淺談“全等三角形”基礎(chǔ)圖形的探究與運(yùn)用

曹文富

摘 要 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，積累全等三角形的基礎(chǔ)圖形，歸納圖形變換的規(guī)律，找到解決全等三角形問題的基本方法，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

關(guān)鍵詞 全等三角形 基礎(chǔ)圖形 平移 對(duì)稱 旋轉(zhuǎn) 變換

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2015）05-0065-02

全等三角形是平面幾何的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，更是重要內(nèi)容。運(yùn)用全等三角形來證明線段相等、角相等，還可根據(jù)等角、等邊進(jìn)一步推出圖形還具有的一些性質(zhì)，如兩線平行、兩線垂直等。由此可以看出全等三角形這一知識(shí)所起的工具性作用。利用全等三角形解決問題的關(guān)鍵是要充分利用己知條件和圖形結(jié)構(gòu)，認(rèn)真分析圖形，從復(fù)雜的圖形中找到一對(duì)基礎(chǔ)三角形，弄清一個(gè)三角形是怎樣通過甲移、翻折、旋轉(zhuǎn)的圖形變換達(dá)到另一個(gè)三角形的位置。將已知條件轉(zhuǎn)化為所需的條件，弄清對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角，對(duì)照全等條件去分析己具有的條件和還缺少的條件。

由于探索三角形全等條件的方法很多，有時(shí)全等三角形會(huì)隱藏在復(fù)雜的圖形中，為了能快速找到全等的三角形，因此很多同學(xué)在解題時(shí)會(huì)感到眼花繚亂，難以迅速找到對(duì)應(yīng)的解題思路。只有在平時(shí)教學(xué)活動(dòng)中為學(xué)生提供一個(gè)研究全等三角形的甲臺(tái)，直接參與數(shù)學(xué)實(shí)踐探究：如將兩張紙疊起來，剪下兩個(gè)全等三角形，然后將疊合的兩個(gè)三角形紙片放在桌面上，從平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)幾個(gè)方面進(jìn)行擺放，看看兩個(gè)三角形有一些怎樣的特殊位置關(guān)系？注意兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，讓學(xué)生熟悉有代表性的位置擺放形式，為“全等三角形基礎(chǔ)圖形”的識(shí)別積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生達(dá)到“會(huì)學(xué)”的境界。

一、基礎(chǔ)圖形類型歸納

常見的全等三角形基礎(chǔ)圖形模型有如下幾種類型：

（一）平移型

如圖1，此類圖形可以看成有一組對(duì)應(yīng)邊在同一直線上的兩個(gè)三角形甲移構(gòu)成，故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而得到。在這個(gè)基礎(chǔ)圖形中，甲行線無疑是解決問題的關(guān)鍵。

（二）對(duì)稱型

如圖2，此類圖形的特征是兩個(gè)三角形可沿某一直線翻折，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。在這個(gè)基礎(chǔ)圖形中要注意基本的一些軸對(duì)稱圖形。

（三）旋轉(zhuǎn)型

如圖3，此類圖形可以看成是繞三角形的某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度所構(gòu)成的，故一般有一對(duì)相等的角隱含在對(duì)頂角、公共角、某些角的和或差中。在這個(gè)基礎(chǔ)圖形中要注意的是一些本身具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱性質(zhì)的圖形，圖形的旋轉(zhuǎn)不變性往往是解決問題的關(guān)鍵。

（四）復(fù)合型

如圖4，我們?cè)诮鉀Q三角形全等問題時(shí)，經(jīng)常遇到幾種圖形變換交替使用，綜合了之前幾種基本圖形，例如旋轉(zhuǎn)平移型、軸對(duì)稱平移型等。這時(shí)就需要熟練掌握這些基本圖形的特征，讓學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)發(fā)現(xiàn)不同問題中圖形的變化規(guī)律，充分利用公共邊、公共角或?qū)斀堑忍赜械膱D形關(guān)系，可以幫助我們很快找到證明思路。

