基于一般分布總體的統(tǒng)計量的漸近分布

周菊玲， 周雅琦（.新疆師范大學數學科學學院，新疆烏魯木齊830054；.上海財經大學上海00433）

基于一般分布總體的統(tǒng)計量的漸近分布

周菊玲1， 周雅琦2
（1.新疆師范大學數學科學學院，新疆烏魯木齊830054；2.上海財經大學上海200433）

在抽樣分布理論中，來自正態(tài)總體的統(tǒng)計量中，以三大重要分布為代表的一些精確的抽樣分布，它們的應用很廣，但為數不多。在其他情況下，總體為非正態(tài)總體或者總體的分布未知時，抽樣分布都不易導出，或導出過于復雜而難于應用。文章利用大樣本的方法，結合Slutsky定理，研究了來自一般總體的幾個統(tǒng)計量，推出了它們的漸近分布。

Slutsky定理；統(tǒng)計量；漸近分布；

統(tǒng)計推斷的理論與方法貫穿于現代統(tǒng)計中，抽樣分布理論是進行統(tǒng)計推斷的基礎。在抽樣分布理論中，至今已導出的χ2分布，t分布，F分布等，它們以來自正態(tài)總體、抽樣分布的精確性、應用的廣泛性、為數不多尤為重要。但在其他情況下，總體為非正態(tài)總體或者總體的分布未知時，抽樣分布都不易導出，或導出過于復雜而難于應用，這迫使人們去尋求其近似分布。文章利用大樣本的方法，結合Slutsky定理，研究了總體是一般分布或者分布未知情況下的幾種統(tǒng)計量A21、B2及其函數等，推出了它們的漸近分布。

1 預備知識

先引用幾個尋求統(tǒng)計量漸近分布的定理：

引理2 設{Zn}為一隨機變量序列，且常數，又函數g（·）在點c處連續(xù)，則g（Zn）g（c）。

引理3 設{an}為一趨于∞的數列，b為常數，并且對隨機變量序列{Zn}有an（Zn－b）Z。

又設g（·）為可微函數，且g＇在點b處連續(xù)，則有an［g（Zn）－g（b）］）Z。

引理4 設X1，X2，…，Xn是來自某總體X的一個簡單隨機樣本，總體X的均值為μ、方差為σ2，四階中心矩v4＝E（Xi－μ）4有限，則樣本方差＝（Xi－）2的漸近分布為N（）。

另外，為敘述方便，先將下文中的一些符號給予說明。

設X1，X2，…，Xn是來自某總體X的一個樣本，

2 一般分布總體的統(tǒng)計量的漸近分布

在抽樣分布理論中，正態(tài)總體是實際中經常用到的一個總體，來自該總體的χ2分布，t分布，F分布等一批精確分布，應用非常廣泛，但為數不多。相對于正態(tài)總體來說，總體為非正態(tài)總體或者總體的分布未知時，要求抽樣分布的精確分布是非常不容易的，或導出過于復雜而難于應用。下面我們利用大樣本方法，研究來自一般總體或總體分布未知時統(tǒng)計量的分布。

定理1 設X1，X2，…，Xn是來自某總體X的一個樣本，該總體具有均值μ和正的有限方差σ2，則統(tǒng)計量）的漸近分布為N（μ

由中心極限定理得：

考慮到A2＝B2＋A21，再用Slutsky定理，結合（1）式和（2）式，可得：A1＋μ2

這說明A2的漸近分布為N（σ2＋μ2。定理得證。

由定理2的證明過程知B2的漸近分布，仿照定理1和定理2的證明方法，構造合適的函數，很容易可以得到以下結論（限于篇幅，證明略）。

推論1 設X1，X2，…，Xn是來自某總體X的一個樣本，則B2的漸近分布為N（σ。其中的σ2和γ2同定理2中的。

定理3 設X1，X2，…，Xn是來自某總體X的一個樣本，總體X具有均值μ和正的有限方差σ2，則樣本均值X—的函數g＝（1－）的漸近分布為N（μ（1－μ）。

證明 由中心極限定理知：

（其中Z0為標準正態(tài)變量），

另外取函數g（z）＝z（1－z），則g＇（z）＝1－2z在（－∞，＋∞）上均連續(xù)；再取an＝σ

n，b＝μ，則由引理3得：

3 結語

綜上所述，在總體為任意分布或者分布未知的情況下，利用大樣本方法，并結合Slutsky等引理，可以得到一些統(tǒng)計量的漸近分布。而且這些方法具有可推廣的意義，只要能構造合適的函數，就可以得到更多的抽樣分布，以便進行進一步的統(tǒng)計推斷。

［1］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］韋來生.數理統(tǒng)計［M］.北京：科學出版社，2008.

［3］盛驟.概率論與數理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［4］李開燦.矩陣Γ分布的一致漸近正態(tài)性［J］.數學學報，2006，（3）.

［5］任錄順.中心極限定理及其附注［J］.紡織高校基礎科學學報，1998，（12）.

The Asym ptotic Distribution of Various Statistics Based on the General Distribution

ZHOU JU－Ling1， ZHOU Ya－Qi2
（1.College ofMath－physics and Informatinon Science，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China；2.College of Finance and Economics，Shanghai University，Shanghai，200433，China）

In sampling distribution theory，among statistics from normal population，some accurate sampling distributions represented by three important distributions arewell－used but few in number.In other cases，when the population is notnormal distribution or the distribution is unknown，sampling distributions are noteasily derived，or too hard to apply due to the sophisticated process.In this assay，with Slutsky＇s theorem and big samplemethod，we studied several statistics from common population and abtain their asymptotic distributions.

Slutsky＇s Theorem；Statistic；Asymptotic distribution

O29

A

1008?9659（2015）02?042?04

2015－03－20

周菊玲（1968－），女，新疆哈密人，碩士，副教授，主要從事應用數學的教學與研究。