要善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)問題

司志本??

數(shù)學(xué)無處不在，此話不假.只要你稍加留心就可以發(fā)現(xiàn)，我們身邊的許多事物，都與數(shù)學(xué)有關(guān)，或者說都能給出數(shù)學(xué)的解釋.實際上，從一些事物中提出數(shù)學(xué)問題，不僅可以訓(xùn)練我們的數(shù)感，而且還可以提高我們的思維能力.本文選取兩個問題進(jìn)行說明.1電梯里的數(shù)學(xué)問題

隨著我國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人們的生活水平在不斷提高.就居住條件而言，與前些年相比，可以說發(fā)生了翻天覆地的變化，即使不很發(fā)達(dá)的城鎮(zhèn)，現(xiàn)在也是高樓林立，鱗次櫛比.住在裝有電梯的高樓里，在每天若干次的上樓下樓的過程中，你想過沒有，在這狹窄的電梯里，有許多值得我們思考的數(shù)學(xué)問題.

例1（上樓問題）有一棟高為27層的高層住宅樓，假設(shè)電梯上升和下降都是勻速的，速度都是2秒/每層.要想從任何一層（頂樓27層除外）乘電梯上到另外的任何一層，一共有多少種選擇方案？

分析為了敘述方便，我們把上電梯的樓層說成“走進(jìn)電梯”的樓層，把到達(dá)的樓層說成“走出電梯”的樓層.

從1樓“走進(jìn)電梯”，可以從2樓到27樓中的任何一層“走出電梯”，一共有26種選擇方案；同樣的道理，從2樓“走進(jìn)電梯”，可以從3樓到27樓中的任何一層“走出電梯”，一共有25種選擇方案；依此類推，當(dāng)從26樓“走進(jìn)電梯”時，只能從27樓“走出電梯”，即只有1種選擇方案.因為

26+25+24+…+1=26+12×26=351.

所以，要想從這棟樓的任何一層乘電梯上到另外的任何一層

一共有351種選擇方案.

例2（上樓用時問題）在“上樓問題”中，如果實現(xiàn)所有的上樓方案，那么一共需要多長時間（走進(jìn)樓梯和走出樓梯的時間忽略不計）？

分析第一類情況：從1樓“走進(jìn)電梯”.從1樓“走進(jìn)電梯”，可以從2樓到27樓中的任何一層“走出電梯”.

從1樓“走進(jìn)電梯”，從2樓“走出電梯”，經(jīng)過1層樓，用時2秒；

從1樓“走進(jìn)電梯”，從3樓“走出電梯”，經(jīng)過2層樓，用時2×2=4秒；

從1樓“走進(jìn)電梯”，從4樓“走出電梯”，經(jīng)過3層樓，用時2×3=6秒；

以此類推，從1樓“走進(jìn)電梯”，從27樓“走出電梯”，經(jīng)過26層樓，用時2×26=52秒.

所以，對于從1樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時

2（1+2+3+…+26）=2×26+12×26=27×26=702（秒）.

第二類情況：從2樓“走進(jìn)電梯”.從2樓“走進(jìn)電梯”，可以從3樓到27樓中的任何一層“走出電梯”.

從2樓“走進(jìn)電梯”，從3樓“走出電梯”，經(jīng)過1層樓，用時2秒；

從2樓“走進(jìn)電梯”，從4樓“走出電梯”，經(jīng)過2層樓，用時2×2=4秒；

從2樓“走進(jìn)電梯”，從5樓“走出電梯”，經(jīng)過3層樓，用時2×3=6秒；

依此類推，從2樓“走進(jìn)電梯”，從27樓“走出電梯”，經(jīng)過25層樓，用時2×25=50秒.

所以，對于從2樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時

2（1+2+3+…+25）=2×25+12×25=26×25=650（秒）.

同理可得，對于從3樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時

2（1+2+3+…+24）=2×24+12×24=25×24=600（秒）.

對于從4樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時

2（1+2+3+…+23）=2×23+12×23=24×23=552（秒）.

…….

對于從26樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時2×1=2（秒）.

所以，如果實現(xiàn)所有的上樓方案，一共需要

27×26+26×25+25×24+…+3×2+2×1=6552（1）

秒的時間.

