2015年高考山東理科數(shù)學(xué)第21題解法研究及推廣

劉聰勝+汪仁林

題目 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由;

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

1 對題目解法的探究

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由題設(shè)知，x>0，f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立a（x2-x）≥-ln（x+1） （*）對x>0恒成立.

①當(dāng)x2-x=0，即x=1時，（*）式顯然恒成立，此時，a∈R;

②當(dāng)x2-x>0，即x>1時，（*）式可化為a≥-ln（x+1）x2-x恒成立，令g（x）=-ln（x+1）x2-x，x>1，則a≥g（x）max.因為

g′（x）=-x2-x-（2x-1）（x+1）ln（x+1）（x2-x）2（x+1），令

h（x）=x2-x-（2x-1）（x+1）ln（x+1），則g′（x）與h（x）異號.而h′（x）=-（2x+1）ln（x+1）<0，所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上遞減，所以h（x）<h（1）=-2ln2<0，所以g′（x）>0在（1，+∞）上恒成立，所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上遞增，所以

g（x）max→limx→+∞-ln（x+1）x2-x=limx→+∞-1x+12x-1=0（洛必達法則），所以a≥0;

③當(dāng)x2-x<0，即0<x<1時，（*）式可化為a≤-ln（x+1）x2-x恒成立，令

（x）=-ln（x+1）x2-x，0<x<1，則a≤（x）min.由②知，′（x）>0在（0，1）上恒成立，所以函數(shù)（x）在（0，1）上遞增，所以

（x）min→limx→0-ln（x+1）x2-x=limx→0-1x+12x-1=1（洛必達法則），所以a≤1.

因為（*）式對x>0恒成立.所以① ② ③求出的a的范圍再求交集即為答案.所以a的取值范圍是[0，1].

評析 對比考題標(biāo)準(zhǔn)答案可知，此種解法的優(yōu)越感不言而喻.考題標(biāo)準(zhǔn)解答技巧性強，略顯突兀，學(xué)生普遍反映能看懂但想不到，而且將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)求最值，分類目標(biāo)不明確，較難處理. 本文提供的解法的優(yōu)點是：分類討論目標(biāo)非常明確，思路清晰;將問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)求最值，非常方便;通過分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)、二次求導(dǎo)，再借助洛比達法則使問題輕松獲解，容易理解和掌握. 可操作性強，深受學(xué)生青睞！

2 方法的推廣

上述解法不失一般性，對于“已知不等式a·f（x）≤g（x）對x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.”的題型均適合.

常規(guī)解法 ?構(gòu)造函數(shù)h（x）=af（x）-g（x）即h（x）≤0對x∈R恒成立，則只需h（x）max≤0即可，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）的最大值.

點評 此類解法的缺點是：求函數(shù)h（x）的最大值時，因為函數(shù)h（x）含參數(shù)a，往往要對參數(shù)a進行分類討論，且如何分類目標(biāo)不明確，較麻煩，對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高，會使大多數(shù)學(xué)生無從下手.

優(yōu)美解法 不等式a·f（x）≤g（x）對x∈R恒成立，可對f（x）進行討論如下：

①當(dāng)f（x）>0時，原不等式可化為：a≤g（x）f（x）對x∈{xf（x）>0}時恒成立，令Φ（x）=g（x）f（x），則只需a≤Φ（x）min .此時問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈{xf（x）>0}時，求函數(shù)Φ（x）的最小值;

②當(dāng)f（x）<0時，原不等式可化為：a≥g（x）f（x）對x∈{xf（x）<0}時恒成立，則只需a≥Φ（x）max，此時問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈{xf（x）<0}時，求函數(shù)Φ（x）的最大值;

③當(dāng)f（x）=0時，原不等式可化為：0≤g（x），對x∈{xf（x）=0}時，不等式0≤g（x）顯然恒成立，此時x∈R.

因為不等式a·f（x）≤g（x）要求f（x）>0，f（x）<0，f（x）=0同時恒成立，所以① ② ③求出的a的范圍再求交集即為答案.

點評 本解法的優(yōu)點是：分類討論目標(biāo)非常明確，思路清晰;將問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)求最值，非常方便;通過分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)、二次求導(dǎo)，再借助洛比達法則使問題輕松獲解，容易理解和掌握. 可操作性強，值得推廣.

3 方法的進一步鞏固

此類含參數(shù)不等式恒成立的高考壓軸題在近幾年頻頻出現(xiàn)，限于篇幅，請讀者自己用本文方法嘗試解答下列高考題. 以期領(lǐng)會方法的本質(zhì)！

1.（2014年陜西高考理科數(shù)學(xué)第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式;

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

2.（2014年新課標(biāo)Ⅱ理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性;

（Ⅱ）設(shè)g（x）=f2x-4bf（x），當(dāng)x>0時，g（x）>0，求b的最大值.

3.（2013年高考數(shù)學(xué)全國課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題）

已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值.

（2）若x≥-2時，f（x）≤k·g（x），求k的取值范圍.

4.（2012年高考天津理科第20題）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值;（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值.

5. （2011年高考全國課標(biāo)卷數(shù)學(xué)理科第21題）

已知函數(shù)f（x）=aln xx+1+bx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.（1）求a，b的值;（2）如果當(dāng)x>0且x≠1時，f（x）>ln xx-1+kx，求k的取值范圍.

參考答案：1.a∈（-∞，1];2.bmax=2;3.k∈[1，e2];4.kmin=12;5. k∈（-∞，0].

作者簡介 劉聰勝，男，陜西旬陽人，中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，陜西省跨世紀(jì)三五人才.咸陽市教育教學(xué)研究室副主任、教育學(xué)會副會長兼秘書長、數(shù)學(xué)學(xué)會副理事長.發(fā)表論文60余篇，主編教輔用書三十余本，主持教育教學(xué)研究課題十余項，其中兩項獲陜西省教育廳基礎(chǔ)教育科研成果一等獎，三項分獲二、三等獎.

汪仁林，男，中學(xué)一級教師.全國新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員，主要從事數(shù)學(xué)教育與高考試題研究，發(fā)表文章100余篇，參編教育專著5本.