用m△v=F△t變式研究洛侖茲力作用下帶電粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)

何堯榮

摘 ? 要：洛侖茲力是一個(gè)橫向力，在洛侖茲力作用下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)一直是教與學(xué)的難點(diǎn)。本文試圖從牛頓第二定律出發(fā)，比較嚴(yán)密地論證帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，以期在高中生的層面解決這一難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：洛侖茲力;圓周運(yùn)動(dòng);帶電粒子

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2015）1-0036-3

1 ? ?單一洛侖茲力作用下的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)

1.1 ? ?帶電粒子以一定的速度垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)

在xOy平面內(nèi)有垂直于平面向內(nèi)的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的帶電粒子，以v0的初速由O沿x軸正方向進(jìn)入該磁場(chǎng)（如圖1），經(jīng)過時(shí)間t，到達(dá)P（x，y），速度為v，其沿坐標(biāo)方向的分速度分別為vx和vy，則由牛頓第二定律可得：

圖1 ?帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)

在此過程中，因?yàn)橹挥新鍋銎澚Φ淖饔?，洛侖茲力與速度時(shí)刻垂直不做功，由動(dòng)能定理得：

代入整理得

可以得到軌跡方程是圓心（0，），半徑R=的圓方程。

由此可見，洛侖茲力提供了粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

周期

2 ? ?帶電粒子以與磁場(chǎng)方向成θ角進(jìn)入磁場(chǎng)

在某一空間有一個(gè)沿y軸方向的、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子從O點(diǎn)，在yOz平面內(nèi)沿與y軸成θ角進(jìn)入該磁場(chǎng)區(qū)域（如圖2），經(jīng)過t時(shí)間，到達(dá)P（x，y，z），其沿x、y、z軸方向的分速度分別為vx、vy、vz。

圖2 ? 帶電粒子與磁場(chǎng)方向成θ角進(jìn)入

max=Bqvzmay=0maz=-Bqvx

方程兩邊同乘Δt，并連續(xù)求和得：

由于只有洛侖茲力作用，洛侖茲力與速度時(shí)刻垂直，由動(dòng)能定理得：

在垂直于B的平面（xOz）內(nèi)做速率為v0sinθ，圓心為（R，0），半徑R=的圓周運(yùn)動(dòng)，并沿y軸方向做速度vy=v0cosθ的勻速直線運(yùn)動(dòng)，即做等螺距的螺旋線運(yùn)動(dòng)。

3 ? ? 洛侖茲力和恒力共同作用下的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)

在xOy平面內(nèi)有垂直于平面向內(nèi)的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和y軸負(fù)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)（如圖3），質(zhì)量為m、帶電量為q的帶電粒子以v0的初速由O點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入該正交的電磁場(chǎng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，到達(dá)P（x，y），速度變?yōu)関，其沿坐標(biāo)方向的分速度分別為vx和vy，則由牛頓第二定律可得：

圖3 ?洛侖茲力與恒力共同作用

方程兩邊同乘Δt，并求和得：

由動(dòng)能定理得

代入整理得：

這個(gè)方程整體是個(gè)圓方程，其半徑

R= ?，速度v'=v ?- ?的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心O'坐標(biāo)x0'= ?ty0'=

圓心在以特定速度v特= ?沿平行于x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。綜合起來就是帶電粒子以速率v'=v0- ?繞圓心（xO′，yO′）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心以v特= ?沿平行于x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其軌跡是條滾輪線。

1）若v0> ?時(shí)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v'=v0- ?>0，粒子沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，將向y軸正方向偏離x軸，經(jīng)過時(shí)間t=n ?+ ?時(shí)，離x軸的最大距離為Y= ?，速度變?yōu)槠叫杏趚軸，大小為v''=2 ?-v0;經(jīng)過時(shí)間t=n ?時(shí)，粒子回到x軸，速度方向沿x軸正方向，大小變?yōu)関0，其沿x軸方向的位移為：

2）若v0<時(shí)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v'=v0-<0，粒子沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，將向y軸負(fù)方向偏離x軸，經(jīng)過時(shí)間t=n+時(shí)，離x軸的最大距離為Y=，速度變?yōu)槠叫杏趚軸，v''=2-v0;經(jīng)過時(shí)間t=n時(shí)，粒子回到x軸，速度方向沿x軸正方向，大小變?yōu)関0，其沿x軸方向的位移為：

4 ? ?實(shí)例分析

（2013福建高考）如圖4甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。讓質(zhì)量為m、電量為q（q>0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場(chǎng)中。不計(jì)重力和粒子間的影響。

圖4 ?帶電粒子在磁場(chǎng)、電磁復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

①若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x 軸上的A（a，0）點(diǎn)，求v1的大小;

②已知一粒子的初建度大小為v（v>v1），為使該粒子能經(jīng)過A（a，0）點(diǎn)，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個(gè)？并求出對(duì)應(yīng)的sinθ值;

③如圖4乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度值vm。

分析與解

圖5 帶電粒子軌跡示意圖

①因粒子沿y軸正方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子將繞圓心（R，0）順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過x軸的坐標(biāo)為x=2R1，故由題意可得：

②因?yàn)関>v1，R2>R1

要使粒子經(jīng)過A點(diǎn)，圓心必須在OA的垂直平分線上sinθ=。

方向有兩個(gè)，與x軸正方向的夾角分別為

③粒子以v0的初速度沿y軸正方向進(jìn)入正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域后，經(jīng)過t時(shí)間到達(dá)P（x，y），速度變?yōu)関，其沿x、y軸的分量分別為vx，vy。則由牛頓第二定律可得

max=Bqvymay=qE-Bqvx方程兩邊同乘Δt，并求和得：

mvx=Bqym（vy-v0）=qEt-Bqx

由動(dòng)能定理得：

，只要v取最大值，v取最大值。

參考文獻(xiàn)：

[1]廖忠福.例析洛侖茲力的分解問題[J].物理教學(xué)探討，2010，（7）：50.

[2]陳霞.帶電粒子在復(fù)合物中的旋轉(zhuǎn)律運(yùn)動(dòng)分析[J].物理教學(xué)探討，2011，（1）：47.

（欄目編輯 ?羅琬華）