關(guān)注知識縱向聯(lián)系 提升數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵

葉茂恒+章勤瓊

【摘 要】針對當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中忽視知識縱向聯(lián)系的現(xiàn)象，結(jié)合具體案例，從“引發(fā)教與學(xué)”“拓寬課堂教學(xué)”以及“深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”三方面提出如何在課堂教學(xué)中運用縱向知識聯(lián)系構(gòu)建“數(shù)學(xué)味”課堂，以期引起教師關(guān)注以數(shù)學(xué)知識與思想方法為核心元素的課堂教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);縱向聯(lián)系;引發(fā)教與學(xué);拓寬課堂;深化學(xué)習(xí)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0011-04

【作者簡介】1.葉茂恒，浙江省溫州市第十七中學(xué)（浙江溫州，325000）教師，中學(xué)高級教師;2.章勤瓊，溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院（浙江溫州，325035）教育學(xué)博士，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士后。

新課改以來，一方面由于教材的改編，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈螺旋式上升設(shè)計，教材的各章節(jié)之間似乎缺少了直接的聯(lián)系銜接，而部分教師的教學(xué)計劃缺少整體性，沒有課程設(shè)計，導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識前后之間失聯(lián);另一方面，新課改倡導(dǎo)情境教學(xué)，由于部分教師對情境教學(xué)的理解偏差，以至于教學(xué)中過于強調(diào)生活情境的設(shè)計，個別數(shù)學(xué)課堂“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象嚴(yán)重。事實上，數(shù)學(xué)教學(xué)在注重與生活實際相聯(lián)系的同時，不應(yīng)該離開數(shù)學(xué)本質(zhì)，更應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展，加強知識的縱向聯(lián)系。具體而言，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中知識的縱向聯(lián)系的運用可以從“引發(fā)教與學(xué)”“拓寬課堂教學(xué)”以及“深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”這三個方面展開，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更豐富，更有內(nèi)涵。

一、引發(fā)“教”與“學(xué)”

數(shù)學(xué)知識的發(fā)展，一般有兩種方式：縱向數(shù)學(xué)化和橫向數(shù)學(xué)化。除了來自于實際問題的抽象、建模等方式形成的數(shù)學(xué)知識外，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的發(fā)展是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯演進的。隨著課改的推進，數(shù)學(xué)教學(xué)漸漸開始關(guān)注數(shù)學(xué)的本源，認(rèn)識到數(shù)學(xué)內(nèi)部情境的價值與意義，關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系點，有些知識的教學(xué)，以數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系為契機的導(dǎo)入更加有“數(shù)學(xué)味”，更為突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，更為符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律。

（一）正向推演。

數(shù)學(xué)知識的形成往往建立在以往的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上，如平方差公式、完全平方公式的形成，來自于多項式的乘法法則的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，是整式乘法演化的結(jié)果。因此在平方差的教學(xué)過程中，不一定要等積變形導(dǎo)入。事實上，在教學(xué)中許多學(xué)生對這節(jié)課為什么要用等積變形引出，是如何想到構(gòu)造兩個面積相等的圖形來說明平方差公式的，很是迷茫，有種被教師牽著鼻子走的感覺。因此，對于平方差公式的教學(xué)不妨基于上節(jié)課的整式乘法應(yīng)用導(dǎo)入，在上一節(jié)課的基礎(chǔ)之上進一步推演數(shù)學(xué)公式或法則，善用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識。如在平方差公式導(dǎo)入時，可以提供幾個形如“（a+b）（a-b）”的算式先讓學(xué)生應(yīng)用整式乘法法則運算，然后引導(dǎo)學(xué)生思考這些運算式與結(jié)果的共性特征，以及這種特征是什么原因形成的，師生共同發(fā)現(xiàn)并歸納出平方差公式，并結(jié)合圖形驗證。這種設(shè)計似乎“平淡無奇”，然而正是因為符合數(shù)學(xué)知識的形成規(guī)律，才會顯得自然，課堂教學(xué)的目的不是為了讓聽課教師耳目一新，而是應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律。

