對(duì)一道數(shù)學(xué)競賽試題的思考

以下是2015年第26屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二初試題，筆者仔細(xì)研讀，根據(jù)已知條件、目標(biāo)函數(shù)形式上的特點(diǎn)，從不同視角給出了解法，以達(dá)到發(fā)散思維，訓(xùn)練思維的目的.

題目 若正數(shù)a，b滿足2a+b=1，則a2-2a+b2-b的最小值是 ? ?.

視角1 換元法

解法1 設(shè)2-2a=x，2-b=y，由a，b是正數(shù)知，x，y>1，易知

a=2-x2，b=2-y，將上式代入2a+b=1，整理得x+y=3，即x3+y3=1.

將a=2-x2，b=2-y代入a2-2a+b2-b得a2-2a+b2-b=1x+2y-32，

1x+2y-32=（1x+2y）·x3+y3-32=y3x+2x3y-12≥2y3x2x3y-12=223-12.

當(dāng)且僅當(dāng)y3x=2x3y，即22-2a=2-b時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為223-12.

評(píng)析 換元法是高中數(shù)學(xué)解題中的一種重要方法，換元的方法多種多樣，千差萬別，目的是將復(fù)雜的問題簡單化，將抽象的問題形象化、分式問題整式化，無理問題有理化，這需要我們具備較強(qiáng)的觀察能力、邏輯思維能力、聯(lián)想能力，本題中通過巧妙的換元，將其適當(dāng)?shù)幕?，并利用均值不等式求得其最?

視角2 幾何觀點(diǎn)

解法2 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a+b2-b=14·b-1a-1+12·ba+12，

由a，b>0，2a+b=1，知a∈（0，12），b∈（0，1），易知b-1a-1∈（0，2），ba+12∈（0，2）.

令x=b-1a-1，y=ba+12，x，y∈（0，2），解得a=1-12yy-x+1，b=32y-12xyy-x+1，由2a+b=1，知23x+23y+xy=43，解得y=169x+23-23，x∈（0，2），對(duì)y求導(dǎo)數(shù)得y′=169（x+23）2，其原函數(shù)圖象如圖1所示，

圖1 ? ? ? ? 圖2

此時(shí)a2-2a+b2-b=14x+12y，為此，本題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)是Z=14x+12y的線性規(guī)劃問題，由線性規(guī)劃知識(shí)知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與函數(shù)y=169x+23-23的圖象相切時(shí)（如圖2），目標(biāo)函數(shù)有最小值.設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則切線斜率為y′=169（x+23）2x=x0，因目標(biāo)函數(shù)

Z=14x+12y的斜率為-12，所以y′=-169（x0+23）2=-12，解得x0=423-23，y0=223-23，即Z=14x+12y與曲線在點(diǎn)P（423-23，223-23）相切，所以Z=14x+12y有最小值Zmin=223-12.

解法3 令x=a2-2a，y=b2-b，則a=2x1+2x，b=2y1+y，則4x1+2x+2y1+y=1，以下同解法2.

圖3

評(píng)析 運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)解決最值問題形象直觀，同時(shí)也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，本解法中：如圖3，設(shè)A（1，1），B（-05，0），P點(diǎn)在線段2a+b=1上，a，b>0上，因此，目標(biāo)函數(shù)14b-1a-1+12ba+12轉(zhuǎn)化為求14kAP+12kBP的最小值，如果直接求，較為困難，因此，需要將問題適當(dāng)轉(zhuǎn)化，即換元.

本解法對(duì)于求解線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)為pk1+qk2（其中p，q為給定實(shí)數(shù)，k1，k2為斜率）這一類新題型提供了很好的思路，即換元，從而將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線，問題便迎刃而解.

視角3 函數(shù)思想

解法4 由b=1-2a，a∈（0，12），知a2-2a+b2-b=2-5a+6a22+2a-4a2，令g（a）=2-5a+6a22+2a-4a2，

則g′（a）=-2（7-20a+4a2）2+2a-4a22.

當(dāng)a∈（0，5-322）時(shí)，g′（a）<0，此時(shí)，g（a）單調(diào)遞減，當(dāng)a∈（5-322，12）時(shí)，g′（a）>0，此時(shí)，g（a）單調(diào)遞增.所以gmin（5-322）=223-12.即a2-2a+b2-b的最小值為223-12.

評(píng)析 利用函數(shù)單調(diào)性求最值是處理最值問題的常用方法，簡單易于操作，本題中采用代入消元法將目標(biāo)函數(shù)由二元化為一元，從而將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值.

視角4 方程思想

解法5 令a2-2a+b2-b=t，顯然t>0，則2a+2b-3ab=t（2-2a）（2-b），將b=1-2a，a∈（0，12）代入上式得

6+4ta2-（5+2t）a+2-2t=0，此式可以看成關(guān)于a的一元二次方程，則該方程有實(shí)根，從而Δ=（5+2t）2-4（6+4t）（2-2t）=36t2+36t-23≥0，解得t≥223-12，所以a2-2a+b2-b的最小值為223-12.

