淺談數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的魅力

白雪峰??

在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，如何有效促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，是值得數(shù)學(xué)教師們認(rèn)真思考和深入研究的重要問題.通過對每年中考試題進(jìn)行整理、歸類、分析和研究，挖掘其中優(yōu)秀試題所蘊(yùn)涵的特點(diǎn)，探究其多種解法或證法，并進(jìn)行適度延伸和拓展，或可使我們對解題教學(xué)獲得更為鮮活和有益的啟示.

下面筆者就以2013年蘇州市初中暨升學(xué)考試試卷第27題第（1）問為例，談?wù)剬?shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識.

問題已知：如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點(diǎn)F.

（1）求證：BD=BF.

（2）略.1本題特點(diǎn)

上述問題是一個(gè)證明線段相等的問題，此類問題是平面幾何中的基本問題，具有以下三個(gè)特點(diǎn)：

首先，這類問題是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何入門基本功的重要題型.本題考查基本知識全面，在下面所給出的幾種證明方法中應(yīng)用到了對頂角、余角、全等三角形、相似三角形等相關(guān)概念，同時(shí)還用到了圓周角定理、弦切角定理以及切線長定理等知識.

其次，它是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的典型問題.在證明本題的過程中，利用了多種添加輔助線的方法，證明方法的多樣性很自然地考查了學(xué)生思維的靈活性和廣泛性.同時(shí)，多種不同證法中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中同一種重要的解題思想，即轉(zhuǎn)化的思想.轉(zhuǎn)化思想不僅是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.

第三，它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的基礎(chǔ)問題.本題具有一定的生成性，可以通過“分裂”角平分線為“等角線”將本題進(jìn)行適度地拓展和延伸.2證法賞析所謂轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法.下面，一起欣賞幾種不同的證法，感受轉(zhuǎn)化思想的魅力.

證法1如，連接OE，

因?yàn)锳C是⊙O的切線，切點(diǎn)為E，

所以O(shè)E⊥AC，∠OEA=90°.

因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠AEO=∠ACB，

所以O(shè)E∥BC，

所以∠OED=∠F.

因?yàn)镺E=OD，

所以∠OED=∠ODE，

所以∠F=∠ODE，

所以BD=BF.

說明解決圓中有關(guān)線段相等的問題，可以利用切線，連接半徑，形成直角三角形，構(gòu)造出一組平行線，進(jìn)而通過形成等腰三角形證明兩條線段相等是一個(gè)基本思路，也是添加輔助線的常用手段.此種思路能將證明線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明兩角相等的問題.

證法2如，連接BE，

因?yàn)锳C與⊙O相切于點(diǎn)E，

所以∠BEC=∠BDE.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠DEB=∠FEB=90°.

又因?yàn)椤螦CB=∠ACF=90°，

所以∠CEF與∠EFC互為余角，

所以∠CEF與∠BEC互為余角，

所以∠EFC=∠BEC.

所以∠EFC=∠BDE，

即∠BFD=∠BDE，

所以BD=BF.

說明連接BE，構(gòu)成直徑上的圓周角（直角），同時(shí)形成弦切角∠BEC，從而將∠BDF與∠BFD相等的問題轉(zhuǎn)化為∠BDE與∠BEC相等的問題，進(jìn)一步利用“同角的余角相等”這一知識得到結(jié)論.

證法3如，作EH⊥BD于H，延長EH交⊙O于G.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以GD=DE.

因?yàn)锳C與⊙O相切于點(diǎn)E，

所以∠GED=∠AED.

又因?yàn)椤螦ED=∠FEC，

所以∠GED=∠FEC，

即∠HED=∠FEC.

因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠EHD=∠ECF=90°.

所以Rt△EHD∽Rt△ECF，

所以∠EDH=∠EFC，

即∠BDF=∠BFD，

所以BD=BF.

說明過點(diǎn)E作直徑BD的垂線，構(gòu)造Rt△DHE，通過證明它與Rt△FCE相似，得到∠BDE與∠BFD，從而得到等腰△BDF，進(jìn)而證得BD=BF.

證法4如，過點(diǎn)D作⊙O的切線DG，

與⊙O的切線AC相交于點(diǎn)G，

則有GD=GE，∠GDE=∠GED.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠GDB=90°.

所以∠GDE與∠BDF互為余角.

因?yàn)椤螦CB=∠ACF=90°，

所以∠FEC與∠BFD互為余角.

又因?yàn)椤螱ED=∠FEC，

所以∠BDF=∠BFD，

所以BD=BF.

說明上述證明方法通過過點(diǎn)D作⊙O的切線，與已知切線AC交于點(diǎn)G，形成了切線長定理的條件，得到了一組相等的角∠GDE=∠GED，再通過對頂角相等和同角的余角相等相關(guān)知識，把問題轉(zhuǎn)化，從而得證.

證法5如，連接BE.

因?yàn)锳C與⊙O相切于點(diǎn)E，

所以∠BDE=∠BEC.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠BED=90°.

又因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠BED=∠ACB=90°.

所以Rt△BED∽Rt△BCE.

所以∠1=∠2.

在Rt△BED和Rt△BEF中，

因?yàn)椤?=∠2，BE為公共邊，

所以Rt△BED≌Rt△BEF.

所以BD=BF.

說明利用全等三角形的知識來證明兩條線段相等也是一種基本思路.在上述證明過程中，在利用弦切角定理證明了∠BDE與∠BEC相等后，通過相似三角形的知識得到∠1=∠2，這為證明Rt△BED與Rt△BEF的全等創(chuàng)造了重要條件.

