用不等式組法求數(shù)列最值的是非成敗

孫宏坤

在各種教輔資料與各級(jí)考試中，常常遇到求數(shù)列最值項(xiàng)的問(wèn)題，很多資料及考試的參考答案中都采用不等式組法，即由an≥an+1，

an≥an-1，求數(shù)列的最大項(xiàng)，由an≤an+1，

an≤an-1，求數(shù)列的最小項(xiàng)，大多一線教師對(duì)此信以為真，在課堂上對(duì)學(xué)生以訛傳訛，學(xué)生也奉若法寶.事實(shí)上，這一解法存在重大錯(cuò)誤，下文舉例說(shuō)明.

1 最值項(xiàng)不一定滿足不等式組

例1 在（2+3x）10的二項(xiàng)展開(kāi)式中是否存在系數(shù)最小的項(xiàng)？若存在請(qǐng)指出是第幾項(xiàng);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

錯(cuò)解 設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)最小，為tr+1=Cr10210-r3r，0≤r≤10，則tr+1≤tr，

tr+1≤tr+2，

由tr+1≤tr得Cr10210-r3r≤Cr-110211-r3r-1，即10！r?。?0-r）！210-r3r≤10?。╮-1）?。?1-r）！211-r3r-1，化簡(jiǎn)得3r≤211-r，解得r≥335，所以r≥7.

同理由tr+1≤tr+2可得r+1≤335，所以r≤5，同時(shí)滿足r≥7且r≤5的r不存在，故（2+3x）10展開(kāi)式中不存在系數(shù)最小的項(xiàng).

正解 二項(xiàng)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為tr+1=Cr10210-r3r，0≤r≤10，

令tr+1>tr得Cr10210-r3r>Cr-110211-r3r-1，

即10！r?。?0-r）！210-r3r>

10?。╮-1）?。?1-r）！211-r3r-1，

化簡(jiǎn)得3r>211-r，解得r<335，所以r≤6，所以t1<t2<…<t6<t7.

令tr+1<tr得Cr10210-r3r<Cr-110211-r3r-1，解得r>335，所以r≥7，所以t7>t8>…>t11，

而t1=210，t11=310，所以t1<t11，故系數(shù)最小的項(xiàng)是第1項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)不存在前一項(xiàng)，末項(xiàng)也不存在后一項(xiàng)，所以若最值項(xiàng)恰好為數(shù)列的首項(xiàng)或末項(xiàng)，則必定不滿足此不等式組.若能排除最值項(xiàng)為首項(xiàng)或末項(xiàng)的可能，才能得到最值項(xiàng)滿足此不等式組.

2 滿足不等式組的項(xiàng)不一定是最值項(xiàng)

例2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-nn-52，求數(shù)列{an}的最大項(xiàng).

錯(cuò)解 由an≥an+1，

an≥an-1， 得

2-nn-52≥1-nn-42，

2-nn-52≥3-nn-62，

化簡(jiǎn)得3n2-21n+34≥0，

3n2-27n+58≤0，

解得n≤21-336或n≥21+336，

27-336≤n≤27+336，

其中21-336≈2.5，21+336≈4.5，

27-336≈3.5，27+336≈5.5，

考慮到n只能為正整數(shù)得n≤2或n≥5，

4≤n≤5，

故n=5，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a5=0.

正解 設(shè)函數(shù)f（x）=2-xx-52，x∈[1，+∞），求導(dǎo)得f′（x）=-3（x-3）（x-5），

令f′（x）>0，

x≥1， 得3<x<5，

令f′（x）<0，

x≥1， 得1≤x<3或x>5，

故函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，在[3，5]上單調(diào)遞增，在[5，+∞）上單調(diào)遞減.

故數(shù)列{an}當(dāng)1≤n≤3時(shí)遞減，當(dāng)3≤n≤5時(shí)遞增，當(dāng)n≥5時(shí)遞減，從而數(shù)列{an}的最大項(xiàng)應(yīng)該為a1與a5中的較大者，而a1=16，a5=0，a1>a5，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1=16.

點(diǎn)評(píng) 由不等式組求解出來(lái)的是特定連續(xù)三項(xiàng)之間的最值項(xiàng)，只是一個(gè)小范圍上的最值項(xiàng)，不一定是數(shù)列全體項(xiàng)的最值項(xiàng)，類比函數(shù)極值的定義，滿足不等式組的項(xiàng)我們不妨稱為數(shù)列的“極值項(xiàng)”，類似于函數(shù)的極值與最值的關(guān)系，數(shù)列的極值項(xiàng)不一定是最值項(xiàng).

3 不等式組法求數(shù)列最值項(xiàng)的成敗情形

從上面的兩個(gè)例子可以看出這個(gè)不等式組其實(shí)是數(shù)列取到最值項(xiàng)的既不充分也不必要條件，從而不等式組法也就不能作為求數(shù)列的最值項(xiàng)的通解通法普遍使用，然而很多一線教師對(duì)此事實(shí)卻難以接受，因?yàn)樗麄円恢笔褂眠@種方法，而且往往是能成功求解的.事實(shí)上能成功求解的通常只有兩種情況，一種是數(shù)列的單調(diào)性滿足先增后減，則可由不等式組法求出最大項(xiàng)，另一種是數(shù)列的單調(diào)性滿足先減后增，則可由不等式組法求出最小項(xiàng)，即使這兩種情形最終能獲得正確的結(jié)果，筆者認(rèn)為這一解法也是極不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因?yàn)槠淅碚撘罁?jù)不滿足一般性.不成功的情形更為廣泛，如單調(diào)遞增數(shù)列求最大（小）項(xiàng)，單調(diào)遞減數(shù)列求最大（?。╉?xiàng)，先增后減數(shù)列求最小項(xiàng)，先減后增數(shù)列求最大項(xiàng)，先增后減再增數(shù)列求最小項(xiàng)，先減后增再減數(shù)列求最大項(xiàng)，等等情形運(yùn)用不等組法都不能獲得正確結(jié)果.

從上面的兩個(gè)例子也可以看出，確定數(shù)列最值項(xiàng)的本質(zhì)是要依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性.確定數(shù)列單調(diào)性的運(yùn)算量與不等組法的運(yùn)算量相差無(wú)幾，由數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列的最值項(xiàng)在思維的嚴(yán)密性上是無(wú)懈可擊的.