和通過率都相對較低，在教學中應特別重視學生函數(shù)概念抽象的過程.

（3）學校之間在函數(shù)概念認知上沒有顯著性差異，這也很好的體現(xiàn)了義務教育階段教育資源均衡化的要求.

（4）在各層次上男生表現(xiàn)優(yōu)于女生，且學校與性別之間無交互作用.

4 函數(shù)概念認知影響因素分析

學生函數(shù)概念認知水平受多種因素的影響，包括教師的教學方式、學生的學習方法、中學數(shù)學函數(shù)課程的設置等因素.

我國中學數(shù)學學習向來重視考試，通過大量的習題訓練，獲得優(yōu)異的數(shù)學成績，但缺少對數(shù)學概念、方法和思想深刻地理解.正如張奠宙先生撰文指出的，東西方數(shù)學教育區(qū)別之一是：西方人主張“理解、理解、理解”，而華人則多半主張“練習、練習、練習”[4].

李士锜先生在“熟能生巧嗎”一文中指出：“一方面，許多優(yōu)等生勤奮努力的經(jīng)驗，以及我國、日本等東亞地區(qū)在多次國際性評估中成績名列前茅的事實可以從正面肯定我們的傳統(tǒng)做法：大量數(shù)學習題訓練和經(jīng)常性測驗考試是提高學生成績的有效途徑；另一方面，大運動量訓練的‘題海戰(zhàn)術使學生和教師的負擔不堪忍受，表現(xiàn)出效率低下，抑制學生的創(chuàng)造性和積極性的弊端.”

另外，分析中美兩國中學數(shù)學課程標準關于函數(shù)概念的要求也有所區(qū)別.美國的課程標準強調(diào)從學前教育到高中的過程中，應幫助學生學習各種函數(shù)，特別強調(diào)運用函數(shù)的多種表征方式，加深學生對函數(shù)概念的理解，[5]在不同學段，對函數(shù)有不同內(nèi)容、不同程度、不同范圍的要求.學生對函數(shù)的認識是循序漸進、逐步提高的.我國數(shù)學課程標準中只在初中、高中階段有函數(shù)內(nèi)容和要求，小學階段沒有[6].

參考文獻

[1] 曾國光.中學生函數(shù)概念認知發(fā)展研究[J].數(shù)學教育學報，2002（2）：99-102.

[2] 徐立英，張麗娜.APOS理論對函數(shù)概念教學的啟示和應用[J].高等教育研究，2007（3）：73，74.

[3] 濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學教育學報，2007（2）：48-50.

[4] 史寧中.中學數(shù)學課程與教學中的函數(shù)及其思想——數(shù)學教育熱點問題系列訪談錄之三[J].課程·教材·教法，2007（4）：36-40.

[5] HamideDogan-Dunlap.reasoning with metaphors and constructing an understanding of the mathematical function concept. In Woo， J. H.， Lew， H. C.， Park， K. S. &Seo， D. Y. （Eds.）. Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Seoul： PME. Vol. 2∶209-216.2007.

[6] 全美數(shù)學理事會，蔡金法等譯.美國學校數(shù)學教育的原則和標準[M].北京：人民教育出版社，2004：21-22，36-37，84-86，142-144，204-206，268-277.