二、解決中考問題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，會(huì)解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的主要標(biāo)志之一。全等三角形的應(yīng)用在各地中考中都占有一定的比重，我們通過探索幾道中考題的解法，訓(xùn)練學(xué)生將全等三角形的基礎(chǔ)圖形運(yùn)用到具體的解題中。常見的題型有以下四類：

（一）運(yùn)用平移型基礎(chǔ)圖形解決問題

案例1、（2011·玉溪中考題）如圖5，點(diǎn)B、C、D、E在同一條直線上，己知AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB 與FC的位置關(guān)系？并說明理由。

解析：由BC=DE，根據(jù)等式性質(zhì)在等號(hào)兩邊同時(shí)加上CD，得到BD=CE，又AB=FC，AD=FE，三角形ABD與三角形FCE通過平移重合，根據(jù)SSS判定全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得一對(duì)同位角相等，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證。

解：AB與FC位置關(guān)系是：AB∥FC，

理由：∵BC=DE（已知），

∴BC+CD=DE+CD（等式的基本性質(zhì)），即BD=CE，

在△ABD和△FCE中，

∴△ABD≌△FCE（SSS），

∴∠B=∠FCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），

∴AB∥FC（同位角相等，兩直線平行）.

（二）運(yùn)用對(duì)稱型基礎(chǔ)圖形解決問題

案例2、如圖6，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，將∠ABC，∠DAB分別對(duì)折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點(diǎn)E，點(diǎn)C，D都落在AB邊上的F處，你能獲得哪些結(jié)論？

解析：利用圖形對(duì)折前后重合部分全等，從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進(jìn)行探索，以獲得更多的結(jié)論，是一道開放性試題。

解：①AD=AF，ED=EF=EC，BC =BF.

②AD十BC =AB，DE+EC =2EF.

③∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠D=∠AFE，∠C=∠EFB，∠DEA =∠FEA， ∠CEB =∠FEB.

④∠AEB=90?；駿A⊥EB.

⑤S△DAE=S△EAF，S△ECB=S△EFB.

【思考】本題融操作、觀察、猜想、推理于一體，需要具有一定的綜合能力，推理論證既是說明道理，也是探索、發(fā)現(xiàn)的途徑，善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，需要注意的是，通常面臨以下情況的圖形中沒有全等三角形，而證明結(jié)論需要全等三角形.（2）從題設(shè)條件中無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構(gòu)造全等三角形。

（三）運(yùn)用旋轉(zhuǎn)型基礎(chǔ)圖形解決問題

案例3、（玉溪中考題）.如圖7，己知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是（只需填一個(gè)）

。

解析：因?yàn)椤?=∠2，∠DAC為公共角，易得∠BAC=∠DAE，將△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以與△ADE對(duì)應(yīng)重合，從而確定對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，所以可添加∠B=∠D或∠C=∠E或AC = AE

三、運(yùn)用復(fù)合型圖形解決問題

案例4、（2012年云南省中考題）如圖8，在△ABC中，∠C = 90。，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DM⊥AB，且DM =AC，過點(diǎn)M作ME//BC交AB 于點(diǎn)E求證：△ABC≌△MED

解析：（平移旋轉(zhuǎn)對(duì)稱型）如圖，根據(jù)已知條件DM =AC，∠C =90。和DM⊥AB，不難看出△ABC和△MED之間可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱三種變換而互相重合，從而容易尋找全等的條件。

證明：∵M(jìn)E//BC

∴∠DEM = ∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵DM⊥AB→∠MDE = 90。=∠C

在△ABC和△MED中

通過運(yùn)用基礎(chǔ)圖形解決以上全等三角形的中考題可以看出，從學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和現(xiàn)有的認(rèn)知基點(diǎn)出發(fā)，通過實(shí)踐操作活動(dòng)，將學(xué)生緊緊拴牢在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)這一具有數(shù)學(xué)本質(zhì)的維度中。這不僅有助于我們對(duì)全等三角形知識(shí)的理解和記憶、加深鞏固全等三角形的知識(shí)，又發(fā)展了圖形變換的思維，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。與此同時(shí)，能對(duì)學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，而且還能為學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提供有效的活動(dòng)載體，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的創(chuàng)造性能力，進(jìn)而全面提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。