關(guān)于函數(shù)切線方程問題的探究

張池

摘要：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線方程，以及利用切線方程解決函數(shù)相關(guān)問題，是高考中的熱點問題。如何高效地解決相關(guān)問題，并達到事半功倍的效果，就要求我們掌握解題的規(guī)律，提升分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新、探究的能力。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；切線方程；問題探究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）11-0080

在本文中，筆者通過我們學習中常遇到的數(shù)學題型，加以分析、歸納，一起來探究、總結(jié)規(guī)律，掌握解題方法。

題目：已知曲線y= x2+

①求曲線在點p（2，4）處的切線方程。

②斜率為4的曲線的切線方程。

分析：①曲線在點p（2，4）處的切線方程，點p即為切點。下面只需利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的斜率，再運用點斜式即可以求出切線方程。②斜率為4的曲線的切線方程，則需要求出切點，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是斜率，我們可以利用導(dǎo)數(shù)求出切點坐標，再運用點斜式即可以求出切線方程。

解①∵P（2，4）在曲線y= x2+ 上，且x′=x2

∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=4.

∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.

②設(shè)切點為（x0，y0），則切線的斜率k=x20=4，x0=±2

切點為（2，4）或-2，- ，

∴切線方程為y-4=4（x-2）或y+ =4（x+2），

即4x-y-4=0或12x-3y+20=0.

評析：本題主要考查了切線方程的求解。①是已知切點缺斜率，②是已知斜率缺切點。只需求出所缺量，利用直線方程公式求出即可。

變式1：探究：若將本例①中“在點P（2，4）”改為“過點P（2，4）”如何求解？

分析：雖然此時點P（2，4）在曲線上，但要注意過點P（2，4），此點就不一定為切點，所以求切線方程就需確定切點和斜率。設(shè)切點，求切線方程，在將點代入求解。

解：設(shè)曲線y= x3+ 與過點P（2，4）的切線相切于點Ax0， x30+

則切線的斜率k=x30

∴切線方程為y- x30+ =x30（x-x0），即y=x20·x- x30+ .

∵點P（2，4）在切線上，

∴4=2x20- x30+ ，即x30-3x20+4=0

∴x30+x20-4x20+4=0.

∴x20（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0

∴（x0+1）（x0-2）2=0.解得x0=-1或x0=2.

故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0。

評析：本題主要考查了切線方程的求解。當切點坐標不知道時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標，再求解。此處，為什么不設(shè)斜率呢？因為設(shè)斜率，運算較為復(fù)雜，不易求解。

通過原題及變式1，我們可以進行探究：

1. 曲線y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線與過點P（x0，y0）的切線，兩種說法有無區(qū)別？

（1）曲線y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線是指P點為切點，斜率為k=f′（x0）的切線，是惟一的一條切線。

（2）曲線y=f（x）過點P（x0，y0）的切線，是指切線經(jīng)過P點。點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條。

2. 求曲線切線方程的步驟

（1）求出函數(shù)y=f（x）在點x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率；

（2）由點斜式方程求得切線方程為y-y0=f′（x0）·（x-x0）。

3. 對于一道數(shù)學問題，如果我們將其中某些確定的數(shù)字改為參數(shù)，原曲線就變?yōu)閯忧€，就將原問題置于開放的、具有動感的系統(tǒng)中，就像賦予新的生命一樣，下面我們來看變式：

變式2：已知a為常數(shù)，若曲線y=ax3+ ，直線4x-y-4=0與曲線相切，則實數(shù)a的值？

分析：本題已知切線方程，求a的值。同樣切點不知道，所以我們可以通過設(shè)出切點，再根據(jù)切點在曲線上也在直線上以及切點處的斜率就是斜線的斜率，構(gòu)造方程組求解。

解：設(shè)切點為（x0，y0），

由題意可知ax20+ =4x0-44x20=4

解得x0=2a=

評析：本題利用切線方程，求參量的值。

變式2使曲線動了，如果我們再賦直線于動態(tài)之中，又將如何呢？

變式3：已知a為常數(shù)，若曲線y=ax2+3x-lnx存在與直線4x-y-4=0平行的直線與曲線相切，求實數(shù)a的取值范圍？

分析：存在斜率為4的直線與曲線相切，即曲線上某點的導(dǎo)數(shù)等于4方程有解。

解：由題意知曲線上存在某點的導(dǎo)數(shù)為4，

所以y′=2ax+3- =4有正根，

即2ax2-x-1=0有正根.

當a>0時，曲線過定點（0，-1）顯然滿足題意；

當a=0時，x=-1顯然不滿足題意

當a<0時，對稱軸x= <0，過點（0，-1）此時無正根。

綜上，a>0。

評析：本題考查了利用切線斜率求參量的范圍。曲線、直線都是動的，在動中要抓住定。解決本題的關(guān)鍵就是曲線過定點（0，-1），切線的斜率為定值。定點問題是高考考查的熱點問題，定點問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，不受變量所影響的某個點，就是要求的定點。

前面介紹的是一條直線和一個曲線相切的變化關(guān)系，如果是一條直線與兩個曲線都相切，那又將如何呢？下面我們繼續(xù)來看變式。

變式4：若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x3和y=ax2+ x-9都相切，則a等？

分析：由過點（1，0）且與曲線y=x3相切，可以求出切線方程，再由切線方程求出參量a的值。

解：設(shè)過（1，0）的直線與y=x3相切于點（x0，x30），所以切線方程為y-x30=3x30（x-x0），即y=3x30x-2x30，又（1，0）在切線上，則x0=0或x0= ，

當x0=0時，由y=0與y=ax2+ x-9相切可得a=- ；

當x0= 時，由y= x- 與y=ax2+ x-9相切可得a=-1；

評析：本題主要考查了切線方程的求解，利用切線方程，求參量的值。可以看成是變式1與變式2的綜合。

前面介紹的只有一個參量，如果有兩個參量，那又將如何呢？探究到這里，是不是很有意思，下面我們繼續(xù)來看變式。

變式5：若直線y= x+b是曲線y=alnx（x>0）的切線，則當a>0時，實數(shù)b的最小值？

分析：直線與方程相切不知切點，設(shè)切點，根據(jù)切點在曲線上也在直線上以及切點處的斜率就是斜線的斜率，構(gòu)造方程組求出b。再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值。

解：設(shè)切點為（x0，y0），

由題意可知 x0+b=alnx0 =

∴b=alnx0- x0= x0lnx0- x0

令f（x）= xlnx- x

f′（x）= （lnx+1）- = lnx

令f′（x）=0 則x=1

當x∈（0，1）時f′（x）<0 ，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減

當x∈（1，+∞）時f′（x）>0 ，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增

∴f（x）的最小值為- ，即實數(shù)b的最小值為-

評析：本題主要考查了切線方程，函數(shù)最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運用。

規(guī)律探究：解決切線方程有關(guān)的問題時，應(yīng)重點注意以下幾點：

①首先確定已知點是否為曲線的切點是解題的關(guān)鍵；

②當切點坐標不知道時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標，再求解.

③抓住題目的關(guān)鍵點是解決此類問題的保證；

④熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問題的前提。

當然，我們還有許多其他的變形方式，進行進一步探究。有興趣的，可以進一步嘗試。

我們通過不斷的變化、探究，逐步深入地解決函數(shù)切線的相關(guān)問題，并引入?yún)⒘浚言}不斷地升華。以這樣的方式學習，不但可以激發(fā)學習的興趣，而且學習的效果一定是高效的。

（作者單位：江蘇省興化市周莊高級中學 225700）