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    用伸縮變換賞析2015年高考解析幾何試題

    2015-07-12 21:06林國(guó)夫
    關(guān)鍵詞:斜率原點(diǎn)中點(diǎn)

    高考試題是課堂教學(xué)豐富而寶貴的資源,分析和研究高考試題對(duì)于把握高考試題的命題趨勢(shì),提高課堂教學(xué)效率具有十分重要的積極作用.縱觀(guān)2015年各省市的高考解析幾何試題,筆者驚奇地發(fā)現(xiàn),利用伸縮變換的不變性來(lái)賞析這些試題,不僅可以得到非常簡(jiǎn)潔的解法,而且從一定程度上還能窺看到這些試題命制的源泉,本文擬就此發(fā)表筆者的一些粗淺想法,供讀者參考.為了便于后續(xù)問(wèn)題的探討,我們首先不加證明地介紹伸縮變換及其不變性,相關(guān)證明讀者可以參考相關(guān)文獻(xiàn).

    在平面直角坐標(biāo)系中,給出變換T:P(x,y)→P′(x′,y′),其中 x′=xa

    y′=yb,a>0,b>0,我們稱(chēng)變換T為平面直角坐標(biāo)中的伸縮變換.對(duì)于給定的三點(diǎn)

    A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)

    及直線(xiàn)l1,l2,設(shè)其在變換T的像分別為A′(x1a,y1b)、B′(x2a,y2b)、C′(x3a,y3b),及直線(xiàn)l′1,l′2,平面曲線(xiàn)Γ在變換T下的像為平面曲線(xiàn)?!洌瑒t變換T具有下列性質(zhì):

    性質(zhì)1 共線(xiàn)結(jié)合性,即AB=λACA′B′=λA′C′;l1∥l2l′1∥l′2;A∈ΓA′∈?!?

    性質(zhì)2 若直線(xiàn)AB的斜率k存在且非零,則直線(xiàn)A′B′的斜率k′存在,且kk′=ba;

    性質(zhì)3 若A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn),則△ABC的面積為S,△A′B′C′的面積為S′,則SS′=ab.

    性質(zhì)4 曲線(xiàn)Γ的方程為f(x,y)=0,則曲線(xiàn)?!涞姆匠虨閒(ax,by)=0.

    另外為了后續(xù)行文的簡(jiǎn)潔,無(wú)特別說(shuō)明,我們都默認(rèn):點(diǎn)P、直線(xiàn)l、曲線(xiàn)Γ在變換T下的像分別為點(diǎn)P′、直線(xiàn)l′、曲線(xiàn)?!?顯然在伸縮變換T下,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的像為單元圓x2+y2=1,結(jié)合上述性質(zhì)我們就可將橢圓中復(fù)雜的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為單位圓中相應(yīng)的簡(jiǎn)單問(wèn)題,下面我們利用該原理來(lái)賞析2015年高考中涉及橢圓的部分解析幾何試題.

    1 利用伸縮變換賞析解析幾何中的位置關(guān)系

    由于伸縮變換保持結(jié)合性、平行關(guān)系和線(xiàn)段比例關(guān)系,利用這些性質(zhì)我們可以將橢圓中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為單位圓中的相應(yīng)位置關(guān)系,以此可以規(guī)避橢圓中的復(fù)雜運(yùn)算.

    例1 (2015年全國(guó)卷Ⅱ理科第20題)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.

    (Ⅰ)證明:直線(xiàn)OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;

    (Ⅱ)若l過(guò)點(diǎn)(m3,m),延長(zhǎng)線(xiàn)段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)l的斜率;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    圖1

    證明(Ⅰ)引入伸縮變換T:(x,y)→(xa,yb),a=m3,b=m,則橢圓C的像為單位圓,如圖1所示.考慮到O′M′⊥A′B′,則kO′M′·kA′B′=-1,從而直線(xiàn)OM,AB的斜率乘積kOM·kAB=bakO′M′·bakA′B′=b2a2×(-1)=-9,為定值.

