透視“三重聯(lián)系”的內(nèi)在層次性

【摘 要】自2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來(lái)，“三重聯(lián)系”成為數(shù)學(xué)教育研究者和教師探討和思考數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要理念，這其中，區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的可能性和現(xiàn)實(shí)性、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間聯(lián)系的普遍性和特殊性以及數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系的淺層性和深層性，可能是深入研究和實(shí)踐的方向。唯如此，教師才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地踐行“三重聯(lián)系”的理念。

【關(guān)鍵詞】義務(wù)教育;數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn);三重聯(lián)系;初中數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）26-0008-03

【作者簡(jiǎn)介】彭亮，南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所（南京，210097）博士研究生。

從體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，到體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于數(shù)學(xué)聯(lián)系的思想更為明晰，此種變化引發(fā)了一些數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注和探究，與此同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐也在尋求與之契合的教學(xué)手段、方式和設(shè)計(jì)。鑒于此，深入挖掘“三重聯(lián)系”的內(nèi)在層次性，可能會(huì)對(duì)教師更好地踐行這一理念有所助益。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系

無(wú)論從一般教學(xué)的角度，抑或數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系應(yīng)是教師教學(xué)中最為常見(jiàn)也時(shí)常運(yùn)用的聯(lián)系方式。但在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系需要我們教師明確以下兩個(gè)層次。

1.可能的聯(lián)系。

所謂可能的聯(lián)系是指任何數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都可能與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)發(fā)生關(guān)聯(lián)。因此，對(duì)于任意一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，其與整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都存有一種可能的聯(lián)系，這種可能建基于知識(shí)之間所形成的網(wǎng)狀型知識(shí)地圖。當(dāng)然，除此之外，各知識(shí)模塊之間也存在著或隱或顯的聯(lián)系。這些聯(lián)系構(gòu)成了整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的思維地圖，而從這些地圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系是復(fù)雜的，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就像一張漁網(wǎng)的一個(gè)結(jié)點(diǎn)，通過(guò)牽動(dòng)它，整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)之網(wǎng)可能全都“舞動(dòng)”起來(lái)。而數(shù)學(xué)知識(shí)間可能的聯(lián)系正基于此，即數(shù)學(xué)知識(shí)間存有聯(lián)系的可能，并且此種可能性涵蓋了所有初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，從教材編寫(xiě)的角度上來(lái)說(shuō)，每個(gè)模塊的知識(shí)都遵循著循序漸進(jìn)的原則，因此在每個(gè)模塊之內(nèi)，數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)疑具有著聯(lián)系，而在每個(gè)模塊之間，數(shù)學(xué)知識(shí)間的共同性使得模塊與模塊之間須臾不能分離，如數(shù)形結(jié)合的思想即是模塊間知識(shí)聯(lián)系的反映。

2.現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。

可是，數(shù)學(xué)知識(shí)間的可能聯(lián)系往往不能較好地反映在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這中間可能有著“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”與“學(xué)科知識(shí)”和“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”間的區(qū)別。所謂現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系是指，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師根據(jù)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，確定最終向?qū)W生所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。如在教學(xué)二元一次方程的概念時(shí)，一位教師是這樣設(shè)計(jì)的：首先教師向?qū)W生呈現(xiàn)兩個(gè)方程，2x+y=36，2a+3b+3=19，然后讓學(xué)生歸納它們的特點(diǎn)（含有幾個(gè)未知數(shù)？含有未知數(shù)的系數(shù)是幾次？），最后教師總結(jié)，得出二元一次方程的特點(diǎn)——含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次。與之相對(duì)，一位教師可能這樣來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)：首先引導(dǎo)學(xué)生觀察所列的方程：2x+y=36，2a+3b+3=19，然后讓學(xué)生歸納這兩個(gè)方程的共同特征，隨后讓學(xué)生將這些特征與一元一次方程比較，找出相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，最后啟發(fā)學(xué)生給這兩個(gè)方程取個(gè)名字（二元一次方程）。對(duì)比這兩個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，某種程度上二者都體現(xiàn)了關(guān)注“數(shù)學(xué)知識(shí)間聯(lián)系”的理念。在第一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師通過(guò)與未知數(shù)和未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的聯(lián)系，歸納得出二元一次方程的概念。而在第二個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師則通過(guò)與一元一次方程的聯(lián)系構(gòu)建二元一次方程的概念。兩個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣應(yīng)是高下立判的，究其原因，即是數(shù)學(xué)知識(shí)間可能聯(lián)系和現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的差別。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，可能聯(lián)系只是其進(jìn)行“三重聯(lián)系”的基礎(chǔ)，也就是說(shuō)，它只是教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)，而現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系則是教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，其區(qū)別在于教師能否在教學(xué)中契合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，找準(zhǔn)知識(shí)點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)以及知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，如此，可能的聯(lián)系才會(huì)成為一種現(xiàn)實(shí)可行的聯(lián)系。

