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    不確定載荷下剛架體結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

    2015-08-23 09:37:06楊繼超戴宗妙
    關(guān)鍵詞:剛架穩(wěn)健性桿件

    楊繼超,戴宗妙

    (1.哈爾濱工程大學(xué)機電工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001;2.中國船舶重工集團公司第七一三研究所,河南鄭州450015)

    優(yōu)化設(shè)計是指在特定約束條件下,獲得結(jié)構(gòu)某種性能指標(biāo)(如體積、質(zhì)量或擾度等)最優(yōu)。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計,往往建立在確定性模型基礎(chǔ)上,沒有考慮變量參數(shù)實際值與名義值存在的差異,得到的優(yōu)化解位于可行域邊界。當(dāng)實際工程中變量參數(shù)(如載荷)發(fā)生擾動時,理論最優(yōu)解很可能落在不可行區(qū)域,給設(shè)計帶來潛在風(fēng)險。針對工程設(shè)計中不確定性,國內(nèi)外學(xué)者提出許多設(shè)計理論和方法。其中穩(wěn)健設(shè)計基本思想是在不消除不確定性源的前提下,提高產(chǎn)品對不確定因素抵抗力[1]。結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化一個難點是對不確定性力的分析及對優(yōu)化過程影響,即建立不確定性優(yōu)化模型。

    目前,基于概率不確定模型應(yīng)用比較成熟。文獻[2-4]通過構(gòu)造約束和目標(biāo)函數(shù)靈敏度分析,進行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計;文獻[5]采用Kriging模型,建立以目標(biāo)性能指標(biāo)均值和方差為優(yōu)化目的優(yōu)化模型;文獻[6]將穩(wěn)健優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成多目標(biāo)優(yōu)化問題,對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計;為了提高計算效率,文獻[7]基于隨機響應(yīng)量前四階矩建立穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型?;诟怕誓P头椒ㄐ枰罅繕颖緮?shù)據(jù)估算參數(shù)的不確定度或分布函數(shù),而這些數(shù)據(jù)在實際工程中往往很難實現(xiàn)。然而獲得不確定因素的邊界,是相對容易的。非概率方法就是根據(jù)不確定參數(shù)未知但有界的特點進行建模。文獻[8-10]提出了基于凸集理論的非概率不確定模型分析方法,對結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)健性分析。文獻[11]在非概率凸模型可靠性約束下,通過超橢球域界定不確定參量,進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。文獻[12-13]運用區(qū)間模型對不確定性參數(shù)進行非概率性描述,建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)計方法。目前,在集合理論凸模型中,大多方法都是求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)上下界解析解的近似值[14];對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu),區(qū)間模型計算量往往非常大,計算效率低下甚至無法實行。

    20世紀(jì)90年代,Ben-Haim提出非概率Information-Gap(I-G)理論描述不確定性模型,并以系統(tǒng)承受最大不確定性波動作為評價結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性的指標(biāo)。文獻[15-16]給出了非概率的I-G模型處理不確定性的理論方法,文獻[17-18]基于I-G理論,對地下結(jié)構(gòu)在非確定因素影響下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性進行分析。為此,本文針對剛架體結(jié)構(gòu)承受不確定載荷特點,引入I-G理論,建立結(jié)構(gòu)非概率穩(wěn)健性模型,并結(jié)合優(yōu)化設(shè)計方法,對剛架體結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計,提高對不確定因素的抵抗能力。

    1 不確定載荷I-G模型

    1.1 剛架體應(yīng)力約束方程

    在實際工程中,剛架體結(jié)構(gòu)通常會受到不確定載荷作用,且結(jié)構(gòu)需要滿足最基本應(yīng)力約束要求。令一個線彈性的三維剛架體結(jié)構(gòu)自由度為n,則系統(tǒng)平衡方程為

    式中:u∈Rn和f∈Rn分別表示節(jié)點的位移和外載荷矢量,K∈Sn為剛度矩陣。對于有m個桿件的剛架體結(jié)構(gòu),桿截面積a=(ai)∈Rm,則K可以寫成如下形式:

    式中:b=(bij)∈Rn是常向量。則由上述關(guān)系式,應(yīng)力約束方程為

    式中:E表示彈性模量,表示第i桿許用應(yīng)力。根據(jù)位移表示約束方程,則有

    式中:dl∈R,常量vl∈R。為了保證剛架體結(jié)構(gòu)的安全穩(wěn)定,桿件必須滿足式(3)或式(4)。當(dāng)上述約束關(guān)系式滿足時,不確定變量允許一定的變化幅度。這里通過穩(wěn)健函數(shù)來度量,它與影響剛度矩陣的桿截面積和不確定程度相關(guān)。