（二）逆向回溯。

很多數(shù)學(xué)規(guī)律可以通過逆向分析，從而發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，對已有命題進行逆命題分析就是很好的數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的方法。許多性質(zhì)或判定定理都存在逆定理，如勾股定理、平行四邊形性質(zhì)定理等等，這種前后知識之間的互逆關(guān)系常是直接明了而又高效的課堂導(dǎo)入的依據(jù)。如在引入因式分解的教學(xué)時，先呈現(xiàn)兩個問題：

（1）若a=1999，b=2001，請直接代入并計算下列各式的值。

①a（a+1）= ;②（a+b）（a-b）= ;③（a+1）2= 。

（2）若a=1999，b=2001，請直接代入并計算下列各式的值。

①a2+a= ;②a2-b2= ;③a2+2a+1= 。

然后思考這兩問中計算結(jié)果有何聯(lián)系，運算式有何聯(lián)系，還可以進一步引導(dǎo)體會學(xué)習(xí)因式分解的必要性及其與整式乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系。在整式乘法的基礎(chǔ)之上逆向回溯，對于剛學(xué)過整式乘法的學(xué)生而言可謂水到渠成，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力，這種能力是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的主要方法之一。

（三）類比生成。

一些數(shù)學(xué)知識之間存在類似性，如數(shù)的運算與代數(shù)式的運算之間存在很多類似性質(zhì)，如分配律在數(shù)運算與在代數(shù)式的運算上具有一致性，此類性質(zhì)的教學(xué)可以類比生成。如分式的加減運算就可以由分?jǐn)?shù)的加減運算類比而來。

如在分式的運算第一課時的深入教學(xué)時，可以呈現(xiàn)幾組同分母分?jǐn)?shù)的運算式，并回顧同分母分?jǐn)?shù)相加減法則，再將原分?jǐn)?shù)中的字母換成含字母的整式，經(jīng)過類比，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)同分母分式相加減的法則。

（四）對比差異。

一些數(shù)學(xué)知識之間具有一定的從屬關(guān)系，如矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，是平行四邊形的特殊化圖形，其學(xué)習(xí)可以建立在平行四邊形的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上。學(xué)生有了平行四邊形的研究經(jīng)驗，可以類似于平行四邊形從角、邊、對角線、對稱性、性質(zhì)、判定等方面去研究這些特殊圖形，結(jié)合特殊化的條件，經(jīng)過對比研究，去發(fā)現(xiàn)特殊性質(zhì)。如正方形一課的學(xué)習(xí)，就可以在矩形與菱形的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上進行對比差異研究。可先引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的特殊平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生思考有沒有比矩形與菱形更為特殊的四邊形，結(jié)合矩形與菱形的定義，引導(dǎo)學(xué)生對正方形下定義，然后結(jié)合已有的矩形與菱形的研究方法，從角、邊、對角線、對稱性等方面比較平行四邊形、矩形、菱形與正方形的性質(zhì)與判定之間的異同點，最后完成圖1，實現(xiàn)正方形的判定方法的整理。

圖1

二、拓寬課堂教學(xué)

（一）梳理數(shù)學(xué)知識的不同形態(tài)下的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一性。

初中數(shù)學(xué)的很多相關(guān)概念分散在不同章節(jié)之中，或者教材之中只是出現(xiàn)某種特殊圖形的概念，還有一些相關(guān)的類似概念沒在教材中出現(xiàn)，在教學(xué)中可以通過梳理，一方面拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野，另一方面使得數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更為統(tǒng)一協(xié)調(diào)。以中位線為例，三角形中位線與梯形的中位線有著不同的形式與特有的性質(zhì)，但同時它們也存在關(guān)聯(lián)性，為了拓展課堂教學(xué)，不妨將平行四邊形的中位線定義為取對邊中線的連線段，這樣中位線就有了圖2中的幾種形式。

