關(guān)于雙星問題的幾點(diǎn)思考

王士昆

【摘要】本文從多個(gè)角度對雙星問題進(jìn)行了深入的研究。研究結(jié)果表明，建立物理模型和靈活地運(yùn)用物理方法是很重要的。這對新課標(biāo)形式下的物理教學(xué)有一定的意義。

【關(guān)鍵詞】雙星模型 圓周運(yùn)動(dòng) 束縛態(tài)

【中圖分類號】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0176-01

一、問題的提出

在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1和M2，試計(jì)算：

（1）雙星的軌道半徑；

（2）雙星的運(yùn)行周期；

（3）雙星的角速度。

（4）雙星的線速度。

二、問題的求解

分析：雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等。但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等。

對M1：G■=M■r■■ 對M■：G■=M■r■■

由幾何關(guān)系：r1+r2=L

解得r1=■L，r■=■L，

T=2π■， ω=■=■。

v■=r■ω=M■■，v■=r■ω=M■■。

推論一：質(zhì)量和M1+M2=■

推論二：v∝r∝■

a∝r∝■

（由M1r1=M2r2得r∝■，又v=rω，a=rω2，∴v∝r∝■，a∝r∝■）

三、應(yīng)用

例1：我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由天文觀察測得其運(yùn)動(dòng)周期為T，S1到C點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為 （D）

A.■ B.■ C.■ D.■

解析：雙星的運(yùn)動(dòng)周期是一樣的，選S1為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得■=m■r■■則m2=■故選項(xiàng)D正確。

例2：兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而不至于由于萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是（BD）

A.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比與其質(zhì)量成反比

B.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比與其質(zhì)量成反比

C、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與其質(zhì)量成正比

D、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成反比

提示：由推論二知BD正確。

例3：雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量為原來的k倍，雙星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（B）

A.■T B.■T C.■T D.■T

提示：由推論一知B正確。

例4：如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。

（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。

已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）

解：（1）（考題建模）

對A：■=mr（■）■①

對B：■=Mr（■）■② 解得T=2π■

對A、B：L=R+r ③

（考生建模）

a.建立雙星模型。由（1）的結(jié)論得：T=2π■④

b.建立行星模型

■=m′（■）■L′⑤ 解得T2=2π■⑥

由④⑥式得（■）2=1+■ ⑦，解得（■）2=1.012，結(jié)果只有1%的差別。

評價(jià)：同一情景建立不同模型，只要合理就不影響最后結(jié)果，因此模型越簡單越好，這就是我們經(jīng)常把地月系統(tǒng)近似為行星模型的原因。

五、總結(jié)

本文以雙星模型為載體結(jié)合近幾年高考的相關(guān)習(xí)題滲透了高考的命題思想，這對新課標(biāo)體系下的物理教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義。