    1.2 不確定性因素I-G分析

    I-G模型是由凸集理論基礎(chǔ)發(fā)展而來。根據(jù)I-G理論,不確定度是采用已知信息與未知信息的偏離程度或斷缺狀態(tài)描述。由于外在環(huán)境的不可控性以及所需解決問題信息掌握貧乏,結(jié)合剛架體結(jié)構(gòu)特點,建立不確定性影響因素的I-G模型。不確定參數(shù)不確定性程度可表達為[17]

    式(6)表明,當(dāng)不考慮載荷不確定性(α=0)時,名義載荷即為實際載荷f,I-G模型退化成確定性模型。式(7)表明,不確定參數(shù)α決定不確定因素真實值和名義值之間的偏離程度,當(dāng)α小時,和f越接近;反之偏離程度大。相比較其他非概率模型,如固定區(qū)間模型或凸集模型,I-G模型U(α,)的嵌套凸集特性能更好反應(yīng)不確定性載荷的動態(tài)變化。

    1.3 基于I-G模型穩(wěn)健函數(shù)構(gòu)造

    穩(wěn)健性反映結(jié)構(gòu)對不確定性因素的抵抗程度,如果結(jié)構(gòu)能夠允許較大不確定性變化而不失效,就認(rèn)為該結(jié)構(gòu)穩(wěn)健強。上一節(jié),建立了不確定載荷的I-G模型,定義參數(shù)α表示不確定性變化幅度。

    在滿足約束條件式(3)或(4)的前提下,結(jié)合I-G理論,剛架體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的平衡方程(1)所有可能解集可表示成

    結(jié)合式(4)、(8),式(9)的最優(yōu)規(guī)劃問題可表示為

    式(10)即為穩(wěn)健函數(shù)。對于兩組不同剛架體截面積向量a1∈Rn和a2∈Rn,如果則a1比a2穩(wěn)健。

    2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化模型

    2.1 一般優(yōu)化模型形式

    傳統(tǒng)的確定性問題數(shù)學(xué)優(yōu)化模型可以表示為

    式中:f(x)為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù),x優(yōu)化設(shè)計變量;gi(x)和n分別為約束條件以及約束條件數(shù)量;x1、x2為設(shè)計變量的取值范圍。

    當(dāng)存在不確定因素時,結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化不但要考慮不確定因素對優(yōu)化模型的影響,還要考慮目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)健性,即能抵御不確定因素的影響。結(jié)合上一節(jié)的分析,注意到穩(wěn)健函數(shù)值大的結(jié)構(gòu)更為強健。基于優(yōu)化理論,建立穩(wěn)健函數(shù)最大化問題的優(yōu)化模型??紤]結(jié)構(gòu)體積(質(zhì)量)約束條件,橫截面向量a應(yīng)該滿足:

    式中:li>0 表示第i個桿長,為體積上限。對限定的位移uc和,應(yīng)力約束下魯棒函數(shù)最大化問題優(yōu)化模型可以寫為

    優(yōu)化目標(biāo)為穩(wěn)健性函數(shù)最優(yōu),即結(jié)構(gòu)抵抗不確定性載荷最大化。

    2.2 半定規(guī)劃模型

    上述過程中,基于I-G模型處理不確定載荷,則載荷集中包含無窮多載荷,常規(guī)方法很難對上式進行求解。因此通過半定規(guī)劃對穩(wěn)健優(yōu)化模型進行重新構(gòu)造。傳統(tǒng)半定規(guī)劃的數(shù)學(xué)形式為[14]

    式中 c,x∈Rn,F(xiàn)i(i=0,…,n)為n階常對稱矩陣,x 為設(shè)計變量,矩陣F(x)?0為正定。

    結(jié)合本文優(yōu)化模型式(13),令F?Rn表示滿足上述應(yīng)力約束(4)的力集合:

    進行如下定義:

    其中,p,t∈R,a∈Rm。將新參數(shù)(t,p)引入穩(wěn)健函數(shù)(a,uc)中,則可以得到:

    半定規(guī)劃算法有成熟的商業(yè)計算軟件包,可直接方便快捷調(diào)用,避免如牛頓法那樣推導(dǎo)雅可比矩陣和海森堡矩陣。

    3 數(shù)值仿真

    3.1 三桿系穩(wěn)健性優(yōu)化

    考慮如圖1所示的三桿件架體。其形式為對稱結(jié)構(gòu),桿件個數(shù)和自由度分別為m=3,n=2。為了結(jié)果分析方便,這里將單位歸一化處理。桿件3的長度l3=15且垂直于水平方向,θ=45°。桿件所受力狀態(tài)如圖1所示,名義載荷大小為100。考慮應(yīng)力約束式(3)=3.0(i=1,2,3)。設(shè)定結(jié)構(gòu)初始變量為a0=(20,20,20),以a=a0時結(jié)構(gòu)體積為基準(zhǔn),則結(jié)構(gòu)體積約束為≤1 148.53。