二、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的聯(lián)系

稍微了解一點(diǎn)數(shù)學(xué)史的人都知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展與其他學(xué)科的發(fā)展存在著密切的聯(lián)系，如數(shù)學(xué)第一次危機(jī)的解決同時(shí)促進(jìn)了哲學(xué)的發(fā)展，20世紀(jì)的分析哲學(xué)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)以及模糊數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)模型、元數(shù)學(xué)等思想和理念在自然、人文、社會(huì)等領(lǐng)域的運(yùn)用。由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)對(duì)其他學(xué)科的基礎(chǔ)地位。但在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要分辨數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間聯(lián)系的兩個(gè)層次。

1.普遍的聯(lián)系。

所謂普遍的聯(lián)系是指初中數(shù)學(xué)知識(shí)與初中其他學(xué)科知識(shí)間存在著密切的聯(lián)系，只不過(guò)這些聯(lián)系有些彰顯，有些隱蔽。這種普遍的聯(lián)系反映了數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門基礎(chǔ)學(xué)科在人類知識(shí)發(fā)展過(guò)程中的基礎(chǔ)性。而對(duì)于初中的學(xué)科和學(xué)生所要學(xué)習(xí)的知識(shí)來(lái)說(shuō)，此種普遍性較為集中地反映在數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、信息技術(shù)等自然學(xué)科的聯(lián)系上，如信息技術(shù)中的“算法”即與數(shù)學(xué)有著非常密切的關(guān)聯(lián)，另外，有的研究者發(fā)現(xiàn)，初中物理課程學(xué)習(xí)所需數(shù)學(xué)知識(shí)涉及數(shù)、比例及代數(shù)式的運(yùn)算知識(shí)、基本幾何知識(shí)等12項(xiàng)內(nèi)容。除此之外，數(shù)學(xué)還可以與人文社會(huì)學(xué)科聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的人文素養(yǎng)和基本的社會(huì)能力，例如聯(lián)系到公民學(xué)、社會(huì)學(xué)的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“公民教育”的培養(yǎng)。鑒于數(shù)學(xué)對(duì)人的理性精神發(fā)展的積極作用，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的理性精神了解和分析社會(huì)公共事物，旨在培養(yǎng)和造就良好的公民，增強(qiáng)社會(huì)凝聚力。這種普遍聯(lián)系使得數(shù)學(xué)教學(xué)的視野更加開(kāi)闊，同時(shí)，它也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有針對(duì)性和應(yīng)用性。

2.特定的聯(lián)系。

當(dāng)然，對(duì)于現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間聯(lián)系的普遍性只是一個(gè)前提和事實(shí)，倘若教師要真正地將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科進(jìn)行關(guān)聯(lián)來(lái)實(shí)行自己的教學(xué)，則必須思考和顧及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系的特定性，這里的特定性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是學(xué)科的內(nèi)容問(wèn)題，即在初中教育中所涉及的學(xué)科，一般都是學(xué)生學(xué)習(xí)意義上的學(xué)科，它與科學(xué)研究和學(xué)科分類上的學(xué)科還是有所差別的，這其中，內(nèi)容的廣度和深度應(yīng)是二者不容忽視的區(qū)別，因此，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，怎樣顧及初中學(xué)科的特性，合理地關(guān)聯(lián)初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)可能是其在普遍性聯(lián)系下需要思考的首要問(wèn)題，如果處理不當(dāng)，相應(yīng)的聯(lián)系可能會(huì)比較生硬和“做作”;二是要注意區(qū)分特定內(nèi)容，初中數(shù)學(xué)包括“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“綜合實(shí)踐活動(dòng)”四個(gè)方面，每個(gè)方面的內(nèi)容都有各自的特點(diǎn)，并且這些內(nèi)容在歷史發(fā)展過(guò)程中都與特定的學(xué)科有著較為密切的聯(lián)系，因而，教師在進(jìn)行學(xué)科關(guān)聯(lián)時(shí)，可能需要從內(nèi)容的角度，探尋數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的發(fā)展歷程，進(jìn)而尋求較為合適的關(guān)聯(lián)學(xué)科，從而更好地將具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容與其他學(xué)科的相關(guān)內(nèi)容相互連接。