    (Ⅱ)要使得四邊形OAPB為平行四邊形,則

    根據(jù)變換T的不變性,其像O′A′P′B′也為

    平行四邊形,考慮到點(diǎn)M′為A′B′的中點(diǎn),從

    而只需M′也為O′P′的中點(diǎn)即可,故只需原點(diǎn)O′

    到經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)的直線(xiàn)l′的距離為12即可.設(shè)直線(xiàn)l′

    的斜率為k′,則l′的方程為k′x-y-k′+1=0,

    則|k′-1|1+k′2=12,從而求得k′=4±73.從而直線(xiàn)l的斜率k=bak′=3k′=4±7.從而滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在,其斜率為4±7.

    2 利用伸縮變換賞析解析幾何中的弦長(zhǎng)關(guān)系

    設(shè)線(xiàn)段AB在伸縮變換T下的像為線(xiàn)段A′B′.顯然在伸縮變換下線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系不具有確定的關(guān)系,但是我們可以利用斜率的不變關(guān)系(即性質(zhì)2)尋找|AB|,|A′B′|的關(guān)系:即設(shè)線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)斜率為k,則|AB||A′B′|=1+k21+k′2|xA-xB||xA′′-xB′′|=a1+k21+k′2=a1+k21+abk2.

    利用這個(gè)關(guān)系我們可以將橢圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單位圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題.

    例2 (2015年陜西省高考理科數(shù)學(xué)第20題)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線(xiàn)的距離為12c.

    (Ⅰ)求橢圓E的離心率;

    (Ⅱ)如圖2,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.

    圖2

    解 (Ⅰ)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線(xiàn)為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到此直線(xiàn)的距離d=bcb2+c2=c2,故a=2b,即a2∶b2∶c2=4∶1∶3,故橢圓E的離心率為32.

    (Ⅱ)設(shè)橢圓E的方程為x24λ2+y2λ2=1(λ>0),

    引入伸縮變換T:(x,y)→(xa,yb),a=2λ,b=λ.

    則橢圓E在變換T下的像為單元圓,如圖2所示.

    由于點(diǎn)M(-2,1)為AB的中點(diǎn), 故M′(-1λ,1λ)

    為A′B′的中點(diǎn),則在單位圓中|A′B′|=

    21-|O′M′|2=21-2λ2,且kA′B′=1.

    從而在橢圓E中,kAB=-bakA′B′=-12,從而|AB||A′B′|=1+k21+k′2|xA-xB||xA′-xB′|=2λ1+141+1=52·λ.

    從而|AB|=52·λ·21-2λ2=

    10·λ2-2,又由于|AB|=10,故10·λ2-2=10,求得λ2=3,故所求的橢圓E的方程為x212+y23=1.

    3 利用伸縮變換賞析解析幾何中的面積關(guān)系

    由于在伸縮變換T下△ABC的面積與其像△A′B′C′的面積間具有非常好的不變性S△ABCS△A′B′C′=ab,而圓中的內(nèi)接三角形面積的計(jì)算遠(yuǎn)比橢圓中的內(nèi)接三角形面積的計(jì)算要簡(jiǎn)單,因此利用伸縮變換來(lái)處理橢圓中的三角形的面積會(huì)比用常規(guī)方法求解要簡(jiǎn)單很多.

    例3 (2015年上海市高考數(shù)學(xué)第21題)已知橢圓x2+2y2=1,過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)l1和l2分別與橢圓交于A(yíng)、B和C、D.記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.

    (Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線(xiàn)l1的距離,并證明:

    S=2|x1y2-x2y1|;

    (Ⅱ)設(shè)l1與l2的斜率之積為-12,求面積S的值.