在教學(xué)中，可以利用幾何畫板的動態(tài)演示，將三角形、梯形、平行四邊形、X形圖的中位線通過動態(tài)展示它們之間的相互聯(lián)系，感受它們在不同圖形中的統(tǒng)一結(jié)論：中位線EF=，其中三角形可以看成上底AD為0，而平行四邊形則是上下底相等，X形從AD變?yōu)镈A，此外，還可結(jié)合數(shù)軸解釋從正到負(fù)的變化。

圖2

（二）整理不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)知識的整體性。

同一領(lǐng)域內(nèi)的數(shù)學(xué)知識在教材中的分布可能是分散的，但本質(zhì)上又存在聯(lián)系。在螺旋式的學(xué)習(xí)進程中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，在教學(xué)設(shè)計時教師就應(yīng)當(dāng)關(guān)注它們之間的聯(lián)系，如方程、不等式及函數(shù)之間的聯(lián)系，它們都是基于代數(shù)式，在代數(shù)式的教學(xué)中教師就應(yīng)當(dāng)整體把握方程設(shè)計。當(dāng)代數(shù)式值取某一常數(shù)時，即得方程;取一范圍之值時，即有不等式;代數(shù)式字母值變化時，值也隨之變化，即有函數(shù)的思想在其中。在學(xué)習(xí)代數(shù)式的值時，可以通過問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生感悟這種內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)知識不是孤立的，而是整體連續(xù)的。

有了此種整體觀的學(xué)生，今后在學(xué)習(xí)二次函數(shù)等其他函數(shù)時，將會站得更高，以更全面的角度看待函數(shù)及方程、不等式之間的關(guān)系，而這種關(guān)系也為學(xué)生將來高中的二次不等式的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

（三）聯(lián)合運用數(shù)學(xué)知識解決生活問題，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的綜合性。

數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)不只是在一個主題概念中產(chǎn)生，也不只是在一個領(lǐng)域內(nèi)有些聯(lián)系，事實上，不同領(lǐng)域或不同學(xué)科之間都存在聯(lián)系。其中綜合實踐活動是將不同數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系起來的一座橋梁，在教學(xué)過程中，可以通過相關(guān)的課題學(xué)習(xí)或活動設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識于生活之中，一方面感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，另一方面加深對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識。隨著對綜合實踐活動認(rèn)識的提高，綜合數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的問題也豐富起來。如在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計、三角函數(shù)、代數(shù)式等知識后，可引導(dǎo)學(xué)生開展如下形式的綜合性教學(xué)活動。

1.問題呈現(xiàn)。

如圖，A、B、C是三個垃圾存放點，點B、C分別位于點A的正北和正東方向，AC=100米，某實踐活動小組四人分別測得∠C的度數(shù)如表1。

表1 活動小組測得∠C的數(shù)據(jù)

他們又調(diào)查了各點的垃圾量，并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計圖，分別如圖3、圖4、圖5。

圖3：垃圾存放點 圖4：垃圾量統(tǒng)計一

圖5：垃圾量統(tǒng)計二

現(xiàn)要將A處的垃圾沿道路AB都運到B處，已知運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，求運垃圾所需的費用。

2.思考。

（1）在問題解決過程中，你用到哪些數(shù)學(xué)知識？

（2）為什么∠C的測量各不相同，你如何處理不同的測量結(jié)果？

（3）你覺得四人分別測量并進行后期數(shù)據(jù)處理的方式有什么現(xiàn)實意義？

3.請你與同伴組建小組，設(shè)計一個安全可靠的測量“世紀(jì)之光”的高度的方案，并完成方案實測。

問題取材于2014年河北省中考試題，通過模擬現(xiàn)實情境，創(chuàng)設(shè)一個集統(tǒng)計、測量、三角函數(shù)等多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用問題，通過問題的解決，不僅聯(lián)系各種數(shù)學(xué)知識，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用的價值，為今后的社會生活提供應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

三、深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

（一）梳理章節(jié)相關(guān)知識點，豐富基本結(jié)論。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，更是對數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造，通過同類的數(shù)學(xué)問題尋求聯(lián)系點，重建數(shù)學(xué)基本圖形與結(jié)論，整合相關(guān)數(shù)學(xué)知識點，“創(chuàng)造”新知識。如在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時，垂徑定理中常會歸納出一個“弦的一半（），表示弦心距的垂線段（d），半徑（r）三者所構(gòu)成的直角三角形”的基本圖形（如圖6），而圓周角與圓心角是“圓”的核心知識點，將三者聯(lián)系起來，我們可以豐富原有的基本圖形與結(jié)論。