證法6如，過點(diǎn)B作⊙O的切線BG，

與⊙O的切線AC的延長線相交于點(diǎn)G，連接BE.

則有GB=GE，∠GBE=∠GEB.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠GBD=90°，

所以∠1與∠GBE互為余角.

因?yàn)镋C⊥BC，

所以∠2與∠GEB互為余角，

所以∠1=∠2.

以下與證法5相同.

說明上述證明中將輔助線的添加改為過點(diǎn)B作⊙O的切線BG，與⊙O的切線AC的延長線相交于點(diǎn)G，從而利用切線長定理得到等腰△BEG，這與證法4異曲同工.

證法7如，設(shè)BC與⊙O相交于點(diǎn)G，

連接DG，BE.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠BGD=90°.

又因?yàn)椤螦CB=90°，

所以DG∥AC.

又因?yàn)锳C與⊙O相切于點(diǎn)E，

所以DE=EG，

所以∠1=∠2.

以下與證法5相同.

說明上述證明中通過添加輔助線將∠1與∠2相等的問題轉(zhuǎn)化為它們所對的弧相等的問題，再利用圓周角定理使問題得證.3適度拓展

如，將⊙O的切線AC變化成與它平行的割線，原切點(diǎn)E分裂為割點(diǎn)（割線AC與⊙O的交點(diǎn)）E1、E2，相應(yīng)的點(diǎn)F則分裂為點(diǎn)F1、F2，BF變化為BF1、BF2.

那么原結(jié)論BD=BF會有怎樣的變化呢？

事實(shí)上，可以猜想結(jié)論為：BD2=BF1··BF2.

經(jīng)過驗(yàn)證，猜想成立，從而得到下面的拓展問題：

拓展問題已知：如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相交于點(diǎn)E1、E2，連接DE1、DE2并延長與BC的延長線交于點(diǎn)F1、F2.

求證：BD2=BF1·BF2.0

證明如0，設(shè)BC與⊙O相交于點(diǎn)G，

連接DG.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠BGD=90°.

又因?yàn)椤螦CB=90°，

所以DG∥AC.

又因?yàn)橹本€AC與⊙O相交于點(diǎn)E1、E2，

所以DE1=GE2.

連接BE1和BE2，

所以∠DBE1=∠E2BF2.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠BE1D=∠BE1F1=90°，∠BE2D=∠BE2F2=90°.

所以Rt△BE1D∽Rt△BE2F2，

所以BE1BE2=BDBF2.①

又在Rt△BE2D與Rt△BE1F1中，

易證∠DBE2=∠E1BF1.

所以Rt△BE2D∽Rt△BE1F1，

所以BE2BE1=BDBF1.②

①與②兩式相乘得到1=BD2BF1·BF2，

所以BD2=BF1·BF2.

說明在上述原問題的拓展過程中，核心的變化是將∠DBF的平分線BE分裂為∠DBF的內(nèi)等角線BE1、BE2，從而得到關(guān)鍵條件∠DBE1=∠E2BF2.事實(shí)上，還可以將內(nèi)等角線BE1、BE2繼續(xù)繞著點(diǎn)B反向同步旋轉(zhuǎn)，演變成外等角線，從而將問題做進(jìn)一步的拓展推廣，有興趣的讀者可以嘗試研究此時(shí)結(jié)論會發(fā)生怎樣的變化.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)科學(xué)建立和發(fā)展的靈魂，也是分析和解決數(shù)學(xué)問題的核心.在解題教學(xué)中，教師要在注重基礎(chǔ)知識和基本技能訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，使學(xué)生在解題活動中深刻體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想的魅力.在上述問題的解決過程中，主要利用的就是轉(zhuǎn)化（化歸）的數(shù)學(xué)思想，將證明線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形全等、構(gòu)造等腰三角形等問題，這一數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的基本套路，也是研究平面幾何問題的精髓.綜觀上述平面幾何問題的多種證明和拓展推廣過程，師生可以深切體會到一道優(yōu)秀題目的真正意義和教育價(jià)值，那就是此類問題中所凸顯的證明思路的廣泛性、具體證法的多樣性和蘊(yùn)含思想的深刻性，以及在研究并解決這一問題的整個(gè)過程中對師生思維深度和廣度的啟發(fā)性和引領(lǐng)性.

參考文獻(xiàn)

[1]2013年蘇州市初中暨升學(xué)考試試卷及答案

[2]陳琦劉儒德，當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京師范大學(xué)出版社，2007年4月第2版

[3]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京師范大學(xué)出版社，2012年1月

[4]劉鳳翥.《課標(biāo)（2011年版）》的“新理念”新在哪里[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，201554（1）：1-3

作者簡介白雪峰，男，1972年生，北京人，中學(xué)高級教師，北京市優(yōu)秀教師，北京市特級教師，北京數(shù)學(xué)會理事.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作.現(xiàn)任北京教育學(xué)院朝陽分院教師專業(yè)發(fā)展中心主任、中學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)教師.在全國中學(xué)數(shù)學(xué)青年教師教學(xué)觀摩與評比中獲一等獎，主持或參與了國家、市區(qū)多個(gè)課題的研究工作，多篇論文獲得全國和北京市一等獎.近年主編或參編10余部論著，發(fā)表數(shù)學(xué)教學(xué)論文30余篇.