三、數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系

反思數(shù)學(xué)的源起，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活有著密切的關(guān)聯(lián)，并且數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方式和手段，20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所提出“現(xiàn)實(shí)化數(shù)學(xué)”思想在某種程度上也是基于此種考慮。不過(guò)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系需要注意以下兩個(gè)方面。

1.淺層的聯(lián)系。

所謂數(shù)學(xué)與生活的淺層聯(lián)系是指數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的生活之間“貌似神不合”的聯(lián)系，也就是說(shuō)，生活只是被僵硬地拉進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中。這種情況常常出現(xiàn)在課堂導(dǎo)入的環(huán)節(jié)，教師為了刻意引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，往往會(huì)在課堂導(dǎo)入的環(huán)節(jié)融入一些生活的情境，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但是這種“良苦用心”的結(jié)果往往“事倍功半”。究其原因，可能是教師沒(méi)有領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的深層聯(lián)系，而只局限于淺層的聯(lián)系，從而出現(xiàn)了我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂中經(jīng)常遇到的生活與數(shù)學(xué)兩張皮的現(xiàn)象。淺層聯(lián)系的產(chǎn)生可能還在于我們只從數(shù)學(xué)來(lái)思考生活，很少甚至沒(méi)有從生活來(lái)思考數(shù)學(xué)，這二者的區(qū)別在于我們思量數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系時(shí)，誰(shuí)居于首位，從生活來(lái)思考數(shù)學(xué)是我們?cè)谏畹幕A(chǔ)上思考數(shù)學(xué)，如此，數(shù)學(xué)才能有機(jī)地融入生活，反之，生活將是被割裂的、虛擬的甚或偽造的。

2.深層的聯(lián)系。

正是因?yàn)闇\層聯(lián)系的存在，深層化是數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系的旨?xì)w。它是指教師將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)地融入自己所選定的生活場(chǎng)景之中。如一位教師在執(zhí)教《平面直角坐標(biāo)系》一節(jié)時(shí)，在課上有意識(shí)地提出了三個(gè)問(wèn)題：（1）如果向東走3米記作+3，則向東走5米記作 ;（2）如果向東走3米接著左轉(zhuǎn)向北走2米，如何標(biāo)記終點(diǎn)與起點(diǎn)的關(guān)系？（3）誰(shuí)能找出生活中更多的只用數(shù)軸不能表示出位置關(guān)系的問(wèn)題？學(xué)生通過(guò)觀察思考，會(huì)提出大量的問(wèn)題。不但有課本中舉例所說(shuō)的溫度變化和找座位的問(wèn)題，而且也有生活中大量存在的此類問(wèn)題，像確定教室內(nèi)電扇、電燈、窗格、地板磚的位置，課本中某個(gè)字的位置，生活小區(qū)中兩樓之間的位置等等。正如上述所說(shuō)，能否將生活與數(shù)學(xué)進(jìn)行深層聯(lián)系取決于教師能否從生活的角度來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)然，這里的生活并不是完整的、實(shí)在的現(xiàn)實(shí)生活，它一定是教師選擇和加工過(guò)的生活，而且他選擇和加工的路徑是從生活到數(shù)學(xué)，而不是從數(shù)學(xué)到生活。因?yàn)樯畹綌?shù)學(xué)可能只是限定生活的某些方面抑或理想化生活的某些方面，而從數(shù)學(xué)到生活，有可能只是從數(shù)學(xué)來(lái)構(gòu)建所需要的生活，這兩種不同的路徑?jīng)Q定了生活的真實(shí)性，進(jìn)而也影響了數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的深度。

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【基金項(xiàng)目】2011年度江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃重大課題（A/2011/08）：基礎(chǔ)教育課程改革重大理論與實(shí)踐問(wèn)題的深化研究