2015年福建省高考數(shù)學(xué)試題的解法賞析

題目 已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f（x）=x+a+x-b+c的最小值為4.

（Ⅰ）求a+b+c的值;

（Ⅱ）求14a2+19b2+c2的最小值.

（2015年福建省高考數(shù)學(xué)試題）

本題考查了絕對值函數(shù)最值的求法及其滿足約束條件的多元函數(shù)的最值問題的解法，這類問題的解決入口寬，難度小，只要認(rèn)真審題仔細(xì)推敲，便會找到多種解法，這充分體現(xiàn)了高考試題考查學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的功能.對于第（Ⅰ）小題我們利用絕對值的性質(zhì)易得a+b+c=4，下面筆者給出第（Ⅱ）小題的九種解法，供大家參考.

方法1 柯西不等式法

分析 觀察條件，聯(lián)系所求，其結(jié)構(gòu)與柯西不等式一致，因此本題最自然的方法是“湊”成柯西不等式的形式.

由第（Ⅰ）小題的結(jié)論得a+b+c=4，于是可利用柯西不等式，得（14a2+19b2+c2）（22+32+12）≥（a+b+c）2，因為a+b+c=4，所以14a2+19b2+c2≥1614=87.即當(dāng)12a2=13b3=c1時取等號，代入條件a+b+c=4得a=87，b=187，c=27.故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 柯西不等式具有結(jié)構(gòu)對稱、應(yīng)用廣泛的特點.通過柯西不等式可使解決問題的過程簡便，解答通俗易懂，體現(xiàn)出“不等”與“等”的辯證思想.此法值得推廣.

方法2 基本公式法

因為x21y1+x22y2+x23y3≥（x1+x2+x3）2y1+y2+y3，所以a24+b29+c21≥（a+b+c）214=1614=87，當(dāng)且僅當(dāng)a=87，b=187，c=27時，取等號.故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 上面的公式是比較常用的基本公式，在選學(xué)不等式模塊中記住一些常用的基本公式，會給解題帶來很大的方便.

方法3 基本不等式法

分析 根據(jù)條件的特征，通過待定系數(shù)，利用基本不等式法實施多元式的變新，在“不等”中挖掘“等”的思想來處理.

因為（14a2+λ2）+（19b2+μ2）+（c2+γ2）≥λa+23μb+2γc，取等號當(dāng)且僅當(dāng)a=2λ，b=3μ，c=γ且λ=23μ=2γ，代入a+b+c=4，解得λ=47，μ=67，γ=27.即a=87，b=187，c=27時，有14a2+19b2+c2≥87，所以14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 通過待定系數(shù)，尋找基本不等式成立的條件是解決滿足一定約束條件的多元式最值問題的常用方法.利用這種方法完成在“不等”中挖掘“等”的思想，從而揭示問題的本質(zhì).

方法4 構(gòu)造向量法

分析 根據(jù)題設(shè)的條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，若想到構(gòu)造空間向量實施轉(zhuǎn)化，會使問題的解答水到渠成，一目了然.

設(shè)a=（a2，b3，c），b=（2，3，1），則由|a·b|≤a·b得a2·2+b3·3+c·1≤a24+b29+c2·14，即a+b+c≤14·a24+b29+c2，所以當(dāng)且經(jīng)當(dāng)12a2=13b3=c1時取等號，代入條件a+b+c=4得a=87，b=187，c=27.故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 通過構(gòu)造向量，利用向量數(shù)量積不等式m·n≤m·n求不等式最值問題，計算量小，過程簡明扼要.

方法5 主元配方法

分析 試題中有三個變量，我們在解題時可以選擇一個作自變量，其它的兩個變量看成參數(shù)，則可以使問題的解決逐步清晰明朗.

因為a+b+c=4，所以c=4-（a+b），于是14a2+19b2+c2=14a2+19b2+（4-a-b）2=

54（a+4b-165）2+1445（b-187）2+87≥87，當(dāng)且僅當(dāng)a+4b-165=0，b=187，代入c=4-（a+b）得a=87，b=187，c=27時，取等號.故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 對于滿足一定條件的多元式，我們通常采用代換消元，然后選取主元配方，便可輕松求得多元式的最值.