在圖7和圖8中有∠D=∠O，圖9中有∠D=180°-∠O，三個圖中都存在sin∠D=sin∠O。應(yīng)用這些結(jié)論，可以更好地解決一些數(shù)學(xué)問題。

問題呈現(xiàn)：（2012寧波）如圖10，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為 。

解：本題圖中有圓周角∠BAC=60°，弦EF，聯(lián)系基本圖形，連結(jié)OE、OF，作OH⊥EF（如圖11），可得△OEH是一個含60°角的直角三角形，于是OE∶EH=2∶■，從而有OE∶EF=1∶■，即EF=■r=■AD。當(dāng)AD⊥BC時，AD有最小值為2，故線段EF長度的最小值為■。

〓〓〓

〓〓〓

（二）聯(lián)系同類數(shù)學(xué)知識，豐富相關(guān)知識外延。

同類的數(shù)學(xué)知識往往具有共通性，它們之間存在豐富的內(nèi)在聯(lián)系，如一次方程、二次方程的知識與解決的思想方法都存在相關(guān)聯(lián)系，有時將它們相結(jié)合會產(chǎn)生更豐富的數(shù)學(xué)結(jié)論。又如八年級上冊學(xué)習(xí)的一次函數(shù)圖象與八年級下冊的反比例函數(shù)圖象結(jié)合就可以產(chǎn)生很多有趣的結(jié)論。

如圖12，已知直線y=ax+b（a<0）與雙曲線y=■（k>0）的第一象限分支交于A、B兩點，交y軸、x軸于C、D兩點，則有：①AC=BD;②△ACE≌△BDH;③FG//CD。

同時，引導(dǎo)學(xué)生說明結(jié)論成立的理由，并思考：若直線y=ax+b（a<0）與雙曲線y=（k>0）的兩個分支分別交于A、B兩點，交y軸、x軸于C、D兩點，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由。通過類似的方式，可以通過縱向聯(lián)系不斷豐富數(shù)學(xué)知識。

（三）聯(lián)系不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，豐富問題解決途徑。

不同領(lǐng)域之間的數(shù)學(xué)知識往往可以相互補充，尤其是幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合思想就是一個典型的體現(xiàn)，幾何問題常常用代數(shù)方法解決，代數(shù)問題也可以用幾何方法來解釋。

問題呈現(xiàn)：如圖13，兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠C=∠E=90°，BC=DE=6，AC=EF=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE⊥BC于M，DF交AC于點N，此時重疊部分（陰影）的面積是 。

幾何法解答。

如圖14，連接BN，設(shè)CN=x，結(jié)合勾股定理求得：x=，∴S==。

解析法解答。

如圖15，將原圖旋轉(zhuǎn)，便于建立直角坐標(biāo)系，由幾何方法先求得點F（2，8），D（-4，0），求直線DF的解析式得：y=x+。又點N縱坐標(biāo)為3，∴3=x+，解得：x=-，即CN=，∴S==。

數(shù)學(xué)知識的縱向聯(lián)系不僅是知識之間的聯(lián)系，更是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)連續(xù)性與整體性的體現(xiàn)，已學(xué)的數(shù)學(xué)知識可以為新知奠定基礎(chǔ)，新知可以深化已學(xué)的知識，兩者可以相互促進。教師在課堂教學(xué)與引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)中，對前后知識要關(guān)注整體性、統(tǒng)一性、綜合性。這樣才能更好地教好數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，未來才有可能創(chuàng)新數(shù)學(xué)。

【參考文獻】

[1]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考[J].數(shù)學(xué)通報，2013（06）.

[2]劉華.追求邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)——以“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2015（03）.

[3]魏光明.長程設(shè)計：關(guān)注階段性和一致性[J].江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2014（05）.