探究一類(lèi)與直線(xiàn)相切于定點(diǎn)的圓心坐標(biāo)問(wèn)題

魏祥勤??

把圓置入平面直角坐標(biāo)系，探究與已知直線(xiàn)相切有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，綜合圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，及直角三角形性質(zhì)與勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，或者運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造比例式計(jì)算.下面結(jié)合幾道與圓的切線(xiàn)有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行分析，供參考.

例1如，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式是y=12x+2，且BA⊥x軸于點(diǎn)A，A點(diǎn)坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以BP長(zhǎng)為直徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線(xiàn)BC相切時(shí)，確定點(diǎn)P與圓心M的坐標(biāo).

解析設(shè)直線(xiàn)BC與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B引BN⊥BC交x軸于點(diǎn)N，如，則以BN為直徑作圓，這個(gè)圓即與直線(xiàn)BC相切于點(diǎn)B，易得點(diǎn)D坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)A坐標(biāo)是（4，0），因此點(diǎn)B坐標(biāo)是（4，4），根據(jù)已知，AD=8，AB=4，可以計(jì)算BD長(zhǎng)度是82+42，設(shè)AN=x，因此DN=8+x，而B(niǎo)N⊥BC，BA⊥AN，由勾股定理，則BN2=BA2+AN2，DN2=BD2+BN2，因此DN2=BD2+BA2+AN2，（8+x）2=82+42+42+x2，解得x=2，因此ON=OA+AN=6，所以點(diǎn)N坐標(biāo)是（6，0），因此當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)N重合時(shí)，⊙M與直線(xiàn)BC相切.

作MH⊥x軸于點(diǎn)H，如，點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，則MH=12AB=2，

AH=HN=12AN=1，則OH=OA+AH=5，因此圓心M的坐標(biāo)是（5，2）.

點(diǎn)評(píng)上面解法在確定線(xiàn)段AN長(zhǎng)度時(shí)，運(yùn)用了勾股定理，通過(guò)直角三角形三邊的關(guān)系，構(gòu)造方程進(jìn)行計(jì)算，也可以運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)直接求值.

改變直線(xiàn)解析式為y=33x+23，點(diǎn)A坐標(biāo)是（6，0），其余條件不變，也可以運(yùn)用例題的方法求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（10，0），圓心M坐標(biāo)是（8，23）.

一般結(jié)論直線(xiàn)y=kx+b（k>0，b>0）與x軸y軸分別交于點(diǎn)D、C，點(diǎn)A是x軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)A坐標(biāo)是（nbk，0），（n是正實(shí)數(shù)），過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交DC于點(diǎn)B，

點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以BP長(zhǎng)為直徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線(xiàn)BC相切時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（k2n+n+k2）bk，0，圓心M坐標(biāo)是（k2n+2n+k2）b2k，（n+1）b2，如當(dāng)k=1，b=3，n=9時(shí)，易得點(diǎn)P坐標(biāo)是（57，0），點(diǎn)M坐標(biāo)是（42，15）.

例2直線(xiàn)解析式為y=34x+3，點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，0）），其余條件不變，也可以運(yùn)用例1的方法求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（594，0），圓心M坐標(biāo)是（918，92）.

運(yùn)用一般結(jié)論，直線(xiàn)解析式y(tǒng)=34x+3，則b=3，k=34，bk=4，點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，0），所以n=2.則（k2n+n+k2）bk=594，（k2n+2n+k2）b2k=918，（n+1）b2=92.

例3直線(xiàn)解析式為y=34x+3，點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，0），其余條件不變，確定點(diǎn)P與圓心M的坐標(biāo).

方法1可以運(yùn)用一般結(jié)論：直線(xiàn)解析式y(tǒng)=34x+3，則b=3，k=34，bk=4，點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，0），所以n=14.則（k2n+n+k2）bk=6116，（k2n+2n+k2）b2k=7732，（n+1）b2=158，

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（6116，0），圓心M坐標(biāo)是（7732，158）.

方法2運(yùn)用直接求解方法：如所示，直線(xiàn)解析式是y=34x+3，OD=4，OC=3，點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，0），所以點(diǎn)B坐標(biāo)是（1，154），則BC=54，DC=5，BD=254，AD=5，設(shè)AP=x，

AB=154，運(yùn)用勾股定理列方程為：（5+x）2=（254）2+（154）2+x2，解得x=4516，OA=1，OP=6116，點(diǎn)P坐標(biāo)為（6116，0），AH=12x=4532，OH=1+4532=7732，MH=12AB=158.與運(yùn)用一般結(jié)論計(jì)算結(jié)果同.

特殊情況下，當(dāng)n=k時(shí)，

即直線(xiàn)y=kx+b（k>0，b>0）與x軸y軸分別交于點(diǎn)D、C，點(diǎn)A是x軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)A坐標(biāo)是（nbk，0）（其中n=k），即點(diǎn)A坐標(biāo)是（b，0），過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交DC于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以BP長(zhǎng)為直徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線(xiàn)BC相切時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（（k2+k+1）b，0），圓心M坐標(biāo)是（k2+k+2）b2，（k+1）b2.

如直線(xiàn)y=5-12x+1與x軸y軸分別交于點(diǎn)D、C，點(diǎn)A是x軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，0）（其中n=k=5-12，b=1，則nbk=1），過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交DC于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以BP長(zhǎng)為直徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線(xiàn)BC相切時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（（k2+k+1）b，0），圓心M坐標(biāo)是（k2+k+2）b2，（k+1）b2.由于k=5-12，b=1，（k2+k+1）b=2，（k2+k+2）b2=32，（k+1）b2=5+14，則點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，0），圓心M坐標(biāo)是（32，5+14）.

作者簡(jiǎn)介魏祥勤，男，河南商丘市人，1964年10月出生.中學(xué)高級(jí)教師.在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等發(fā)表文章130余篇，參編圖書(shū)20余部.