    解 (Ⅰ)顯然點(diǎn)C(x2,y2)到直線(xiàn)l1的距離d即為OC=(x2,y2)在直線(xiàn)AB的法向量n=(y1,-x1)方向上的投影的絕對(duì)值,即d=|OC·n||n|=|x1y2-x2y1|x21+y21,而S=|AB|·d

    =2x21+y21×|x1y2-x2y1|x21+y21=2|x1y2-x2y1|.

    (Ⅱ)引入伸縮變換T:(x,y)→(xa,yb2),a=1,

    b=22,則橢圓在變換T下的像為單位圓,

    如圖3所示.由于直線(xiàn)l1與l2的斜率之積為

    k1·k2=-12,則直線(xiàn)l1與l2的像l1′與l2′的

    斜率之積k1′·k2′=2k1·2k2=2×-12=-1,也即A′B′⊥C′D′.從而平行四邊形A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為2的正方形,其面積為2,故平行四邊形ABCD的面積S=abS′=22S′=2.

    圖3

    例4 ?(2015年湖北省高考理科數(shù)學(xué)第21題)一種作圖工具如圖4所示.O是滑槽AB的中點(diǎn),短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng),長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與

    ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng),

    且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽

    AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周(

    D不動(dòng)時(shí),N也不動(dòng)),M處的筆尖畫(huà)出的曲線(xiàn)

    記為C.以O(shè)為原點(diǎn),AB所在的直線(xiàn)為x軸建

    立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系.

    (Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程;

    (Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l與兩定直線(xiàn)l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線(xiàn)l

    總與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若

    存在,求出該最小值;若不存在,說(shuō)明理由.

    圖4

    解(Ⅰ)略,曲線(xiàn)C的方程為x2+4y2=16,即x216+y24=1.

    圖5

    (Ⅱ)引入伸縮變換T:(x,y)→(xa,yb),

    a=4,b=2,則曲線(xiàn)C的像為單位圓,直

    線(xiàn)l1:x-2y=0,l2:x+2y=0的像為

    l1′:x-y=0,l2′:x+y=0,從而l1′⊥l2′.

    由于直線(xiàn)l與橢圓C相切,設(shè)其切點(diǎn)為H,

    則其像l′與單位圓相切,切點(diǎn)為H′,如圖5所示.從而在△O′P′Q′中,OH′⊥P′Q′.設(shè)|O′Q′|=r1,|O′P′|=r2,則|P′Q′|=r21+r22,由等面積法得

    r1·r2=r21+r22,從而1r21+1r22=1.由此1=1r21+1r22≥2r1r2,即r1·r2≥2,故△O′P′Q′的面積S′=12r1·r2的最小值為1(當(dāng)點(diǎn)H′在坐標(biāo)軸上),故△OPQ的面積S=abS′=8S′的最小值為8,此時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C的切點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.

    例5 ?(2015年山東省高考理科數(shù)學(xué)第20題)平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,其左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.

    (Ⅰ)求橢圓C的方程;

    (Ⅱ)設(shè)橢圓E:x24a2+y24b2=1(a>b>0),點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)y=kx+m交橢圓E于A(yíng),B兩點(diǎn),射線(xiàn)OP交橢圓E于點(diǎn)Q.

    (?。┣髚OQ||OP|的值;(ⅱ)求△ABQ面積的最大值.

    解 (Ⅰ)由題得2a=4,故a=2,又

    e=32,從而b=1,即橢圓C的方程為

    x24+y2=1.

    (Ⅱ) (?。E圓E的方程為x216+y24=1.引入伸縮變換T:(x,y)→(xa,yb),a=4,b=2,則橢圓E的像為單位圓E′,橢圓C的像為圓C′:x2+y2=14,如圖6所示.

    圖6

    顯然|O′Q′||O′P′|=xQ′xP′=axQaxP=xQxP=|OQ||OP|,故|OQ||OP|=|O′Q′||O′P′|=112=2.