評(píng)析 函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，對(duì)于2次整式，或者一次分式求最值運(yùn)用判別式法簡單易于操作，應(yīng)該要求每個(gè)學(xué)生必須掌握.

視角5 “1”代替

解法6 由2a+b=1，知2-2a+2-b=3，顯然2-2a3+2-b3=1，所以

12-2a+22-b=（12-2a+22-b）（2-2a3+2-b3）=1+2（2-2a）3（2-b）+（2-b）3（2-2a）≥1+223.

所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.

評(píng)析 “1”在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用，sin2x+cos2x=1主要是方便對(duì)式子變形，而其他等于1的整式或分式主要是為使用均值不等式創(chuàng)造條件.本題充分利用結(jié)論（x+y）（px+qy）≥p+q+2pq來求得其最值.

視角6 從高觀點(diǎn)角度分析

解法7 （拉格朗日數(shù)乘法）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（a，b，λ）=a2-2a+b2-b-λ（2a+b-1），令La=12（1-a）2-2λ=0;

Lb=2（2-b）2-λ=0;

Lλ=-（2a+b-1）=0;

聯(lián)立上述三個(gè)方程解得a=5-322，b=32-4，λ=127-182.從而得

a2-2a+b2-b=223-12，所以a2-2a+b2-b的最小值為223-12.

評(píng)析 拉格朗日數(shù)乘法實(shí)際上是借助于求多元函數(shù)極值點(diǎn)求函數(shù)的最值，通常用來求限制條件下的最值問題，操作簡單，也是通式通法，在競賽解題中經(jīng)常用到.

視角7 數(shù)列觀點(diǎn)

解法8 由2a+b=1=2·12知，b，12，2a成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則b=12-d，2a=12+d，a=14+d2，所以a2-2a+b2-b=12×1+2d3-2d+1-2d3+2d，整理得

a2-2a+b2-b=-12+13×3+2d3-2d+23×3-2d3+2d≥223-12.所以a2-2a+b2-b的最小值為223-12.

視角8 三角換元

解法9 令2a=sinθ，b=cosθ，θ∈0，π2，代入a2-2a+b2-b，整理得

a2-2a+b2-b

=1-cos2θ2+2cos2θ+cos2θ2-cos2θ

=-12+23×2-cos2θ2+2cos2θ+13×2+2cos2θ2-cos2θ

≥223-12.

所以a2-2a+b2-b的最小值為223-12.

評(píng)析 因?yàn)槿呛瘮?shù)公式多，思路廣以及三角函數(shù)本身的單調(diào)性、有界性，從而為求解函數(shù)的最值帶來便利.本題通過三角換元，將二元問題一元化，進(jìn)而利用均值不等式求解，同時(shí)本題也可以充分利用0≤cos2θ≤1，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

視角9 方程組思想

解法10 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a=12×1-b2-2a.

設(shè)

1-b=X（2-2a）+Y（2-b），則1-b=2X+2Y-X2a-（Y-1）b-b，由2a+b=1知X=Y-1，

2X+2Y-X=1.

解得X=-13，Y=23，所以1-b=-13（2-2a）+23（2-b），進(jìn)而12×1-b2-2a=-16+13×2-b2-2a.

同理可得1-2a2-b=-13+23×2-2a2-b，

所以a2-2a+b2-b=-12+13×2-b2-2a+23×2-2a2-b≥223-12.

視角10 柯西不等式|m|·|n|≥|m·n|

解法11 設(shè)m=（12-2a，22-b），n=（2-2a，2-b），由柯西不等式知1+2≤312-2a+22-b，由此可得12-2a+22-b≥3+223.

所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.

追本溯源 筆者發(fā)現(xiàn)，若將a2-2a+b2-b變形得-32+12-2a+22-b，則該題是第23屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高一初試題的一道變式題，原題是：若正數(shù)a，b滿足a+b=2，則1a+1+1b+1的最小值是 ? ?.由此，兩道題就異曲同工了.同時(shí)，解法2對(duì)于求解線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)為pk1+qk2（其中p，q為給定實(shí)數(shù)，k1，k2為斜率）這一類新題型提供了很好的思路，即換元.

數(shù)學(xué)解題歷程是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的過程，因?yàn)槠D辛，所以難忘.一題多解，不僅可以豐富學(xué)生的解題視野，增強(qiáng)處理數(shù)學(xué)問題的能力，同時(shí)也可以進(jìn)一步構(gòu)建學(xué)生已有的知識(shí)體系.以上解法涉及函數(shù)、向量、三角函數(shù)、不等式、直線和雙曲線、方程組等諸多知識(shí)，用到了構(gòu)造、換元等重要方法，滲透了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等核心思想.

作者簡介 李波，男，1991年7月生，中教一級(jí).發(fā)表論文數(shù)篇.