    圖1 三桿架體Fig.1 3-bar structure

    已知初始變量值a0,對式(18)進行求解,得到(a0,σc)=0.822。通過半定規(guī)劃模型式(19),對架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計,得到優(yōu)化迭代過程如表1。

    表1 優(yōu)化迭代過程Table 1 Iteration history of the optimization

    對結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)a0進行分析。隨機產(chǎn)生一組力f,使其落在穩(wěn)健函數(shù)(a0,σc)限定的不確定載荷集之中。則結(jié)構(gòu)中桿件應(yīng)力σi(i=1,2,3)分布狀態(tài)如圖2所示。

    經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn),桿件3在應(yīng)力σ3=3.0附近有分布,而桿件1(或桿件2)應(yīng)力值始終沒有發(fā)揮最大功效。

    剛架經(jīng)過優(yōu)化后,最優(yōu)解為a=a*,經(jīng)過計算和分析,得到結(jié)構(gòu)桿件應(yīng)力σi(i=1,2,3)分布狀態(tài)如圖3所示。其中,應(yīng)力約束σi≤σc(i=1,2,3)在3個桿件中均產(chǎn)生作用,優(yōu)化后改善了結(jié)構(gòu)性能,最大程度發(fā)揮了剛架體結(jié)構(gòu)的潛力。

    圖2 當(dāng)a=a0時桿件應(yīng)力分布Fig.2 Stress states of the 3-barstructure with a=a0

    圖3 當(dāng)a=a*時桿件應(yīng)力分布Fig.3 Stress states of the 3-barstructure with a=a*

    3.2 多桿系剛架體結(jié)構(gòu)

    如圖4所示多桿架體結(jié)構(gòu),桿件個數(shù)和自由度分別為m=100,n=90。桿件在x軸和z軸方向的長度均為100,在y軸方向有桿長100和30(即中部連接處短桿)2種規(guī)格,其余為連接斜桿。結(jié)構(gòu)底座完全約束。載荷作用于如圖4所示位置,垂直方向載荷名義值為=(0,10,0);水平方向名義值=(2,0,0)。

    圖4 多桿架結(jié)構(gòu)Fig.4 Complex frame structure

    圖5 架體優(yōu)化設(shè)計Fig.5 Optimal design of the frame structure

    為了驗證優(yōu)化結(jié)果,觀察后標(biāo)記如圖6所示,對部分桿件進行分析。當(dāng)結(jié)構(gòu)中a=a0和a=a*時,產(chǎn)生一組隨機攝動載荷分別滿足應(yīng)力約束式(3)要求。

    圖6 架體平面結(jié)構(gòu)Fig.6 2-D structure of the frame structure

    圖7 隨機攝動載荷下最大應(yīng)力Fig.7 Fluctuation stress under random loading

    圖7表示優(yōu)化前后對比,即對應(yīng)a=a0、a*時,圖6中標(biāo)記對應(yīng)桿桿件最大應(yīng)力變化范圍。其中淺色為設(shè)計變量初始取值,深色為優(yōu)化后取值。通過觀察發(fā)現(xiàn),優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在隨機攝動載荷下,最大應(yīng)力變化幅值總體上小于優(yōu)化前,結(jié)構(gòu)保持較大的安全富裕度,能更好抵抗不確定載荷的影響。

    4 結(jié)束語

    本文基于穩(wěn)健性函數(shù)構(gòu)建了剛架體結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化算法。該方法充分考慮了載荷的不確定因素,利用I-G理論處理不確定載荷,構(gòu)造應(yīng)力約束下的穩(wěn)健性函數(shù)最大值優(yōu)化模型,利用半定規(guī)劃松弛技術(shù)重新將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成半定規(guī)劃問題,降低工程設(shè)計人員求解的難度,提高求解效率。通過數(shù)值仿真可以發(fā)現(xiàn)在優(yōu)化過程中約束條件發(fā)揮作用,在同等體積(質(zhì)量)條件下,雖結(jié)構(gòu)局部一些桿件應(yīng)力有所增加,但總體應(yīng)力狀態(tài)得到改善,提高了結(jié)構(gòu)抗擾動載荷的能力。

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