    (ⅱ)在單位圓中,設(shè)Q′,O′到直線(xiàn)A′B′的距離為dQ′,dO′,由條件得dQ′=3dO′,故△A′B′Q′的面積S△A′B′Q′=12|A′B′|·dQ′=32|A′B′|·dO′=31-d2O′·dO′=3d2O′(1-d2O′),由于dO′≤|O′P′|=12,從而dO′∈[0,12].故當(dāng)dO′=12時(shí),S△A′B′Q′有最大值334.故△ABQ的面積S△ABQ=abS△A′B′Q′=8S△A′B′Q′有最大值63.綜合上述,△ABQ面積的最大值為63.

    例6 ?(2015年浙江省高考理科數(shù)學(xué)第19題)已知橢圓x22+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)y=mx+12對(duì)稱(chēng).

    (Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

    (Ⅱ)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

    圖7

    解 (Ⅰ)引入伸縮變換T:(x,y)→(xa,yb),a=2,b=1,則橢圓x22+y2=1的像為單位圓,如圖7所示.直線(xiàn)l:y=mx+12(m≠0)的像為

    直線(xiàn)l′:y=2mx+12.由于點(diǎn)M為AB

    中點(diǎn),從而點(diǎn)M′為A′B′的中點(diǎn),故

    kO′M′·kA′B′=-1;又AB⊥l,故kAB·kl

    =-1,從而直線(xiàn)A′B′的斜率kA′B′與直線(xiàn)

    l′的斜率kl′滿(mǎn)足kA′B′·kl′=abkAB·abkl=a2b2kAB·kl=-2.考慮到直線(xiàn)l′的斜率為2m,則直線(xiàn)kA′B′=-2m,直線(xiàn)O′M′的斜率kO′M′=m2.

    設(shè)點(diǎn)M′(x0′,y0′),則由kO′M′=m2得y0′=m2x0′;另一方面點(diǎn)M′在直線(xiàn)l′:y=2mx+12上,故

    y0′=2mx0′+12.由此可求得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為

    (-12m,-12).

    考慮到點(diǎn)M′(-12m,-12)在單位圓內(nèi)部,從而-12m2+-122<1,求得m<-63或m>63.

    綜合上述,所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為

    (-∞,-63)∪(63,+∞).

    (Ⅱ)顯然,在單位圓中,△A′O′B′的面積S′=12|O′A′|·|O′B′|·sin∠A′O′B′≤12,當(dāng)且僅當(dāng)O′A′⊥O′B′,即|O′M′|=22取等號(hào).由于M′(-12m,-12),令|O′M′|=

    -12m2+-122=22,求得m=±2∈(-∞,-63)∪(63,+∞).由此△A′O′B′的面積的最大值為12,故△AOB的面積S=abS′=2S′的最大值為22.

    綜合上述,利用伸縮變換來(lái)求解橢圓中的問(wèn)題不僅可以回避復(fù)雜的解析代數(shù)運(yùn)算,而且還能從根源上發(fā)現(xiàn)試題的本質(zhì),是我們理解和把握試題非常有效的工具.另外值得一提的是,借助伸縮變換的不變性及其圓中的基本性質(zhì),我們也能像命題專(zhuān)家一樣命制一些獨(dú)具創(chuàng)意的試題,如:已知直線(xiàn)l交橢圓C:x24+y2=1于A(yíng)、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若在橢圓C上存在一點(diǎn)M,使得OM=λOA+μO(píng)B.若λ2+μ2=1,求△AOB的面積.讀者也不妨一試!

    作者簡(jiǎn)介 林國(guó)夫,男,浙江上虞人,1981年生,中學(xué)一級(jí)教師,市學(xué)科帶頭人.其輔導(dǎo)的學(xué)生在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中獲全國(guó)二等獎(jiǎng)及以上近10人次.發(fā)表文章四十余篇.

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    7.1 數(shù)形結(jié)合思想
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