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    三道高考試題 一種解答方略

    2015-07-12 21:13:38傅平修張偉志
    關(guān)鍵詞:方略考試題原點(diǎn)

    傅平修+張偉志

    翻看今年山東的高考試題,發(fā)現(xiàn)文(21)、理(20)與山東2011年理(22)、2013年文(22)可以借助同一種方略解答,即借助三角形的面積公式S=12a1b2-a2b1和橢圓的參數(shù)方程,就可以比較簡捷的解答.現(xiàn)給出試題及解答方略.

    試題1 (2011年山東理22)已知?jiǎng)又本€l與橢圓C:x23+y22=1交于Px1,y1,Qx2,y2兩不同點(diǎn),且△OPQ的面積S△OPQ=62,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

    (Ⅰ)證明:x21+x22和y21+y22均為定值;

    (Ⅱ)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M,求OM·PQ的最大值;

    (Ⅲ)橢圓C上是否存在三點(diǎn)D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=62?若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請說明理由.

    試題2 (2013年山東文22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長為2,離心率為22.

    (Ⅰ)求橢圓C的方程;

    (Ⅱ)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為64的任意兩點(diǎn),E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C于點(diǎn)P,設(shè)OP=tOE,求實(shí)數(shù)t的值

    試題3 (2015年山東文21)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32,且點(diǎn)(3,12)在橢圓C上.

    (Ⅰ)求橢圓C的方程;

    (Ⅱ)設(shè)橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q:(1)求OQOP的值;(2)求△ABQ面積的最大值.

    為了解答上述三題,現(xiàn)給出以下兩個(gè)結(jié)論:

    結(jié)論1 人教B版《數(shù)學(xué)·必修5》第10頁“探索及研究”中的命題:

    已知OA=(a1,a2),OB=(b1,b2),設(shè)△OAB的面積為S,則S=12a1b2-a2b1.

    證明 S=12OA·OBsinθ(θ為OA,OB的夾角),

    所以4S2=OA2·OB21-cos2θ

    =(a21+a22)·(b21+b22)·1-(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22)

    =(a1b2-a2b1)2,

    所以S=12a1b2-a2b1.

    結(jié)論2 橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosθ

    y=bsinθ.

    試題1解析 (Ⅰ)由已知可設(shè):

    P(3cosα,2sinα),Q(3cosβ,2sinβ),

    所以S△OPQ=126cosαsinβ-6sinαcosβ

    =62sin(α-β=62.

    所以sin(α-β)=±1,即α-β=kπ+π2(k∈Z),

    所以x21+x22=3(cos2α+cos2β)=3(sin2β+cos2β)=3,

    y21+y22=2(sin2α+sin2β)=2(sin2β+cos2β)=2.

    (Ⅱ)由已知M(32(cosα+cosβ),22(sinα+sinβ)),則:

    OM2=14(3(cosα+cosβ)2+2(sinα+sinβ)2)

    =14(5+6cosαcosβ+4sinαsinβ).

    PQ2=3(cosα-cosβ)2+2(sinα-sinβ)2

    =5-6cosαcosβ-4sinαsinβ·OM2·PQ2=14(5+6cosαcosβ+4sinαsinβ)(5-6cosαcosβ-4sinαsinβ)

    ≤14(102)2=254.

    所以O(shè)M·PQ≤52,

    等號成立的條件是3cosαcosβ+2sinαsinβ=0.

    (Ⅲ)由(Ⅰ)知D、E、G中必有兩點(diǎn)連線過坐標(biāo)原點(diǎn),故此橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn).

    試題2解析 (Ⅰ)x22+y2=1.

    (Ⅱ)設(shè)A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ).

    則S=122cosαsinβ-2sinαcosβ=

    22sin(α-β)=64.

    所以sin(α-β)=32,即sin(α-β)=±32.

    E(2(cosα+cosβ)2,sinα+sinβ2),所以P(2t(cosα+cosβ)2,t(sinα+sinβ)2),代入x2+2y2=2得

    t2(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=4,

    即:t2(2+2cos(α-β))=4.

    因?yàn)閏os(α-β)=±12,所以t2=4或t2=43,又因?yàn)閠>0,所以t=2或t=233.

    試題3解析 (Ⅰ)x24+y2=1.

    (Ⅱ)(1)OQOP=2.

    (2)設(shè)A(4cosα,2sinα),B(4cosβ,2sinβ),P(2cosθ,sinθ),所以S△AOB=12|4cosα·2sinβ-4cosβ·2sinα|

    =4sin(α-β).

    因?yàn)镻,A,B三點(diǎn)共線,且P在A,B之間,所以O(shè)P=mOA+(1-m)OB(0<m<1),

    即(2cosθ,sinθ)=m(4cosα,2sinα)+(1-m)(4cosβ,2sinβ),

    所以cosθ=2mcosα+(1-m)cosβ, ?①

    sinθ=2msinα+(1-m)sinβ, ?②

    ①②平方相加得

    14=m2+(1-m)2+2m(1-m)cos(α-β)③

    因?yàn)閙2+(1-m)2≥m+(1-m)22=12,2m(1-m)≤m+(1-m)22=12,所以cos(α-β)<0.

    由③,14≥12+12cos(α-β),所以cos(α-β)≤-12,所以sin2(α-β)=1-cos2(α-β)≤34,所以sin(α-β)≤32,所以S△AOB≤23.

    由(1)S△ABQ=3S△AOB,所以(S△ABQ)max=63.

    注 (1)由此法亦可得,當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)S△ABQ的面積最大.

    (2)山東理科卷20題(Ⅱ)同此題(Ⅱ).

    作者簡介 傅平修,男,1965年3月生,1997年破格晉升為中學(xué)高級教師.全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克優(yōu)秀輔導(dǎo)員、省高中數(shù)學(xué)骨干教師、市優(yōu)秀教師、市教學(xué)能手、市學(xué)科帶頭人.潛心于教育教學(xué)及教學(xué)研究三十余年,主編中學(xué)生讀物十余部,在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等發(fā)表論文30余篇.

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