方法6 構(gòu)造空間距離法

對于空間中任意三點A、B、C，有AB-AC≤BC≤AB+AC（其中當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C共線時，僅有一個等號成立），我們稱之為空間三角形不等式.

分析 將式子14a2+19b2+c2變形為12a2+13b2+c2恰好是空間距離的模型，而a+b+c應(yīng)為三個平方和展開式的中間項，通過觀察找出點B（-1，-32，-12），從而實施問題的解決.

設(shè)A（12a，13b，c），B（-1，-32，-12），O（0，0，0）.于是OA=14a2+19b2+c2，OB=1+94+14=142，

AB=（12a+1）2+（13b+32）2+（c+12）2.由于AB2≤（OA+OB）2，代入整理得

4≤214a2+19b2+c2·142，

即14a2+19b2+c2≥87，由O、A、B共線易知，當(dāng)且僅當(dāng)a=87，b=187，c=27時等號成立，故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造空間距離，利用三角形不等式實施“不等”與“等”的轉(zhuǎn)化，思路簡潔，方法優(yōu)美，值得推廣.

方法7 均值代換法

由a+b+c=4，可設(shè)a=43+λ，b=43+μ，c=43-（λ+μ），其中λ，μ>-43，λ+μ<43.則14a2+19b2+c2=14（43+λ）2+19（43+μ）2+（43-λ-μ）2=54（λ+4u-45）2+1445（μ-2621）2+87≥87，當(dāng)且僅當(dāng)λ=-421，μ=2621，即a=87，b=187，c=27時取等號，故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 對于滿足約束條件n元a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an=s（s為定值）的一類數(shù)學(xué)問題，我們可令ai=sn+ti（i=1，2，…，n），其中t1+t2+…+tn=0.實施代入轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求得多元式的最值.

方法8 數(shù)形結(jié)合法

設(shè)x=12a，y=13b，r2=14a2+19b2+c2，于是有2x+3y=4-c（看做直線方程），x2+y2=r2-c2（看做圓方程）.因為直線與圓有公共點，所以c-413≤r2-c2，化簡得r2≥1413（c-27）2+87≥87，當(dāng)且僅當(dāng)a=87，b=187，c=27時等號成立，故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，作適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成幾何圖形中直線與圓的位置關(guān)系來求解，別具一格.當(dāng)然，本題也可以通過再令z=c，于是問題轉(zhuǎn)化為平面2x+3y+z=4與球面x2+y2+z2=r2有公共點的問題，利用點到平面的距離與球半徑的關(guān)系進(jìn)行求解.

方法9 三角換元法

設(shè)14a2+19b2+c2=r2（r>0），令c=rsinβ，13b=rsinα·cosβ，12a=rcosα·cosβ，其中α，β∈[0，π2].代入a+b+c=4中變形得1r=2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinα4.因為β∈[0，π2]，所以cosβ≥0，于是2cosα·cosβ+3sinα·cosβ=13cosβ·sin（α+φ）≤13cosβ，（其中tanφ=23）.

所以2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ≤13cosβ+sinβ≤14，所以1r≤144，即r2≥87，當(dāng)且僅當(dāng)a=87，b=187，c=27時等號成立，故14a2+19b2+c2的最小值為87.

評析 這里實施的三角換元其本質(zhì)是空間極坐標(biāo)系也叫球坐標(biāo)系，數(shù)學(xué)選修《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》中有所介紹，若將本題中12a、13b、c分別看作x、y、z，令14a2+19b2+c2=r2（r>0），那么問題轉(zhuǎn)化為球面方程，可選用空間極坐標(biāo)系法求解.

一個好問題猶如一粒種子，只要能像園丁對這顆種子悉心澆灌給予養(yǎng)分一樣對待這個問題，不斷從不同角度去探討，這個問題就像這顆種子一樣能不斷生長，結(jié)出令人喜悅的果實.而一個問題的解答，猶如一盞燈照亮條件和結(jié)論之間本來模糊的關(guān)系，我們在研究問題時，盡量去挖掘問題的本質(zhì)，關(guān)注解法的多樣性，猶如尋找更明亮的燈來照亮更廣闊的空間.

作者簡介 王伯龍，男，1965年8月生，寧夏彭陽縣人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，自治區(qū)級骨干教師，近年來在省級及以上數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表論文80多篇.