關(guān)于（1）式的計算，待同學(xué)們學(xué)過排列組合知識以后，可以很容易計算出來.在此同學(xué)們不妨思考一下，你能用所學(xué)的知識求出這個和嗎？

仿照上面的討論，還可以提出類似的“下樓問題”及“下樓用時問題”，請讀者自行討論.2“2048”游戲中的運(yùn)算問題

手機(jī)上有一個叫“2048”的游戲.游戲規(guī)則是這樣的：沿著水平方向或鉛直方向滑動手機(jī)顯示屏，會出現(xiàn)若干個2.若出現(xiàn)兩個2水平相鄰，則橫向滑動顯示屏，兩個2變成一個4（這相當(dāng)于做一個加法運(yùn)算：2+2=4），若出現(xiàn)兩個2鉛直相鄰，則豎向滑動顯示屏，兩個2也變成一個4；顯示屏出現(xiàn)4以后，若出現(xiàn)兩個4水平相鄰，則橫向滑動顯示屏，兩個4變成一個8（這相當(dāng)于做一個加法運(yùn)算：4+4=8），若出現(xiàn)兩個4鉛直相鄰，則豎向滑動顯示屏，兩個4也變成一個8；以此類推，若出現(xiàn)兩個1024水平相鄰，則橫向滑動顯示屏，兩個1024變成一個2048（這相當(dāng)于做一個加法運(yùn)算：1024+1024=2048），若出現(xiàn)兩個1024鉛直相鄰，則豎向滑動顯示屏，兩個1024也變成一個2048.出現(xiàn)一個2048以后，游戲結(jié)束.這就是所謂的“2048”的游戲.

至于這個游戲?qū)﹂_發(fā)人們的智力，訓(xùn)練人們的思維能力有多少益處，我們暫且不論.我們提出的問題是：要想完成這個游戲，即在顯示屏上出現(xiàn)一個2048這個數(shù)，至少需要多少次運(yùn)算？

我們先列出下列事實：

一個2048由兩個1024構(gòu)成，即需要一個算式：1024+1024=2048；

一個1024由兩個562構(gòu)成，即需要一個算式：512+512=1024；

一個512由兩個256構(gòu)成，即需要一個算式：256+256=512；

一個256由兩個128構(gòu)成，即需要一個算式：128+128=256；

一個128由兩個64構(gòu)成，即需要一個算式：64+64=128；

一個64由兩個32構(gòu)成，即需要一個算式：32+32=64；

一個32由兩個16構(gòu)成，即需要一個算式：16+16=32；

一個16由兩個8構(gòu)成，即需要一個算式：8+8=16；

一個8由兩個4構(gòu)成，即需要一個算式：4+4=8；

一個4由兩個2構(gòu)成，即需要一個算式：2+2=4.

現(xiàn)在我們討論一下上面的每一個算式出現(xiàn)的次數(shù).

算式1024+1024=2048只要出現(xiàn)1次，就完成了這個游戲，所以，算式1024+1024=2048只出現(xiàn)1次；

因為算式1024+1024=2048需要2個1024，所以，算式512+512=1024需要出現(xiàn)2次；

同理，算式256+256=512需要出現(xiàn)22=4次；

算式128+128=256需要出現(xiàn)23=8次；

算式64+64=128需要出現(xiàn)24=16次；

算式32+32=64需要出現(xiàn)24=32次；

算式16+16=32需要出現(xiàn)25=64次；

算式8+8=16需要出現(xiàn)26=128次；

算式4+4=8需要出現(xiàn)27=256次；

算式2+2=4需要出現(xiàn)28=512次；

由此不難得出，要想完成“2048”這個游戲，至少需要出現(xiàn)的算式個數(shù)為

1+2+22+23+24+…+28

=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512

=1023.

數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用于生活.在我們的日常生活中，數(shù)學(xué)無處不在，只要我們善于觀察、善于思考，就可以隨時隨地提出一些數(shù)學(xué)問題，并能夠運(yùn)用我們所掌握的知識和方法解決一些問題.養(yǎng)成這樣的良好習(xí)慣，對于提高我們分析問題和解決問題的能力是十分有益的.作者簡介司志本，男，1959年11月生，河北興隆人，教授.主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作.曾先后被授予河北省優(yōu)秀教師、國家曾憲梓教育基金會教師獎；有150余篇數(shù)學(xué)論文在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等十多種雜志上公開發(fā)表；主編或參編了9部數(shù)學(xué)及相關(guān)書籍.